基尔霍夫在19世纪已经知道他那个完全由温度决定、普适的黑体辐射只适用于固态、液态或密度非常高的气态物体。如果将同样的材料磨制成稀疏的微粒在火焰中燃烧，它们产生的辐射迥然不同。
他在海德堡大学的同伴、化学家本生（Robert Bunsen）为此发明了“本生灯（Bunsen burner）”。他们在火焰中观察到的光谱不再是每个频率上都有一定光强的连续分布，而是一片黑暗：几乎所有频率上都没有光，只在某几个特定频率上存在纤细、明亮的谱线。这些谱线所在的频率随不同元素而异，但每种元素都有着自己的特征频率，犹如人的指纹。
在那之前，德国的玻璃工匠弗劳恩霍夫（Joseph von Fraunhofer）已经发现棱镜分离出的太阳光谱中有一些细微、频率位置固定的暗线。基尔霍夫发觉那些暗线与他和本生发现的亮线一一对应：它们是同一个指纹的明暗两面。他意识到这是因为元素不仅会发出特定频率的光，也会吸收同样频率的光。
光谱分析立即成为化学家最有力的工具之一，可以非常方便地分析物质的内在成分。天文学家也紧跟而上，用光谱探测那些可望不可及的太阳、恒星的元素组成，还能通过多普勒效应测量恒星的移动速度（参阅《宇宙膨胀背后的故事（之四）：察颜观色识星移》）。
物理学家却始终摸不着头脑。无论物体处于什么状态，其内部的运动都会有着不同的速度、频率，因此所发射、吸收的电磁波有着黑体辐射那样的连续光谱。无法想象它们会对某些特定的频率情有独钟，只发射、吸收那些频率的电磁波而对其它频率视而不见。
在19世纪末，黑体辐射由于与工业化生产息息相关成为物理学的一大热门。相应的分立光谱却因为无从解读，几乎没人提及。这也是另一朵被开尔文勋爵忽视的乌云。
与当时的年轻物理学家一样，玻尔对元素分立的光谱只有泛泛的了解，从来没有细究过。尼科尔森是从天文观测出发开始研究这一问题。那篇论文给玻尔带来新的启示，让他意识到那个光谱与黑体辐射的截然不同：它不是源于宏观物体中的热运动，而是直接来自微观的原子本身，与原子的内部结构息息相关。
玻尔于是沿着尼科尔森已有的思路构造出一个全新的原子模型。他的着眼点是最简单的氢原子。
氢在元素周期表中排第一位，那时也已经由卢瑟福证实它的原子序数是一，即只有一个电子。相应地，氢原子核（那时还没有质子的概念）带有一个正电荷。按照卢瑟福的想象，这个电子会绕着原子核公转。
作为最简单的模型，玻尔假设电子的轨道是标准的圆形。这样的轨道只需要一个参数：半径。一旦给定半径，就可以简单地计算出电子的能量、角动量等物理参数。当然，半径可大可小，可以是任意的数值。这样的电子轨道有无穷多个。
玻尔采用了尼科尔森的主意，只选取电子的角动量恰好是普朗克常数整数倍的作为“允许”的轨道，其它所有轨道都被“禁止”。这样，电子只能在那极少数允许的轨道上运行，别无选择。
同时，他规定在这些轨道上运动的电子不会发生任何电磁辐射，也就不会有能量损失，可以稳定、永恒地运行。就这样，卢瑟福原子的不稳定性便被一笔勾销，不复存在。
他正忙着构造这个新的原子世界时，一位大学同学从哥廷根大学留学回来。那位研究光谱学的老同学听了他这番描述，好奇地问道，你这样能解释氢原子光谱的巴尔默系列吗？
玻尔压根不知道那巴尔默系列是啥。
巴尔默（Johann Balmer）是19世纪中叶瑞士一所女子中学的普通老师，本不会为人所知。但他酷爱琢磨各种与数字有关的规律。一个同事见他闲着无聊，挑逗他去寻找氢原子光谱线的规律。那时，物理学家已经辨认出氢原子的四条谱线，并相当精确地测量出它们的波长。那四个波长的数值看起来彼此毫无关联，是随机分布。年届花甲的巴尔默仔细推敲，居然找出一个数学公式将四个数字联系了起来。
当然，用一个相当复杂的公式凑出四个数据点不是难事。巴尔默依据他的公式还推断氢原子另外还有一条谱线。他当时不知道那条谱线已经被找到，完全符合他预测的数值。那五条谱线因此一并被命名为巴尔默系列。
不仅如此，巴尔默还指出这不是氢原子唯一的谱线系列，另外还会有两个系列存在。但因为那些系列不在可见光波动，而分别在紫外、红外波段，它们直到20世纪初——巴尔默去世很久之后——才被陆续发现、证实。
后来，物理学家里德伯（Johannes Rydberg）将巴尔默的公式改写成另一个形式。他将波长改作频率——波长的倒数。这样，巴尔默公式看起来稍微简单一点：每条谱线的频率可以表示为一个常数乘以两个整数平方的倒数之差。
这依然是一个很奇怪的公式。那个叫做里德伯常数的数值完全没有来源，而那“两个整数平方的倒数之差”更是莫名其妙。这个公式为什么能够精确地推导出氢原子的光谱线，依然是不解之谜。
经过老同学的提醒，玻尔一看到这个里德伯公式立即恍然大悟。
在他的模型中，被允许的轨道如同一个梯子的一系列横档。与爬梯子的人一样，电子只能处在某一个横档上，不能处于两个横档之间的虚空。当电子处于某个轨道上时，它的角动量是普朗克常数的整数倍，能量则与那个整数的平方成反比。
于是，“两个整数平方的倒数之差”正好相应于两个轨道之间的能量差别。按照普朗克的能量子关系，这个能量差可以换算成电磁波的频率。他立即做了推算，果然发现他的模型推导出了那个谁都不知道来历的里德伯常数：它是一个由电子质量、电荷、光速等已知物理参数加上普朗克常数的一个奇妙组合。
这样，玻尔又发现了一条新规则：电子可以在被允许的轨道之间“跳跃”，就像人上下梯子时改换所踩的横档。当电子从一个能量高的轨道跳到能量低的轨道时，会将剩余的能量以普朗克能量子的形式释放成电磁波。反之，从低能量轨道跳到高能量轨道时，电子会相应地吸收一个同样频率的能量子。
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| 玻尔的氢原子模型示意图。红点是原子核，蓝色同心圆是由整数标度的允许轨道，它们之间的能量差形成不同的辐射光谱系列（黑色为巴尔默系列），数字是各谱线的波长。 |
这个过程因此满足能量的守恒，也直截了当地解释了基尔霍夫、本生的明亮谱线和弗劳恩霍夫的暗谱线。
只是，他也几乎完全彻底地背叛了麦克斯韦电磁理论。他的原子模型基于一系列没有根据的新规则：电子在允许的轨道上运动时不会产生辐射；它们永远不能踏足这些轨道之外的空间；它们却又能够在不同轨道之间跳跃，跳跃时会发射或吸收一定频率的电磁波。
玻尔清楚他没法解释这一切，尤其是电子在不同轨道之间的跳跃。因为物理学中没有任何理论能描述这种跳跃，他只好强调那是某种一蹴而就的瞬时变异——“量子跃迁”。除了发射或吸收了电磁波，量子跃迁没有任何可描述的中间过程。
1913年3月初，玻尔将论文稿寄给曼切斯特的卢瑟福，请求他推荐发表。那时英国的学术刊物规定小字辈的论文必须由老资格教授转交才能发表，也属于一种专家审稿。
卢瑟福很快回了信。他对玻尔的这个新原子模型很感兴趣，但实在搞不懂其中的物理机制。他问道，如果一个电子处在高能量的轨道上，下面有几个低能量的轨道，它如何决定往哪个轨道上跳？在跳出去那一瞬间，它知道应该在哪个地方停下吗？
玻尔当然不可能回答这样的问题。卢瑟福也明白，这是一个非常超前的理论，会有许多无法解释的地方，就像他自己那个不可能稳定的原子模型一样。他们都很清楚，原子是稳定的，原子核、电子是存在的，原子会发射、吸收特定频率的电磁波。这些都是实验已经确定的事实。在经典理论无法解释的情况下，抛弃或至少绕过理论，创立新的物理规则，是普朗克、爱因斯坦已经开辟的道路。玻尔正是在试图迈出下一步。
所以，卢瑟福没有挑剔，爽快地同意为玻尔提交论文。他还主动提出可以帮助修改、润色稿件中差强人意的英语。大概还意犹未尽，卢瑟福告诉玻尔他的论文篇幅太长。按照英国传统，科技论文讲究言简意赅，不宜有太多的言辞累赘。玻尔的这个稿件应该能删减掉一半。“大概你不会介意我以自己的判断力为你做些删节吧？”
这最后的一句话才把玻尔吓得几乎魂飞魄散。
玻尔从小不善言辞，尤其疏于写作。从很小时开始，他就依赖于宠爱她的母亲。做作业时，他喜欢自己口授，由妈妈记笔记交差。
大学期间参加那次科学竞赛时，他父亲注意到他整晚整晚地在实验室测量这测量那，眼看期限要到了也不愿意动笔写论文。他父亲只得强行将他赶出实验室，关到乡下别墅专心写论文。那一次，他拉上弟弟为他笔记，好歹赶在截止之前交了卷。
玻尔从那时起就养成了习惯，思考问题时不断地踱步，口中念念有词，由母亲或弟弟记下，整理成文。他的硕士、博士论文都是母亲这样一遍又一遍地打字而成。没有了这样的拐棍，他独自在英国的那一年甚是难受，也没有完成一篇正式的论文。好在他很快回家，由新婚的妻子玛格丽特接替了母亲的职责，成为他贴身的全职秘书，即使是在蜜月中也不例外。
他也不是事先打好腹稿再按部就班地口授出来，而是天马行空想到哪是哪。这样，每篇论文都是一个耗时的大工程，每一句话、每个单词都要反复推敲，一改再改。据他自己回忆，他的博士论文至少有过14个不同版本。（一次，他弟弟看到他案头有一封给朋友的信，便好心要顺道帮他邮寄。玻尔立即夺回，说那只是第三稿，还需要再修改几遍才行。）
所以，当玻尔看到卢瑟福毛遂自荐要对他这得来不易的劳动成果大刀阔斧时，他感到了莫大的威胁——即使对方是他最尊敬的导师。这时他已经又做了一番修改，当然篇幅不仅没有缩减，反而还变得更长了。他急忙给卢瑟福回信，表明将立即启程前往英国面议。
玻尔也不是第一次遭遇这个麻烦。当初他到卡文迪许留学时曾极力争取在英国正式发表他的博士论文，最终未能如愿。主要原因就是编辑要求他大幅删节论文的篇幅。
当玻尔终于敲响卢瑟福的家门时，卢瑟福立即置家中的访客不顾，师徒俩躲进了小书房。随后的几天里，他们每天晚上都在争执。玻尔倔犟地为他每一个词句辩护，寸土不让。直到“表现出了天使般耐心”（玻尔后来的描述）的卢瑟福筋疲力尽缴械投降。
1913年7月，玻尔的论文《关于原子和分子的构成（On the Constitution of Atoms and Molecules）》在英国的《哲学杂志》上发表。这篇逃过卢瑟福剪刀的文章有25页，还只是他要连续发表的三部曲之第一篇。作为标准的“玻尔式”论文，文中只有20来个方程式，其余都是洋洋洒洒——卢瑟福眼中重复多余——的文字叙述。
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| 玻尔1913年7月发表的原子结构论文，其脚注标明是通过卢瑟福提交。 |
两个月后，玻尔得以在英国科学促进会年会上第一次公开讲解他的论文。那次会议济济一堂，汤姆森、卢瑟福、金斯等人均出席，洛伦兹、居里夫人也远道而来，就连70高龄的瑞利男爵也到了场。
这些大人物对玻尔的新理论无所适从。瑞利绅士般地表示，上了70岁的老家伙不应该再在新理论上胡乱插嘴。他私底下实在无法认同，觉得玻尔在耍数学游戏，不可能是物理。汤姆森指出人为地选取特定的电子轨道没有根据，也完全没有必要。只有金斯比较开通，他指出玻尔的模型在解释光谱线上的成功已经表明了其价值。
其实，玻尔新出炉的理论在会议之前还得到了一个新的证实。他研究的是只有一个电子的氢原子。当有两个电子的氦原子失去其中一个电子时，剩下的氦离子也等同于氢原子，只是原子核的电荷、质量不同。玻尔的模型可以同样地计算氦离子应有的光谱线，他指出那就是哈佛天文学家皮克林（Edward Pickering，关于他和他的“后宫”，参阅《宇宙膨胀背后的故事（之六）：在哈佛的后宫中丈量宇宙》）已经在星光中测量到的一个谱线系列。会前，卢瑟福手下的年轻人在实验室中证实了那的确是氦离子的光谱，证明玻尔对氢原子光谱的诠释不是瞎猫撞上死老鼠的侥幸。
即便如此，他这个新理论还是很难被接受。在海峡对面的欧洲大陆，地位正在急剧上升的劳厄坚持在轨道上运动的电子必须产生辐射，因为那是麦克斯韦理论的根基。埃伦菲斯特则向洛伦兹抱怨这样的理论让他绝望，意欲放弃物理学。
爱因斯坦在一次会议上听到朋友转述玻尔的新理论。他第一反应是这不可能，因为他也曾有过这个思路，但发现是条死路。当他接着听到氦离子光谱的结果时，不由瞪大了眼珠：“那这就是最伟大的发现之一。”
索尔维在1911年出资举办了物理学精英会议后意犹未尽，两年后又召开了第二次会议。参加者的名单没有太多变化，但增加了老将汤姆森和新秀劳厄。这次会议的主题是“物质的结构”，依然由洛伦兹主持。
汤姆森报告了他那个布丁模型的新进展。洛伦兹对他的老调重弹很不耐烦。他当场打断了汤姆森的演讲，指出他的模型与经典物理完全合拍。现在已经清楚地知道经典理论必然会导致瑞利的紫外灾难。要想完整地解释辐射问题——洛伦兹断言——必须违反经典物理。
卢瑟福这次也有了发言机会，介绍了他自己的模型。然而，真正背叛了经典物理的玻尔还没有被邀请的资格，他的新模型没能在会上亮相。
但玻尔还是不断地接到好消息。他曾与卢瑟福实验室中的小青年莫斯利（Henry Moseley）谈论过X射线问题。玻尔觉得他的原子模型能够解释X射线的来源：那是原子低能量轨道上的电子被外力打跑后高能量轨道上电子跳跃下来填补空位时发射的电磁波。因为轨道之间能量相差悬殊而有了频率非常高的X光。
勤奋的莫斯利夜以继日地在实验室里努力，在1913年底果然证实了玻尔的猜想，还顺带着发现了元素周期表上几个缺漏的新元素。
几个月后柏林大学的两个年轻人弗兰克（James Franck）和赫兹（Gustav Hertz，证实电磁波那个赫兹的侄子）又通过电子与水银蒸汽的碰撞实验发现水银原子的能量不连续，有着分立的数值——正像是玻尔那梯子的一根根横档。玻尔随即证实他们测量的数值与他模型的预测一致。
这个实验不仅证实玻尔原子模型的能量阶梯——“能级”——结构，还第一次观察到电子的动能与相应光辐射频率的关系，为能量子概念提供了直接证据。爱因斯坦在听了弗兰克的讲解后惊艳不已：“可爱得让人想哭！（It's so lovely, it makes you cry!）”弗兰克和赫兹后来因此获得1925年诺贝尔奖。
带着这一个个新进展，玻尔在1914年7月来到德国，巡回推销他的原子模型。在哥廷根和慕尼黑大学，他分别见到年轻新秀波恩（Max Born）和已经逐渐成为老教授的索末菲。他们对他的理论都满怀疑惑，但在听取玻尔亲自讲解后对他有了更多的信心。两个教授那时都在潜心研究爱因斯坦的相对论，这时不约而同地鼓励自己的学生转向原子理论。
在学术讲演之后，玻尔和弟弟一起前往阿尔卑斯山开始他们计划已久的长途登山、远足之旅。很快，他们看到人们纷纷放弃度假赶着回家，报纸上的新闻也日益吃紧。他们也匆忙下山抢乘火车、轮渡回丹麦。途径柏林时，玻尔看到满街兴奋异常的人群，不由感叹：“对军事行动的激情是德国人根深蒂固的习俗。”
那天，德国向俄国宣战，第一次世界大战全面爆发。
（待续）
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