量子纠缠背后的故事（廿二）：玻尔的互补

1923年，爱因斯坦为了躲避当时德国日益严重的反犹太情绪乘邮轮到亚洲远航，错过了诺贝尔奖典礼。归来后，他到瑞典补做了领奖演说，并顺路去哥本哈根访问玻尔。那时，玻尔正忙着与克莱默、斯莱特折腾那篇BKS论文，最后一次试图维护光子的不存在。海森堡在慕尼黑侥幸通过博士答辩，前往哥廷根开启科研生涯。泡利则完成在哥本哈根的工作，转去汉堡大学任职。薛定谔才到苏黎士大学担任教授不久，而狄拉克还是刚刚来到剑桥的研究生。

在那个新量子力学诞生的前夜。他们都顾不上留意那年11月初在慕尼黑一间啤酒馆中开始的一个不大不小的事件。成立不久的“国家社会主义德国工人党”组织了一次约两千人的示威游行，在市中心与警察发生暴力冲突，造成多人死亡。

第一次世界大战之后的德国——尤其是慕尼黑所在的巴伐利亚地区——经历了连年“城头变幻大王旗”的动乱期，武装政变几乎是家常便饭。两天后，煽动“啤酒馆政变”的一个34岁年轻人被捕，以叛国罪判了五年刑。

仅仅一年后，他便获得释放。届时，爱因斯坦在推广玻色的统计和德布罗意的波，引起了薛定谔的注意。泡利正在发现不相容原理。古德斯密特和乌伦贝克揭示了电子有自旋。

在近一个世纪后的今天，发动啤酒馆示威的政党那冠冕堂皇的大名已经没几个人能认识。取而代之的是它耳熟能详的简称：纳粹。

那个当时默默无名的年轻领袖便是希特勒（Adolf Hitler）。

希特勒未遂的转变是试图效仿意大利墨索里尼（Benito Mussolini）的成功。一年前，墨索里尼的“国家法西斯党”组织了三万黑衫军进军罗马示威，以实力迫使国王任命他为总理，成功地掌握了国家领导权。

五年后的1927年是意大利物理学家、发明电池的伏特（Alessandro Volta；作为纪念，电压的单位以他命名）逝世100周年。墨索里尼借此机会不惜重金举行盛大纪念活动，提升国家自豪感。其中之一是在伏特出生、生活的家乡科莫湖举办国际会议，邀请世界各地著名物理学家共囊盛举。

来自14个国家的61名物理学家参加了这一盛会，包括普朗克、卢瑟福、洛伦兹、玻尔、劳厄、康普顿等12个诺贝尔奖获得者。另外还有爱丁顿、索末菲、玻恩等名家，以及少壮一代的德布罗意、海森堡、泡利等。还有可以算作东道主的费米。

泡利、海森堡和费米（从左到右）在科莫湖。

在琳琅满目的与会者名单中，唯独不见爱因斯坦。

26年前爱因斯坦正是在科莫湖与他当时的女友玛丽奇共享浪漫、导致她未婚先孕。他对这个旅游胜地情有独钟，后来还曾携全家陪同居里夫人一家在那里登山远足。但时过境迁，爱因斯坦倒不是因为往事不堪回首，而是不满墨索里尼实施的法西斯政策。他不愿意同流合污，独自抵制了这场轰轰烈烈的庆祝活动。

波乎？粒子乎？这是玻尔一个人躲在挪威的雪山中也无法逃避的问题。

自从新量子力学的诞生，玻尔就一直看着坚持粒子立场的海森堡和坚持波动的薛定谔针锋相对，几近势不两立。他自己的态度颇为中庸，却也落得两头不讨好。在试图说服薛定谔放弃物质波失败后，他与海森堡的亲密关系又在日复一日的争执中出现裂痕。

玻尔认定海森堡和薛定谔的争执只是他们在坚持各自的偏见。两人的理论已经被证明在数学上等价，分歧只在量子世界中物质本性的观念上：波还是粒子。

这也是一个无法调和的矛盾。粒子是局域性的存在，在任何时刻只能处于某一个地点。波则反之，像池塘中的水波可以在同一时刻覆盖整个水面，不局限于地域。无论是光子还是电子，它们或者会是弥漫无形的波或者会是一颗晶莹的粒子，二者只能取其一。可是实验证据却表明它们不可思议地同时既是粒子又是波。于是海森堡和薛定谔各执一词，谁也没法说服对方。

逃离研究所的杂事和海森堡的固执后，玻尔在宁静的雪坡上思路豁然开朗。他意识到其实并没有哪个实验发现光子、电子同时是粒子和波。只是有的实验看到它们像粒子，有的则看到它们像波。

如果像一百多年前的杨那样用光束去观察衍射、干涉，就会看到光的波动性。戴维森用电子束做了类似的实验，也同样地观察到了电子的波动性。在这一类实验中，却看不到光或电子的粒子性。

而如果将光束照射金属，测量它“打下”的电子时，这样的光电效应、康普顿散射实验所看到的光和电子却又都只是纯粹的粒子，没有一点波动迹象。

因此并没有证据表明它们既是粒子又是波。它们的波粒二象性只是在不同观察手段中的表现。

盲人摸象是一个几乎尽人皆知的古印度寓言。故事里几个盲人通过触摸了解大象的模样。摸到脑袋的说大象长得像石头，摸到象腿的认为像柱子，摸到尾巴却觉得像绳子……他们对自己的“观测”都非常自信，并认定其他人或者没摸对或者就是在蓄意撒谎。这样，他们争执不休，谁也不服谁。

玻尔领悟到人类眼中的量子世界与这个寓言如出一辙。当我们进行散射实验时，看到的是“大象脑袋”，于是觉得它像个粒子；而在做衍射实验时，看到的却是“大象尾巴”，便觉得它像波。正如大象不可能同时既像石头又像绳子，光子、电子也不可能同时既是粒子又是波。我们因此觉得不可思议，却没有意识到这些实验都只是看到了大象的一个局部。

在寓言的另外版本中，摸象的不是盲人。他们视力正常，只是在黑暗中摸索，结果与盲人无异。但后来当灯点亮时，他们都得以看到大象的真面目，于是认识到自身经历的局限。

客观的量子世界却没有为人类准备这样一个皆大欢喜的结局。玻尔认为我们无法点亮一盏灯，全方位地看清大象的真实形状。我们能做到的只能与那些盲人一样，有时摸到大象的脑袋，有时摸到大象的尾巴，却没有办法同时摸到脑袋、尾巴以及整个身躯。

在这样的情况下，人类所能做的不是被动地落入寓言的陷阱不可自拔，如海森堡、薛定谔那样不依不饶地要争出个你是我非。而是要认识到实验观测的局限性，互相合作，综合不同的意见。电子、光子以及其它一切量子世界的物质既不是粒子也不是波，它们只是在一定的观测条件下表现如同粒子，在另外的观测中又会表现得像波。这两个互为矛盾的概念其实相辅相成，不可或缺。

玻尔把这个对立统一的思想叫做“互补（complementarity）原理”。

兴致勃勃的玻尔回到他的研究所时，立刻得知留在那里的海森堡也有了突破性的新发现。

海森堡从粒子观念出发，得出其位置和动量不可能同时准确地确定的离奇结论。玻尔倒没有觉得这很奇葩。因为如果从波动的角度来看，粒子作为一个有一定局域性的波包，不可能同时具备确定的频率（动量）和位置。那是一个经典波动理论中已经熟知的现象。他建议海森堡同时兼顾波动说的视角，即刻引起弟子的反感。

但更令海森堡不满的是玻尔的进一步分析。海森堡的发现来源于量子力学中的乘法不对易性，这样的不对易并不只局限于位置和动量，还有时间和能量。它们所揭示的是一组组新的矛盾，无法同时准确地把握。但在玻尔看来，它们也正是需要同时兼顾，才能“互补”地描述、理解粒子的运动。

与粒子和波那一对矛盾不同，位置与动量的矛盾并不是完全的非此即彼、水火不容。前者有如明眼人在黑暗中摸象，摸到脑袋的绝对摸不到尾巴；后者却有着一定的交集，可以点起昏暗的油灯同时看到脑袋和尾巴的模糊外貌。但也仅此而已。如果他们凑近去看清楚脑袋，就无法看到尾巴。反之亦然。那大象的脑袋和尾巴——位置和动量——永远不会同时真切地呈现。海森堡以数学推导而出的那个由普朗克常数决定的极限相当于油灯所能提供的亮度上限。在那不够明亮的照明下，同时看到脑袋和尾巴的清晰度被限制。

那也就是位置与动量、时间与能量这一类既对立又互补的矛盾双方最可能和谐并存的极限所在。

这便是玻尔向海森堡提议的“更深入、敏锐的分析”。他要求海森堡撤回他已送出的论文，一起将这些尚待成熟的思想深化、扩展为更一般的互补原理。

处于重大发现亢奋中的海森堡完全没能听进导师的言语，只觉得被当头浇了一桶凉水。玻尔一回来就不由分说地给他挑了错，还企图把他的新发现贬值为玻尔自己思想中的一个特例。他实在无法接受玻尔的这番指手划脚，两人因此闹了个不欢而散，及至互不理睬。

玻尔最早的学生、助手克莱因那时正好回研究所工作。无可奈何的玻尔只好向他求救，临时代理海森堡的职责。早在哥本哈根久经考验的克莱默听到风声，赶紧嘱咐克莱因要小心翼翼，不要自不量力地卷入这番强强之争。

可怜的克莱因再度陷入他已经熟悉的无穷循环。每天，他在研究所里随身陪伴在玻尔左右，兢兢业业地记录他不断嘟囔出的语句。第二天一早，玻尔又会指令他丢弃记下的那一切，再次从头开始。夏天到了，玻尔携全家离开城市去海滨度假，自然也带上了克莱因。整个假期，玻尔都在与克莱因关上门反复推敲。一向热忱支持丈夫的玛格丽特惨遭“遗弃”。她只能暗自神伤，独自带着五个儿子享受这个家庭假日。

玻尔没有太多的时间。他早已决定要在即将来临的科莫湖伏特纪念会上发表他的新思想，并提交了一个振聋发聩的题目：《量子理论的基础问题》。

传统上，海森堡的发现在中文教科书里被称作“测不准原理”。这在现代被正式改为更准确的翻译：“不确定原理”。“不确定”这个用词也来自玻尔。虽然海森堡拒绝了导师的指令，抢先发表了自己的论文。他还是在后加的尾注中感谢了玻尔的更正、指导，包括这一术语。

中文翻译的偏差却也并非空穴来风。海森堡那篇长达26页的论文给人印象最深的还是他对用高能光子观测电子轨迹假想试验的全面、细致分析（那也正是玻尔给他指出其中纰漏之所在）。尽管他随后又提供了数学推导，证明位置和动量之不能同时确定来自它们的不对易性，是量子力学的本性，当时很多物理学家也都误解了他的发现是一种“测不准”的技术性缺陷。

海森堡相信他的发现揭示了量子力学又一个独特的本质。如果位置、动量乃至轨迹这些经典的概念无法被严格定义，它们只能被完全舍弃。量子是一个不同的世界，我们习以为常的语言不再适合，只能代之以随矩阵代数、波动方程，乃至狄拉克正在搭建的新架构形成的抽象但严谨的数学语言。

玻尔对这个激进的革命性理念深不以为然，觉得过于草率、肤浅，也违背了他几年来一直强调的“对应原理”：量子的世界必须在一定条件下与经典的世界对应，能够天衣无缝地回归经典物理。这当然也包括位置、动量等那些在经典物理中举足轻重的概念。

而且，即使是量子力学也不能只是抽象的数学模型，必须接受实验的检验。玻尔指出所有实验能测量的物理量都是位置、动量这样的经典概念。那些矩阵、波函数等新的量子“语言”，恰恰无法在实验中直接探测。

物理学是实验科学。但玻尔和海森堡都开始意识到实验测量在量子力学中似乎在扮演新的角色。在海森堡的假想试验里，要看到一个电子的所在，必须用光子去探测，那同时就会把电子“击飞”，改变了它的位置。这个测量本身在干扰被测量的系统，实施测量的物理学家也就不再只是一个局外的观察者。

玻尔还更进了一步。在他的互补原理中，测量手段的选择会直接影响到可能测量到的结果。如果一个物理学家做光电效应、康普顿散射那样的实验，他会看到光子、电子像粒子。如果他偏偏要去做衍射实验，他又只会看到它们如同波动。正如寓言中那些不明就里的人，他们如果去摸了大象的头就不可能摸到绳一般的尾巴——实验的设计先验地选择了实验的结果。

这简直匪夷所思。在他们那场情绪化的激烈争论中，玻尔和海森堡都没有意识到他们正在打开量子力学又一个潘多拉的魔盒。

那年夏天，泡利从汉堡赶来访问，试图调解玻尔与海森堡的矛盾。他也没能解开两人之间的死结，但私下里，海森堡开始向师兄承认玻尔可能更为正确。同时，爱因斯坦一年前对海森堡的忠告兑现了：海森堡没有因为担任玻尔的助手错过他的教授机会。莱比锡大学的席位依然还在等着他。当海森堡离开哥本哈根去莱比锡走马上任时，他还不到26岁，依然成为德国最年轻的正教授。

在距离上彻底摆脱玻尔的咄咄逼人后，海森堡才得以冷静地反思那过去的几个月。不久，他给玻尔写了一封忏悔长信，为自己过于急躁诚挚地道歉。他们亲密的师徒关系得以逐渐恢复。

当科莫湖会议在九月份开幕时，玻尔的论文已经不知道修改了多少遍，却依然未能定稿。好在因为纪念伏特的成就，会议前几天日程只是涉及电和与电有关的物理实验新进展、新发明，无关量子理论。玻尔一有机会就与克莱因还有来参加会议的达尔文、泡利一起反复斟酌。这时，他原来那个《量子理论的基础问题》大标题已经被悄然“降格”为《量子假设和原子理论的近期进展》。

参加科莫湖会议的物理学家们。

量子理论只在会议的最后一天才露面。那天安排了众多的专家发言，每人只有20分钟时间。洛伦兹宣读了他为古德斯密特和乌伦贝克做的演算，以经典物理证明电子自旋概念之不成立。那是他学术生涯的最后一篇论文。

不善言辞的玻尔在那区区20分钟内究竟讲了些什么没有确切的记录。可以肯定的是当时没有引起什么回响。对他的思路最熟悉的玻恩和海森堡在他之后做了简短发言，赞扬玻尔的新创见。其他听众则或者以为玻尔在重复他一贯老生常谈的哲学思辩，或者干脆就觉得他不知所云。

除了爱因斯坦，曾经在哥本哈根饱受玻尔煎熬但没有归顺的薛定谔也不在那会场上。那个夏天他与妻子安妮在美国巡回讲学，赢得那里几所大学的青睐。他一一谢绝了优厚的聘请，因为他正在等待着一个更好的消息。

那两年，柏林的普朗克一直在积极寻觅退休后的继承人。他最中意的是索末菲或玻恩。索末菲也已年届花甲，不打算再离开慕尼黑。泡利、海森堡等下一代虽然锋芒毕露，他们尚且年轻，还不足担当普朗克的席位。冉冉上升的中年人薛定谔遂成为最佳人选。

薛定谔为终于能与他最钦佩的学术领路人爱因斯坦在同一个学府中并肩作战而欢欣鼓舞，立即接受了聘请。在忙于新旧职务交替之际，他没能来科莫湖赴会。

会议结束后，玻尔、克莱因和泡利都没有急着回家。他们留在这个旅游胜地，又花了一个星期马不停蹄地继续撰写、修改玻尔的论文，终于将他那繁杂的思绪付诸文字。一个月后，又一个学术盛会将在布鲁塞尔召开。玻尔可以再度推出他的互补原理。

届时，他还会面对着爱因斯坦和薛定谔。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿一）：海森堡的不确定

1925年4月的一天，美国一家不起眼的西部电力公司实验室里发生了一次意外事故。一个储存液态空气的罐子爆炸，损坏了戴维森（Clinton Davisson）正准备做实验用的镍片。戴维森不得不将镍片重新加热去锈。当他重启实验，用电子束轰击这些处理过的镍片时，意外地看到了与以前不同的散射结果。他不明白究竟，只是兢兢业业地收集了数据写成论文发表。

三个月后，他越洋过海到牛津参加英国科学促进会的学术会议，非常惊奇地发现他这篇论文在那里引发了关注。作为实验室职员，戴维森还从没听说过德布罗意，更对电子可能是波的奇怪想法一无所知。

德布罗意一直在寻求实际验证他的波动假说。他经常像小时候一样跑到哥哥的实验室，鼓动他们用电子束代替X射线观测衍射现象。当初把他带入量子物理的比他大17岁的哥哥已经是巴黎首屈一指的X射线专家。他没有把弟弟的恳求当回事，因为他们有着太多更为重要的实验。

爱因斯坦在推广德布罗意波的论文中也对实验物理学家发出呼吁，才引起了更广泛的注意。戴维森在牛津听说他那个偶然的实验可能已经发现了电子束的衍射时才如梦初醒。他急忙赶回实验室，与助手革末（Lester Germer）一起重新进行系统的验证。

1927年1月，他们发表论文证实电子束通过金属内部晶格形成的“狭缝”时会发生衍射。因此，与光束一样，电子束也是一种波动。

在实验中发现电子衍射现象的戴维森（左）和革末。

戴维森和革末的结果直接证实了德布罗意的波动思想，促使德布罗意在1929年荣获诺贝尔奖。（他哥哥后来接替了他们导师郎之万在法兰西学院的教授席位，自己也几次获得诺贝尔奖提名。）

就在戴维森发现电子衍射的那一年，他所在的公司改组，变成隶属于美国电话电报公司的贝尔实验室。1937年，戴维森成为这个默默无名新实验室的第一个诺贝尔奖获得者。

与他分享这一殊荣的却不是革末，而是剑桥新一代的汤姆森（George Thomson）——卡文迪许实验室老主任汤姆森爵士的儿子。他在牛津的会议上听到关于戴维森实验的讨论后自己用不同的设计也验证了电子的衍射。相隔31年，汤姆森父子分别以发现作为粒子的电子和作为波的电子被载入史册。

1803年，杨在英国王家学会上展示光的衍射和干涉，宣告了牛顿微粒说的破产：光是波。一百年后，爱因斯坦在光电效应的解释中再度复活了光的粒子性，其后由康普顿的实验证实。

汤姆森爵士发现的电子在阴极射线管里以及卢瑟福的β衰变中显然是个粒子。然而，戴维森、革末和他自己的儿子却揭示电子束同样会发生衍射，也是波。

波乎？粒子乎？这不再只是理论、哲学的思辩。在新量子理论方兴未艾的年头，旧量子理论鼻祖爱因斯坦和玻尔都在为此伤透脑筋。无论是光还是电子，比较明显的答案是它们既是波又是粒子，即所谓的“波粒二象性（wave-particle duality）”。

然而，这又如何才能够避免自相矛盾？

爱因斯坦在这个问题上已经有了十多年的纠结。早在刚刚离开专利局的1909年，他在萨尔兹堡的德国科学界年会上以对电磁波压强的统计分析揭示光既含有波又有粒子的成分，并通过固体比热理论提出量子是一个普适的概念，同样适用于电子。

那是一个异常超前的思想。洛伦兹就很是不解，写信质疑：量子的能量与频率成正比，粒子只有在周期运动时才会有频率。金属中自由电子做直线运动，不存在频率的概念，如何能用量子描述？

爱因斯坦当时自然也没有好办法，但他已经坚信电子的运动会服从与光子同样的量子规律。在那之后十年里，他一直试图在麦克斯韦方程中引入普朗克常数，使之量子化，但一无所获。

十年后，德布罗意将频率与粒子动能直接相联的新思想和薛定谔方程的出现既证实了他的直觉，也终于让他明白自己所走的死胡同。薛定谔关注的是有质量的粒子，普朗克常数可以“自然”地出现在他的方程中。而光子没有质量，普朗克常数因而在麦克斯韦方程中会在方程两边互相抵消而不出现。因此，麦克斯韦方程其实并不需要量子化。

当然他也不是一事无成。无论是德布罗意还是薛定谔，他们的发现都直接来源于爱因斯坦的前期努力。薛定谔在他的波动力学论文中特别感谢了“爱因斯坦简短但极富远见的指导”，尤其是爱因斯坦当初补充索末菲原子模型的一篇论文对他的启发。

可能出于这一渊源，爱因斯坦一开始就没有对海森堡的矩阵力学有好感，认为他下了一个不可信的“大鸭蛋”。而当薛定谔发表波动方程后，他却立即写信祝贺，赞许道：“我确信你以你对量子条件的描述已经取得了一个决定性的进步。我也同样地确信那个海森堡-玻恩途径是一条歪路。”

爱因斯坦没有预料到这两个力学的分歧却只在肤浅的表面。在薛定谔证明它们其实是等价的同一个理论后，爱因斯坦没有因此消除对矩阵力学的疑虑，他反而随之对波动力学也产生了怀疑。

玻尔对随着新量子理论而出现的波粒二象性却没有同样的思想准备，骤然间老革命遇到了新问题。他曾极力坚持光只是波的传统观念，顽固地拒绝接受光子的概念，直到他的BKS论文被康普顿后续实验否定。电子的衍射更迫使他面对波和粒子共存这个棘手的难解之谜。

在“劝降”薛定谔失败后，他把几乎所有时间和注意力都倾注于自己身边的海森堡。他们在研究所展开了没日没夜、无休无止的争辩。

在海森堡的眼里，玻尔依旧坚持经典的物理概念，尤其是电子运动的位置和速度——经典物理中物体运动最关键的两个变量、动力学方程的基础。然而，在新量子力学中，它们已经退居了二线，让位于不明就里的波函数或矩阵。

海森堡认定位置、速度与电子的轨道、跃迁一样，都只是经典物理的残余，在量子力学中不再有位置：它们都不是实际的可观测量。

终于，两个亲密无间的师徒在旷日持久的辩论中变得不再能忍受对方的存在。

1927年2月，玻尔独自离开研究所到挪威的大山中滑雪。那本来是他们计划好要一起欢度的假期，但玻尔临时改变了主意。海森堡不仅没有介意，反而大松一口气，有了属于自己的自由和清净。

伴随着玻尔的离去，海森堡脑海里被玻尔灌满的位置、速度乱麻也逐渐消退，代之以重新浮现的是近一年前与爱因斯坦那番谈话。

1911年在卡文迪许实验室的年终晚宴上，卢瑟福眉飞色舞的一番讲话强烈地感染了年轻的玻尔，促使他离开老气横秋的汤姆森而转投在曼切斯特的卢瑟福。其实，那晚卢瑟福滔滔不绝的并不是他自己实验室的进展，而恰恰是汤姆森麾下的又一个新突破。

卡文迪许实验室里并不都是原子物理学家。年轻的威尔逊（Charles Wilson）研究的是气象。他观察自然界多姿多彩的云雾，希望能在实验室里重现、研究它们的形成。他设计了一个精巧的箱子，在里面装满过饱和的水蒸气。当他突然拉动活塞急速降低箱子里的气压时，可以看见水蒸气瞬时凝结成云雾。

云雾由微小的水珠组成。水蒸气是在箱子里残留的细小微尘辅助下凝结成水珠的。威尔逊仔细地清洁他的箱子，排除里面所有杂质，但他仍然能够看到云雾的形成，其中还有一条条貌似随机的线条出现。

实验室里的物理学家意识到那是因为总有宇宙射线在穿过那个箱子，它们的动能使水分子发生电离，代替尘埃帮助水珠凝结。那些细线正是射线这样留下的足迹。

这样，威尔逊无意之中发明了一个实时观察高速粒子运动的工具。卢瑟福等人如获至宝。他们不仅用它探测宇宙射线，还第一次能够直接看到放射性原子所发出的α、β粒子的踪迹。把这个被命名为“云室（cloud chamber）”的箱子置放于电场、磁场中，他们还可以测量带电粒子在电磁场中的加速、拐弯。甚至，他们还可以发现粒子在相互碰撞的过程。

云室照片一例，显示各种高速粒子的轨迹。

十多年后，当海森堡在爱因斯坦的公寓里信心十足地解释电子的轨道如何不可观测时，爱因斯坦反问：你没看到过云室中拍摄的照片吗（β粒子就是电子）？

爱因斯坦已经快50岁了，早已不是过去以马赫的逻辑实证思想开创相对论的那个小青年。成熟后的他认识到客观世界是既已的存在，并不需要人类去实证。倒是人类自己的眼光有着相当的局限性。面对与他当初一样年轻的海森堡再度举起物理定律只能包含可观测量的大旗，他轻松地回以一个笑话不能重复两次的调侃。

显然，爱因斯坦早已深思熟虑过。他提醒海森堡，把光谱线的频率、光强当作可观测量其实也只是一厢情愿。原子发出的光经过大气传播、棱镜折射等过程最终在照相底片或视网膜上成像后才成为所谓的观测。海森堡之所以能把这样得到数据看作可观测量，不过是他不加怀疑地接受了麦克斯韦的经典电磁理论，确信那一连串过程没有实质性地改变原子所发的光的属性。

其实，那些光谱线也并不比在云室中看到的电子轨迹更为真实、可靠。

所以，爱因斯坦完全出乎海森堡意料地指出：物理学并不是实验的观测决定理论，反而是理论在指导你观测——正如麦克斯韦的理论引导物理学家测量光谱线。

虽然没有完全被说服，海森堡不得不承认爱因斯坦言之有理。在没有玻尔的两个星期中，他苦苦地回味着那一番富有哲理的谈话。

一天晚上，烦躁的海森堡走上街头，像狄拉克一样在哥本哈根漫无目的地游走。他的思绪在寒冷的夜风中逐渐变得清晰。

爱因斯坦对光谱线观测的那一番剖析同样适用于云室的照片。云室里一条条的直线和曲线只是一连串不连续的小水珠。它们因为电子或其它粒子的经过而出现，却远远不是电子的轨迹。那中间隔着有太多的物理过程。

观察电子的轨道，还需要更为直接、精确的手段。而爱因斯坦和玻尔难以忘怀的其实是同一个问题：如何测量、描述电子的位置和速度。

“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗？”维恩教授在答辩时那句轻蔑的挖苦是海森堡挥之不去的梦魇。他时常还会不自主地回忆起那个场景，一次次默默地回应。

显微镜的确是实验室中很普通的仪器。用它可以观察做布朗运动的花粉、生物体的细胞等微小的物体。照射它们的光经过棱镜放大、聚焦后，肉眼看不见的细节会变得一览无余。然而，无论显微镜做得如何精致，它的分辨率最终会取决于照射光束的波长。要想看到细微的结构，必须用波长比它更小的光来照射。

如果要直接观察到电子的轨迹，海森堡想到，就只能用波长最小、频率也就最大的光——至少需要康普顿做实验时用的X、γ射线。

在他与爱因斯坦那一席长谈时，康普顿的研究又有了新的进展。康普顿效应不再仅仅是用光照射晶体中电子时测得的统计结果。康普顿还在云室中直接观察到一个光子和一个电子碰撞所留下的印记。他拍摄的照片清晰地显示了电子被光子击中后的反弹，无可辩驳地证明了光子的存在。1927年底，威尔逊和康普顿分享了诺贝尔奖。

海森堡突然醒悟。如果使用波长非常短的γ光去照射电子，那就不是传统意义上的显微镜：所用的光不再只是背景工具，而是直接干预电子运动的因素。它会像康普顿观察到的那样以单个光子与电子发生碰撞，将一定的动量、能量传递给电子。如果要看到云室照片那样的电子轨迹，就必须持续地用一个又一个光子去“照射”。但这样得到的数据并不是电子本来的轨迹，而只是电子在遭到一次又一次撞击后所偏离、扭曲了的轨迹。所以，电子自身的轨道依然无法观测。

但是，问题还更为严重。

当一个光子与电子发生碰撞时，利用康普顿的能量、动量守恒方程可以通过对光子碰撞前后的测量结果推算出电子在碰撞时的位置和速度。这个测量也有着同样的局限：对电子位置测定的精确度不可能小于光子的波长。

如果在想像中用波长无限小的光子去“照射”，便可以精确地找到电子的位置。但波长无限小也意味着光子的频率、能量和动量都是无穷大。这样强劲的光子会一下子把电子击飞而自身动量不受影响，也就无法测量到电子的速度。

要非常精确地测量到电子的速度，只能用频率极低的光子“温柔”地触碰电子。那样的光子波长就会非常大，无法测量到电子的准确位置。

在哥本哈根寒夜的街头，海森堡意识到玻尔那难以忘怀的位置和速度在量子力学中犹如鱼和熊掌，不可兼得。所能做到的只有折中策略：用一定频率、波长的光子与电子碰撞，同时获取电子的位置、速度数据。这两个数据都不会完全准确，各自带有一定程度的不确定性。

为了回应爱因斯坦的质问，年轻的海森堡发明了一个逻辑实证式假想试验。那正是爱因斯坦的拿手好戏。但他的思绪还没有终止。

泡利和狄拉克等人一直都在向海森堡抱怨，从他的矩阵力学开始的那个不对易乘法规律让量子力学变得不可捉摸。因为在数学上等价，不对易性也同样地出现在薛定谔的波动力学中。狄拉克揭示那是普遍的量子规律，是经典力学通过泊松括号走向量子化的台阶。但他们却也相继发现，这个乘法的不对易性不只是数学上的别扭，而有着真切的物理效应：因为位置和动量——也就是速度——相乘时不对易，量子力学无法同时描述这两个最基本的物理量。

如果先计算好粒子的位置，它的动量就会变得捉摸不定。反之亦然。在数学形式上，这其实是不对易乘法的直接推论。在物理上，这样的结果显然极其荒唐。纵是泡利、狄拉克，也没能破解这一怪诞的谜团。

海森堡恍然大悟，那正是他的假想试验在理论中的表现。从大街上回到住所后，他像在北海那个荒岛上那样又一次沉浸于严谨的数学推演。很快，他利用便捷的波动方程证明了一个匪夷所思的结论：同时测量粒子的位置和动量时的精度会有一个无法超越的总下限。这个极限直接来自不对易关系，完全由普朗克常数决定。因此，这是一个量子世界特有的新规律。

正如爱因斯坦所言，是理论在决定着什么是可观测量。

这是他又一个重大发现。海森堡不敢懈怠，立即写好了论文。他知道如果玻尔回来后介入，论文肯定会在他的反复修改中变得支离破碎面目全非，甚至不知道要等到何时才能面世。为了避免重蹈斯莱特的覆辙，海森堡壮起胆子，抢在玻尔回来之前私自将论文寄出。

玻尔度假回来后为助手的这一新发现欢欣鼓舞。他立刻指出了论文中的一点纰漏。正如海森堡所料，玻尔也批评论文没有能清楚、深入地阐述这个发现的本质和意义。他让海森堡立即撤回稿件，由他们共同修改后再重新递交。

早有预感的海森堡依然难以承受这心理压力，眼里不禁涌出了泪水。但他还是没有退让，倔犟地拒绝了玻尔的“无理”要求。在那之后，两人关系近乎破裂。他们整天在同一个研究所里，抬头不见低头见，却互相躲避，几乎不再交谈。

海森堡不确定原理论文封面。这是美国著名化学家鲍林（Linus Pauling）保存的印件，右上角有他的批注：“玻恩在哥廷根给我的”。

海森堡违背师愿一意孤行发表的论文长达26页。他在校对之后加了一个尾注，感谢玻尔在论文完成后提出的“更深入、敏锐的分析”和指正。在这个脚注中，他也许是在无意中也提到了玻尔与他辩论时所用的语言。

因为这是一个经典物理中不存在的新现象，海森堡没能把握如何定义。在论文中，他随意地使用了“不精确（inexactness）”、“无法确定（indeterminacy）”等词汇描述对粒子位置、动量测量时会出现的僵局。在后加的脚注中，他采用了玻尔的用词：“不确定（uncertainty）”

那一时刻的海森堡年轻气盛，正处于科学生涯的巅峰。他没有听从玻尔的规劝，也无法听进导师正迫不及待地要表达的观点。他压根没有想到玻尔独自在挪威的大山里滑雪时并没有闲着，也产生了他自己关于量子力学的新思想。

（待续）

量子纠缠背后的故事（二十）：狄拉克的变换

1926年也是量子力学不寻常的一年。

那年年初，玻恩在他正在访问中的美国波士顿收到来自英国剑桥的一篇论文，为海森堡的矩阵理论提出一个新颖的视角。他觉得非常地意外，因为那时他与约旦、海森堡合著的“三人论文”尚未问世，应该还没有人能明白那怪异的矩阵力学。那篇论文的作者是剑桥的研究生狄拉克，一个从未没听说过的名字。

自从玻尔谢绝卢瑟福的聘请后，剑桥不再拥有一流的量子理论学家，淡出了由海峡对面慕尼黑、哥廷根和哥本哈根金三角主宰的新天地。海森堡完成第一篇矩阵论文后曾到剑桥短暂访问，他没有在讲座上提及自己这个新发现。也不知道狄拉克是否与他碰过面。

狄拉克出生于英国西南的海滨城市。他父亲却是瑞士人，在当地中学教法语。作为第一代移民，父亲极为苛刻，强迫孩子们只能以法语与他交谈，稍有差错就会受到严厉的惩罚。在能够以法语会话之前，狄拉克和他哥哥、妹妹只能与母亲一起像仆人似地躲在厨房里吃饭。

聪明的狄拉克是三个孩子中最先学会法语的，因此被恩准上桌子与父亲一起进餐。但既为了避免犯错被惩戒也是作为抗议，他在餐桌上绝口不说一句话。

父亲的专横对孩子们造成了极大的心理伤害。他们几乎在与世隔绝中长大，家里从来没有客人，自己也没有朋友。后来，狄拉克的哥哥在25岁时自杀。那时狄拉克已经是剑桥的研究生，正处于事业起飞的前夜。

因为家境贫寒，他们兄弟俩中学毕业时都在当地大学修习实用的工程专业。然而事与愿违，他们毕业时遭遇第一次世界大战后的经济萧条，没能找到体面的工作。狄拉克又回学校从头开始学习应用数学。那精确、简练的数学语言立刻让他折服，从此一生追求如何用数学——也只用数学——描述自然界。爱丁顿日食测量证明广义相对论的轰动效应也把他的注意力吸引到物理领域。

他的努力终于得到回报，赢得一项奖学金去剑桥攻读博士学位。

孤独中长大的狄拉克不具备基本的社交能力。在剑桥，他过着独往独来、规律得如同机器人的生活。星期一到星期六是他学习的日子。他每天按时起床，步行到学校用功。晚饭再出去散步。星期天，他带上午餐到郊外四处游走。那是他放松大脑，不再思考学业的一天。

1927年，在乡间漫步的狄拉克。

英国大学的传统是学生以自学为主，由导师提供一定的指点。狄拉克因此在剑桥如鱼得水，学业急速长进。他的导师是卢瑟福的女婿、物理教授福勒（Ralph Fowler）。

福勒也是剑桥唯一能勉强跟上量子理论蓬勃发展的理论家，曾在海森堡来访时私下谈论过他的新进展。应福勒的要求，海森堡拿到论文的校样后就给他寄了一份。福勒又随手将它转寄给度假中的狄拉克，让他这个沉默寡言却聪明绝顶的学生先睹为快。

狄拉克读了后没觉得海森堡那复杂的数学背后有什么实际意义。直到十来天后的一个星期天，他照常在野外暴走、不应该考虑科学问题时，脑子里突然不听话地浮现起论文中不起眼的一小段。

海森堡坐在海岛巨石上等待日出时意识到他刚刚发明的列表计算有个毛病：两个表相乘的结果与它们的顺序有关。在普通代数中，加法和乘法是“对易”的：2加3等于3加2；2乘3也等于3乘2。减法和除法不对易：2减3不等于3减2。在他的新法则里，两个列表相乘时如果彼此交换顺序却会有不同结果，违反了乘法的对易性。

他直觉十分荒唐，只好在论文中很不好意思地指出那可能会是新理论的隐患。

狄拉克在他的数学研究中早已见到过不对易的乘法，不觉得会是个问题。但他不知道那也正是剑桥前辈凯利发明的矩阵代数的一个特征。他更不知道玻恩和约旦已经发现海森堡的矩阵力学中，代表位置与动量的矩阵相乘时不对易。它们不同顺序的乘积之差正好与普朗克常数成正比，说明那是一个经典物理中不存在的量子现象。

狄拉克只是隐隐觉得这个位置与动量乘法的非对易关系似曾相识，却想不起来在哪里见过。那天晚上，他破天荒地烦躁，一夜无眠。好不容易挨到早晨图书馆开门，他冲进去查阅经典力学的大部头著作，果然找到有一种叫做“泊松括号（Poisson bracket）”的数学构造。它在形式上与海森堡的不对易性颇为相像。

牛顿的动力学以“力”为中心。在普通物理中，力通常被定义为“物体之间的相互作用”。那其实是一句没有意义的空话——力也是一个看不见摸不着的假想概念。牛顿之后，一些数学家试图将他的动力学脱胎换骨，代之以更严谨的数学描述。在欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和哈密顿（William Hamilton）等人长达一个世纪的持续努力中，经典力学终于被彻底改写，有了更具普遍意义的数学形式。

在这个新的表述中，力被势能取代。物理体系及行为由其动能和势能所组成的“拉格朗日量”或“哈密顿量”描述。薛定谔构造的波动方程便采用了含有哈密顿量的形式。

泊松括号是法国数学家泊松（Simeon Poisson）在这个体系中发明的一个表达方式，用以构造所谓的“正则坐标（canonical coordinates）”。它其实与海森堡的非对易乘法没有关系。

但狄拉克却敏锐地看出其中一个奇异的联系：海森堡的矩阵力学与哈密顿式的经典力学并没有太大差异。如果将经典力学中的泊松括号重新定义为含有普朗克常数的数值，就可以直接“量子化”为海森堡的力学。

这样，狄拉克在经典物理和量子物理之间架起一座桥梁，也终于为玻尔那喋喋不休却捉摸不定的对应原理提供了一个数学基础。

与他的风格相符，狄拉克据此而作的博士论文有着言简意赅的标题：《量子力学》。那是有史以来第一部以量子力学为题材的学位论文——量子力学这时还未满周岁。

顺利赢得博士学位后，狄拉克又获得一份奖学金。在福勒的建议下，他决定留洋深造，到正在成为量子力学圣地的哥本哈根和哥廷根镀金。

1926年10月1日，玻尔在火车站接到了应邀来访的薛定谔。这还是他们俩的第一次见面。玻尔却没有心思客套，一碰头就忍不住向薛定谔发出一连串的诘问。

曾几何时，玻尔的原子模型揭开了量子理论的序幕。十年之后，他的电子轨道、量子跃迁等新概念已经被海森堡、薛定谔更新的理论撕扯得支离破碎，被不客气地划入“旧量子理论”。取而代之的“新量子理论”便是矩阵、波动以及狄拉克那还没人看懂的新力学体系。

虽然薛定谔已经证明了矩阵与波动力学在数学上等价，他和海森堡的分歧不仅没有消失，反而日益尖锐。在收到海森堡怨气满腹的来信后，玻尔邀请薛定谔来面谈，期盼能达成共识，将苏黎士的这位游侠也纳入自己的金三角阵营。

在自然科学中，物理学是最数学化的精确科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦电磁学，乃至爱因斯坦相对论，它们都已各自的方程式引领风骚。只要有了需要的方程，加之必要的边界条件，一切相关的物理问题均可迎刃而解。

薛定谔正是这样听从德拜的建议为德布罗意的波动找到了方程式。但他没料到这却带来更大的麻烦。如何理解那作为方程主体的波函数在物理学家中莫衷一是。可能是物理学史上第一次，严谨的数学语言不足以描述物理现象，需要外加辅助性的“诠释”。

薛定谔不能认同玻恩的几率诠释。他坚持波函数就是粒子的实在分布，运动是连续的波动过程而不存在所谓的量子跃迁。在哥本哈根的那几天里，玻尔日日夜夜地跟随在他旁边，就这个问题没完没了地“讯问”。终于，薛定谔病倒卧床不起。玻尔夫人玛格丽特精心照料，为他端汤送水。玻尔却还是固执地坐在床头，一个劲地探寻：“可是，薛定谔，你不可能真的会认为……”

当薛定谔终于逃离这个鸿门宴时，他身心俱疲，却依然固执己见没有归顺。

作为玻尔助手的海森堡明智地在这场争论中置身事外，只在近距离旁观、记录。他在内心里对玻尔立场不坚定、在与薛定谔的波动说眉来眼去颇有微词。但这时他也已经找到一个击溃薛定谔的利器。那却正是薛定谔的波函数。

就在薛定谔到来之前不久，海森堡也抽空研究了波动方程。他成功地计算出有两个电子的氦原子光谱。那是自玻尔推出原子模型以来一直未能解决、曾经让泡利在博士论文中束手无策的大难题，也是新量子理论的第一个重大突破。

海森堡也因此切身体会到波动方程在实际运算上的绝对优势，不得不承认自己的矩阵在这方面望尘莫及。

但同时，他发现氦原子那两个电子的波函数非同一般。

按照薛定谔那具备直观优势的图像，两个电子的波函数与一个电子的波函数不会有太大区别。它们是电子在三维空间的分布。具有两个电子的波函数无非是质量、电荷的总和会是一个电子的两倍，在形状上则会同时显现两个分立的波包。

然而，海森堡用来解决氦原子的波函数却没有那么直观。它是一个在六维空间中的分布：两个电子各有自己的三维空间。他也很容易地看出，这个结构可以直接推广到更多电子的原子，只是波函数所占据的空间维数会随之增多。铀原子有着92个电子，它的波函数就会有多达276个的空间维数。

这听起来似乎匪夷所思，但对已经精通微分方程的理论物理学家却并不突兀。在拉格朗日、哈密顿推广后的力学体系中，这样的抽象数学空间业已司空见惯。况且，数学家希尔伯特也在几乎同步地提供相应的数学工具——这个多维空间后来就被物理学家命名为“希尔伯特空间”。

虽然这样的空间只是一个数学上的便利。但它也显示波函数并不是薛定谔心目中的物质分布，倒是与玻恩的诠释相当合拍：波函数是电子各自在三维空间中出现的几率。众多的电子各有各的几率分布，互相分离但并不完全独立。它们在同一个波函数下依照薛定谔方程随时间、空间演变，其几率既各自为政又相互关联同步。

狄拉克正是在这个激情四溢的时刻来到哥本哈根。他在市区租住了一个房间，每天形单影只地按时上下班。傍晚，他喜欢随便找一趟公车搭乘到终点站，然后自己循原路步行回家，宁静地领略这个陌生都市的夜晚。星期天，他依然故我地独自在郊外暴走。

玻尔已经见识过太多在他研究所来来往往、性情迥异的年轻人。瘦长、孤僻的狄拉克是他唯一无法吃透的角色。他把狄拉克称作“最奇葩的人”。当玻尔察觉狄拉克对话时只用“是”、“不”两个单词时，他和人打赌看谁能迫使狄拉克说出第三个词汇。经过一番努力，狄拉克终于不得不回应出一个“不在乎”。

狄拉克与玻尔正好处于两个极端。玻尔的论文几乎没有数学公式，喜欢以冗长的句子没完没了地绕圈。狄拉克巴不得整篇论文完全以数学方程示人，根绝日常语言的污染。即便是在讨论时，他也惜语如金，力求以最简短、最准确的词句解释。如果有人不理解，他也只能原封不动地再重复一遍——他已经不可能再找到更好的表达方式。（多年后，他的名字在剑桥成为一个计量单位：一个“狄拉克”是每小时说一个单词的语速。）

玻尔经常被自己正阐述中的复杂语句搞糊涂，会习惯性地抱怨不知道应该如何结尾。狄拉克会冷冰冰来上一句：我们从小就学会了，如果你不知道怎样收尾，就不应该急着开口说话。

在玻尔的眼皮底下，几乎从不开口说话的狄拉克成绩斐然。

延续他博士论文中对矩阵力学的重新表述，狄拉克进一步推出更具一般性的“变换理论（transformation theory）”，为新生的量子力学提供了一个完备的数学根基。

在他的理论中，量子力学是代表量子态的矢量在多维希尔伯特空间中旋转的行为规律。如果在这个空间中选取不同的正则坐标，就会出现不同的“表象（picture）”。这些表象中既有着薛定谔的波动方程也有海森堡的矩阵代数。那两个理论不仅互相等价，而且都只是这个更普遍的变换理论的特定表现形式。

狄拉克第一次完整地统一了量子力学。

他还在论文的引言中开宗明义地指出：在这个变换理论中，波和粒子有着完美的和谐。以粒子为出发点的表象经过一个哈密顿变换后就能自然地成为波动性的表象。

于是，海森堡与薛定谔那势不两立的原则性观点冲突看起来也不过是过眼云烟。

美中不足，狄拉克没能独享这一构建量子力学根基的荣誉。几乎同时，玻恩的助手、同样精于数学的约旦也独立发表了同样内容的论文。

在新一代的弄潮儿中，1900年出生的泡利最为年长。海森堡比他师哥小一岁，而狄拉克和约旦又都是1902年出生。在1926年这个不凡的年份中，他们以25岁上下的青春岁月都相继进入了学术成就蓬勃而出的灿烂年华。

玻恩在1925年底去美国讲学之际，约旦交给他一篇自己刚刚完成的论文，请导师审阅后在他担任编辑的《物理学杂志》发表。玻恩随手把稿件放进行李箱，准备在旅途中阅读。不料直到大半年后他才又在箱底发现这篇被遗忘的文稿。

那正是量子力学日新月异的几个月。这一次，是狄拉克独立发表了同样内容的论文，导致约旦那被耽误的稿件不再具备发表意义。

1920年代的约旦。

爱因斯坦在完成玻色-爱因斯坦统计后没有意识到他的这个新量子统计——尤其是玻色-爱因斯坦凝聚——与泡利随后提出的不相容原理矛盾。爱因斯坦统计中的粒子会在低温时同时凝聚到能量最低的态。泡利却指出电子互不相容，不可能有两个电子同时占据同一个量子态。

海森堡在构造氦原子的波函数时发现如果将其中的两个电子互为交换，波函数的数值会改变正负号。正是这样的“反对称”可以阻止两个电子进入同一个量子态，满足泡利不相容原理。狄拉克随后做了推广，指出量子的粒子其实有着迥然不同的两类。在波函数中交换时不发生改变——即完全对称——的是遵从玻色-爱因斯坦统计的“玻色子”，它们的自旋量子数是整数。而包括电子在内还有另一类粒子。它们的自旋量子数是半整数，在波函数中交换时呈现反对称。它们不遵从玻色-爱因斯坦统计，需要另一个完全不同的统计规律。

虽然狄拉克因为玻恩的疏忽抢了约旦的先机，他也还没能成为这个新统计规律的创始者。在他之前，意大利的费米（Enrico Fermi）发表了同样的想法。

费米也是一个1901年出生的年轻人。他也曾经是玻恩的学生，但在人才济济的哥廷根自惭形秽，急流勇退。荷兰的埃伦菲斯特听说后，嘱咐学生乌伦贝克去探望。两个年轻人因此成为好朋友。乌伦贝克劝费米一定要见过和蔼慈祥的埃伦菲斯特后再决定是否放弃物理生涯。费米于是加入埃伦菲斯特的研究组，在那里重整旗鼓，最终成长为一代宗师。

1924年埃伦菲斯特（右三）与他的学生合影。左二是古德斯密特，右一为费米。右二是最先提出电子自旋的克勒尼希。左三廷贝亨（Jan Tinbergen）后来成为第一届诺贝尔经济学奖获得者。

尽管费米的论文相当粗糙，并没有细致地分析波函数中的对称性，狄拉克还是尊重费米的优先。他们的新发现于是被称作“费米-狄拉克统计”。相应的粒子叫做“费米子”。

约旦甚是失落。他在自己的专著中将之冠名为“泡利统计”。

沸腾年代中的海森堡也有着自己的烦恼。在哥本哈根担任玻尔的助手本来是他的梦想成真。随着时间的推移，他却感到这个职务有着难以摆脱的负担。

玻尔研究所扩建后，玻尔一家搬出原来主楼里的寓所，改居隔壁新楼中的所长套间。他们原来的卧室则成为助手的客房。与来访的薛定谔一样，住在所内的海森堡感觉玻尔在这里如影随形，无所不在。他无法像狄拉克那样每天按时上下班，因为玻尔会随时出现在他的办公室或寓所，几小时几小时地连续讨论如何诠释量子理论。他们常常如此争辩到深夜，甚至通宵达旦。

在这紧张的工作节奏中，海森堡最渴望的是能有一点自己静心思考的时间（他能够在哥本哈根解决氦原子光谱也还是因为那时玻尔得了重流感，有两个月没上班）。因为他始终无法忘怀在柏林与爱因斯坦的那一席交谈。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十九）：玻恩的几率波

海森堡非常地郁闷。

1926年应该是属于他的年份。他发现矩阵力学的第一篇论文在1925年9月问世。1926年2月，他与玻恩、约旦合作的“三人论文”发表，为以矩阵形式出现的量子力学拉开了序幕。一时间，世界各地的物理学家都一头钻进数学图书馆，急切地寻找任何可能与矩阵——从未听说过的怪物——有关的资料，祈望不要输在这条新的起跑线上。

1920年代中期的海森堡。

师兄泡利不仅最早见到从海岛上归来的海森堡，也是他第一篇论文的第一个读者。在多年用量子数拼凑原子光谱而凄苦忧伤、恨不得去当小丑演员后，泡利为量子领域终于有了数学的秩序欢欣鼓舞，感到生活又有了希望。但他还是很矛盾，唯恐这个新理论被玻恩用繁琐的数学糟蹋。海森堡看他患得患失，出言奚落，要他也拿出点自己的东西。泡利受刺激后埋头苦干了一个月，用师弟的矩阵力学完整地计算出氢原子的光谱。

在那之前，海森堡的矩阵还只是一个针对假想谐振子的简单模型。泡利的计算将其提升为解决现实问题的理论，验证了它的实用性和潜力。他在1925年11月完成这一壮举，论文在1926年3月发表。

仅仅十天后，薛定谔的论文横空出世，颠覆了海森堡的世界。

“嘿，你刚开始的时候知道会做出这么多有意思的东西吗？”14岁的依西（Itha Junger）天真地问薛定谔。她和双胞胎姐姐因为代数不及格一起被留级。安妮提议让薛定谔为她们辅导。依西自然地成为薛定谔的情色猎物，同时数学上也大有长进。

薛定谔圣诞节假期中发现他的方程之后，在1926年间创造力大爆发，六个月接连发表六篇论文，独立奠定了他称之为“波动力学”的新量子力学。他不无得意地向依西炫耀这辉煌的战果，并把小姑娘的问话录入这些论文结集出版的前言中。

薛定谔1926年初发表的波动力学系列论文之一。

两个世纪以前，牛顿为了能够准确地表述动力学发明了一个新的数学语言：微积分。物理学从那时开始正式成为系统、定量的科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦方程组，或者海森堡博士论文所研究的湍流，理论物理学家的职业生涯与微分方程难解难分。相应的数学工具也随之日新月异。

在雪山旅馆里，薛定谔只带了20年前出版的一本微分方程教科书。在终于构造出符合德布罗意关系的波动方程之后，他一时也没能求解出氢原子问题，要等到下山后在外尔的帮助下才成功。

随后，他们发现数学家希尔伯特等人已经对这类微分方程做了系统研究，刚刚出版了一本新教材。如果薛定谔当时有那新版本，氢原子问题在山上就可以迎刃而解。尽管如此，他和外尔也不过只花了两三天时间便自己找出了答案。毕竟，微分方程已经成为他们的“母语”。

在1926年3月问世的第一篇论文里，薛定谔以极其简短的笔调推出他的波动方程。与他为自己浪漫生活记录详尽的日记相反，他的科研笔记散乱无章，只有少量存世。如果忽略他所走过的弯路而以事后诸葛亮的眼光分析，他的发现过程相当简单：传统的经典波动方程是一个二次微分方程。按照德布罗意关系将其中的频率参数换成动能，然后再把动能拆解为总能量与势能之差，就可以得到薛定谔方程的数学形式。

与经典的波动一样，这样的微分方程和它的解都是连续的，没有分立的“量子”、“跃迁”概念。但薛定谔毫无困难地找出了两者的对应关系。

经典波动方程在特定的边界条件下会出现琴弦上驻波那样的解。希尔伯特把它们叫做“本征态（eigenstate）”。它们由一定的“本征值（eigenvalue）”标记。薛定谔方程也一样。它的本征态正是德布罗意所猜想的驻波，但更为丰富，是三维空间中的分布。这些本征态分布正好集中在玻尔轨道的附近，有着同样的能级。它们也自然地有着三个不同的本征值，正是那已经熟悉的量子数。

在经典的波动中，如果两个频率相近的波相遇，它们之间的干涉作用会产生一个新的频率：“拍频（beat）”。这个频率是那两个频率之差，正好满足了玻尔轨道“跃迁”的能量关系。但它们不像“跃迁”那样具备无法理解的瞬时、断裂，而是与经典物理无异的自然、连续过程。

这样，薛定谔的新方程同时为玻尔的轨道和德布罗意的驻波提供了坚实的数学基础。但他既不需要玻尔那些无中生有的规则，也不用像海森堡那样人为地构造不连续的表格。量子的不连续性以本征态、本征值的方式在连续的方程中自然涌现，无需任何先验的注入。

为了用可观测的光谱参数表述原子模型，海森堡在不知情中重新发明了矩阵代数。这对物理学家是一门新的语言，如同拗口、难懂的外语。几个月下来，只有泡利有能力用矩阵求解出最基本、最简单的氢原子，其他人都未能有所建树。

泡利对薛定谔论文的第一反应非常负面。如同他把玻尔认可自旋称为“哥本哈根邪说”，他把薛定谔方程叫做“苏黎士的迷信”。但同时他也不由倒吸一口冷气：他自己使足浑身解数，花一个月时间才求解了氢原子。如果采用薛定谔的方法，那不过是轻松的举手之劳。

当然最神奇的是两个方法所得出的结果完全一致。

他们的导师索末菲、玻恩立场也在动摇。索末菲最初看到薛定谔的论文时直觉那完全是一派胡言，但很快改口说矩阵力学虽然是真理在手，却过于复杂并且抽象得可怕。薛定谔的到来是一个救星：波动提供了数学的便利和直观的图像。

刚刚发现电子自旋的乌伦贝克直接地表达了他们下一代的心声：“薛定谔方程来得正是时候。我们不再需要学习那莫名其妙的矩阵数学了。”

海森堡看到他预期的灿烂尚未开放就已经被薛定谔突如其来的乌云遮掩。随着泡利、索末菲、玻恩相继“倒戈”，他有着一种众叛亲离的悲凉。

当然，海森堡的名望也在急剧地上升。那年4月他得到邀请去柏林讲学。虽然新生的量子力学集中于索末菲的慕尼黑、玻恩的哥廷根和玻尔的哥本哈根所构成的“金三角”，海森堡觉得真正的物理中心还是在柏林。当他走上那里的讲台，看到第一排依次就座的爱因斯坦、普朗克、能斯特、劳厄——四位诺贝尔奖获得者——他真切地体验到自己正在迈进精英的行列。

他的演讲十分顺利。爱因斯坦随后热情地邀请他回家晚餐。他们一起走过柏林的大街时，爱因斯坦友善地询问海森堡的生活、学业及工作，气氛相当融洽。

等他们在爱因斯坦的公寓中坐定之后，爱因斯坦才突然发问：“你真的觉得电子的轨道不存在？”

海森堡早就在等待这一时刻。他胸有成竹地解释，“是的，你没法实际地观测电子的轨道运动……”爱因斯坦当然清楚他的来路，更直截了当地问道，“难道物理学中只能存在可以观测的物理量吗？”海森堡这下子倒真觉得诧异。他不解地反问，“难道那不就是你创立相对论时的基本思想吗？”

爱因斯坦狡黠地一笑，答曰，“也许是吧。但同一个笑话是不能重复讲两遍的。”

海森堡满心以为爱因斯坦会赞许他同样基于逻辑实证的矩阵力学。他不知道爱因斯坦半年前从玻恩那里获悉这个新发现时就一直持怀疑态度。他在给埃伦菲斯特的信中表示：“海森堡下了一个量子大鸭蛋。哥廷根那些人相信这个东西，我却不信。”

几个星期后，柏林的物理师生济济一堂，又一次听取了关于矩阵、波动最新进展的报告。主持讨论会的爱因斯坦有点烦，他最后总结：“我们一直都没有精确的量子力学。现在突然之间有了两个。你们都会同意这两个理论互不相容。哪个会是对的？也许没一个是正确的。”

不料，他话音刚落，席中的戈登（Walter Gordon）站起来报告：他刚从苏黎士回来，听说泡利已经证明了这两个理论其实是同一个。

访问柏林时，海森堡正面临一个选择。

他本来已经准备好再度去丹麦，担任玻尔的助手并同时在哥本哈根大学兼任讲师。莱比锡大学却突然给他发来教授聘书。年仅25岁就能够担任正教授在德国属于闻所未闻，是一个极其难得的机会。海森堡有点难以取舍，便询问爱因斯坦的意见。

曾经为敲开学术界大门历尽坎坷的爱因斯坦不假思索地回答：去跟玻尔干吧，你不会后悔的。他深信海森堡是一颗正冉冉升起的新星，以后不会缺乏莱比锡那样的机会。海森堡听从了爱因斯坦的建议。

薛定谔也在忙于四处讲学。7月，他来到慕尼黑。德国物理学会的地方分会恰好也在那里聚会。已经在哥本哈根任职的海森堡特意赶回来参加。薛定谔的讲演吸引了满屋子的听众。结束时，后排的海森堡又忍不住提问：你这个波动理论如何能解释光电效应、康普顿散射？

这时的海森堡已经有了博士学位，不再是四年前当众质问玻尔的那个大学生。但他毕竟还只是助手、讲师，比苏黎士大学正教授差了几个级别。依然对海森堡看不惯的维恩教授忍无可忍，站出来痛斥海森堡没有礼貌。

维恩也是薛定谔的老朋友。薛定谔还在滑雪营地中琢磨他的方程时就一直与维恩通信报告进展。这时维恩信心十足也越俎代庖地向全场听众宣布，毋庸置疑，薛定谔教授肯定很快会找出办法来的。他转头又忠告海森堡：年轻人，你要明白我们现在再也不需要那莫名其妙的量子跃迁了。

在老权威面前，海森堡无计可施。在场的索末菲也没有出手辩护，让海森堡颇为失落。他只好给玻尔写信告了一状。玻尔阅后，即刻发信邀请薛定谔到哥本哈根一叙。

对海森堡来说，薛定谔是一大威胁。这并不是因为后者抢了他的风头：波动方程在数学计算上远远比他的矩阵简洁实用。海森堡最忌讳的还是薛定谔物理观念上的反动。

正如爱因斯坦所担忧，这两个几乎同时冒出来的新量子力学彼此水火不相容。它们重新点燃了物理学家在粒子与波之间持久的争执。海森堡的诘问打中了要害：薛定谔的确没法解释光电效应和康普顿散射，因为那是很明确的粒子行为。在爱因斯坦以光是粒子成功解释光电效应的四分之一世纪之后，薛定谔的电子是波却又在重蹈过去的覆辙。

海森堡的矩阵描述的是粒子的运动，出发点是分立、量子化的能级；薛定谔的方程却只有连续的波，作为本征值的能级之出现只是数学上的巧合。海森堡坚持可观测量，薛定谔却反其道而行之，跟着德布罗意采用了一个看不见摸不着、甚至无法解释的波。

在海森堡看来，这一切完全没有物理意义。薛定谔则反唇相讥，指出矩阵繁复隐晦，不具备波动方程简单明了的直观物理图像。

不过，这新一轮的粒子与波争议与以往不同。双方不再停留在思辩层面，各自都有了精确、完备的数学工具。这为他们貌似势不两立的分歧提供了一个切实的可比性。

连爱因斯坦都没有料到，这个原则性的立场之争只延续了区区几个星期。泡利率先声称他从数学上证明了矩阵和波动力学其实完全等价，不分彼此。与他许多发现一样，泡利只是在口头、书信中与朋友做了交流，懒得写论文正式发表。还是薛定谔几乎同时做出了自己的证明，发表于他那年第三篇论文：《关于海森堡-玻恩-约旦与我自己的量子力学之间的关系》，论证了二者的严格等价。

粒子乎？波乎？它们竟然在两个鸡同鸭讲的数学语言中殊途同归。

1925年12月，玻恩在完成他与海森堡、约旦合作的三人论文后启程去美国进行为期五个月的讲学访问。在那期间，他集中精力用矩阵力学计算两个粒子的碰撞过程。虽然有着雄厚的数学功底，他也没能取得进展。回到德国后，他看到薛定谔的论文极为震惊，立即确认那是更为优越的数学工具。但从粒子碰撞的实例中，他意识到那波的概念亟需澄清：到底是什么在波动？

1920年代中期的玻恩和他的儿子。

物理学家早已熟悉了两种不同的波。一是日常所见的水波、声波。它们是所处媒介的脉动：水或空气分子小尺度协调一致的振荡在大尺度上形成波动。波动的幅度便是分子振动的强度。另一种是电磁波。在以太被爱因斯坦的狭义相对论摒弃之后，电磁波没有媒介，是电磁场自身的振荡。电磁波的幅度是相应电磁场的强度。

德布罗意没有明确说明过他那伴随着粒子的波是什么。相应地，薛定谔干脆把他方程中描述振幅的变量直接称作“波函数（wave function）”——不管是什么波。

但薛定谔自己并无怀疑。他认定这个波是实实在在的，为电子或其它任何有质量的粒子提供了一个直观图像：它们不是只处于空间一个地点的粒子，其质量、电荷都同时弥漫于一个范围。波函数描述了它们的空间分布。

为了回应海森堡的质问，薛定谔试图把波函数的分布限制得非常狭窄，可以近似于粒子。这样的波在经典理论中也有例证，即“波包（wave packet）”或“孤立子（soliton）”。无奈，他的量子方程与经典波动方程一样，让这类局域性的波不稳定，随时间会很快耗散变为宽广的分布。显然，电子并没有表现出这样的行为。

玻恩对粒子的孤立特性深信不疑。在哥廷根他办公室的隔壁，因为探测到水银原子能量不连续而刚刚获得诺贝尔奖的弗兰克每天都在实验室里忙活。他的盖革计数器在不断地鸣叫，每个声响都意味着一颗粒子的抵达。他不是在计量什么波函数的分布。

通过对粒子碰撞的演算，玻恩清楚地看到薛定谔的物质波无法自圆其说。当一个粒子遭遇障碍时，它对应的波会像池子里的水波遇到石头一样在石头周围蔓延开来。能够被盖革计数器一个个计数的粒子不可能这样地“散开”。玻恩因此确信必须彻底扬弃薛定谔引以为傲的物理图像，只保留他那有效的数学形式。

在与爱因斯坦的频繁通信中，玻恩早就熟悉他这个老朋友曾提出的“鬼场”概念。为了给光子赋予波动性质，爱因斯坦曾设想作为粒子的光子是在一个鬼场的导引下运动，它在空间某个地点出现的几率取决于鬼场在该点的强度。

玻恩意识到薛定谔的波其实就是爱因斯坦的鬼场。它不是薛定谔所认为的物质、电荷在空间的分布，而只是标记粒子在某个地点出现的几率。这个几率随时间、地点的变化便是薛定谔方程所揭示的量子力学规律。

粒子相撞时，它们相应的波函数会同时向四面八方扩散。那不是粒子本身的发散，而只是这个粒子有着向各个方向飞离的可能性。玻恩于是指出，在量子力学里，我们不再能确切知道一个粒子碰撞后会往哪个方向飞，而只能计算它飞向某个方向的概率。

当粒子以一定几率“出现”在某个地点时，它依然会是一个完整的粒子，可以被盖革计数器捕捉、记录。它也会像经典的粒子一样再度碰撞，因此会出现海森堡所忧虑的光电效应和康普顿散射。

这样，在量子世界里，粒子的运动不再有确定的行为、结果。它们都取决于概率。

1926年年底，玻恩发表了他这个基于几率的波函数诠释，为量子力学天翻地覆的那一年划上句号。他特别指出这个想法源自爱因斯坦。

爱因斯坦却没有领情。他给玻恩写信曰：“量子力学的确洋洋大观。但我内心里有个声音在告诉我这还不是一个确实的答案。这个理论说了很多，却还没有让我们更接近那个‘老家伙【意指上帝】’的秘密。无论如何，我确信‘祂’不会掷骰子。”

（待续）