Sunday, October 18, 2020

量子纠缠背后的故事(廿一):海森堡的不确定

1925年4月的一天,美国一家不起眼的西部电力公司实验室里发生了一次意外事故。一个储存液态空气的罐子爆炸,损坏了戴维森(Clinton Davisson)正准备做实验用的镍片。戴维森不得不将镍片重新加热去锈。当他重启实验,用电子束轰击这些处理过的镍片时,意外地看到了与以前不同的散射结果。他不明白究竟,只是兢兢业业地收集了数据写成论文发表。

三个月后,他越洋过海到牛津参加英国科学促进会的学术会议,非常惊奇地发现他这篇论文在那里引发了关注。作为实验室职员,戴维森还从没听说过德布罗意,更对电子可能是波的奇怪想法一无所知。

德布罗意一直在寻求实际验证他的波动假说。他经常像小时候一样跑到哥哥的实验室,鼓动他们用电子束代替X射线观测衍射现象。当初把他带入量子物理的比他大17岁的哥哥已经是巴黎首屈一指的X射线专家。他没有把弟弟的恳求当回事,因为他们有着太多更为重要的实验。

爱因斯坦在推广德布罗意波的论文中也对实验物理学家发出呼吁,才引起了更广泛的注意。戴维森在牛津听说他那个偶然的实验可能已经发现了电子束的衍射时才如梦初醒。他急忙赶回实验室,与助手革末(Lester Germer)一起重新进行系统的验证。

1927年1月,他们发表论文证实电子束通过金属内部晶格形成的“狭缝”时会发生衍射。因此,与光束一样,电子束也是一种波动。

在实验中发现电子衍射现象的戴维森(左)和革末。


戴维森和革末的结果直接证实了德布罗意的波动思想,促使德布罗意在1929年荣获诺贝尔奖。(他哥哥后来接替了他们导师郎之万在法兰西学院的教授席位,自己也几次获得诺贝尔奖提名。)

就在戴维森发现电子衍射的那一年,他所在的公司改组,变成隶属于美国电话电报公司的贝尔实验室。1937年,戴维森成为这个默默无名新实验室的第一个诺贝尔奖获得者。

与他分享这一殊荣的却不是革末,而是剑桥新一代的汤姆森(George Thomson)——卡文迪许实验室老主任汤姆森爵士的儿子。他在牛津的会议上听到关于戴维森实验的讨论后自己用不同的设计也验证了电子的衍射。相隔31年,汤姆森父子分别以发现作为粒子的电子和作为波的电子被载入史册。


1803年,杨在英国王家学会上展示光的衍射和干涉,宣告了牛顿微粒说的破产:光是波。一百年后,爱因斯坦在光电效应的解释中再度复活了光的粒子性,其后由康普顿的实验证实。

汤姆森爵士发现的电子在阴极射线管里以及卢瑟福的β衰变中显然是个粒子。然而,戴维森、革末和他自己的儿子却揭示电子束同样会发生衍射,也是波。

波乎?粒子乎?这不再只是理论、哲学的思辩。在新量子理论方兴未艾的年头,旧量子理论鼻祖爱因斯坦和玻尔都在为此伤透脑筋。无论是光还是电子,比较明显的答案是它们既是波又是粒子,即所谓的“波粒二象性(wave-particle duality)”。

然而,这又如何才能够避免自相矛盾?

爱因斯坦在这个问题上已经有了十多年的纠结。早在刚刚离开专利局的1909年,他在萨尔兹堡的德国科学界年会上以对电磁波压强的统计分析揭示光既含有波又有粒子的成分,并通过固体比热理论提出量子是一个普适的概念,同样适用于电子。

那是一个异常超前的思想。洛伦兹就很是不解,写信质疑:量子的能量与频率成正比,粒子只有在周期运动时才会有频率。金属中自由电子做直线运动,不存在频率的概念,如何能用量子描述?

爱因斯坦当时自然也没有好办法,但他已经坚信电子的运动会服从与光子同样的量子规律。在那之后十年里,他一直试图在麦克斯韦方程中引入普朗克常数,使之量子化,但一无所获。

十年后,德布罗意将频率与粒子动能直接相联的新思想和薛定谔方程的出现既证实了他的直觉,也终于让他明白自己所走的死胡同。薛定谔关注的是有质量的粒子,普朗克常数可以“自然”地出现在他的方程中。而光子没有质量,普朗克常数因而在麦克斯韦方程中会在方程两边互相抵消而不出现。因此,麦克斯韦方程其实并不需要量子化。

当然他也不是一事无成。无论是德布罗意还是薛定谔,他们的发现都直接来源于爱因斯坦的前期努力。薛定谔在他的波动力学论文中特别感谢了“爱因斯坦简短但极富远见的指导”,尤其是爱因斯坦当初补充索末菲原子模型的一篇论文对他的启发。

可能出于这一渊源,爱因斯坦一开始就没有对海森堡的矩阵力学有好感,认为他下了一个不可信的“大鸭蛋”。而当薛定谔发表波动方程后,他却立即写信祝贺,赞许道:“我确信你以你对量子条件的描述已经取得了一个决定性的进步。我也同样地确信那个海森堡-玻恩途径是一条歪路。”

爱因斯坦没有预料到这两个力学的分歧却只在肤浅的表面。在薛定谔证明它们其实是等价的同一个理论后,爱因斯坦没有因此消除对矩阵力学的疑虑,他反而随之对波动力学也产生了怀疑。

玻尔对随着新量子理论而出现的波粒二象性却没有同样的思想准备,骤然间老革命遇到了新问题。他曾极力坚持光只是波的传统观念,顽固地拒绝接受光子的概念,直到他的BKS论文被康普顿后续实验否定。电子的衍射更迫使他面对波和粒子共存这个棘手的难解之谜。

在“劝降”薛定谔失败后,他把几乎所有时间和注意力都倾注于自己身边的海森堡。他们在研究所展开了没日没夜、无休无止的争辩。

在海森堡的眼里,玻尔依旧坚持经典的物理概念,尤其是电子运动的位置和速度——经典物理中物体运动最关键的两个变量、动力学方程的基础。然而,在新量子力学中,它们已经退居了二线,让位于不明就里的波函数或矩阵。

海森堡认定位置、速度与电子的轨道、跃迁一样,都只是经典物理的残余,在量子力学中不再有位置:它们都不是实际的可观测量。

终于,两个亲密无间的师徒在旷日持久的辩论中变得不再能忍受对方的存在。

1927年2月,玻尔独自离开研究所到挪威的大山中滑雪。那本来是他们计划好要一起欢度的假期,但玻尔临时改变了主意。海森堡不仅没有介意,反而大松一口气,有了属于自己的自由和清净。

伴随着玻尔的离去,海森堡脑海里被玻尔灌满的位置、速度乱麻也逐渐消退,代之以重新浮现的是近一年前与爱因斯坦那番谈话。


1911年在卡文迪许实验室的年终晚宴上,卢瑟福眉飞色舞的一番讲话强烈地感染了年轻的玻尔,促使他离开老气横秋的汤姆森而转投在曼切斯特的卢瑟福。其实,那晚卢瑟福滔滔不绝的并不是他自己实验室的进展,而恰恰是汤姆森麾下的又一个新突破。

卡文迪许实验室里并不都是原子物理学家。年轻的威尔逊(Charles Wilson)研究的是气象。他观察自然界多姿多彩的云雾,希望能在实验室里重现、研究它们的形成。他设计了一个精巧的箱子,在里面装满过饱和的水蒸气。当他突然拉动活塞急速降低箱子里的气压时,可以看见水蒸气瞬时凝结成云雾。

云雾由微小的水珠组成。水蒸气是在箱子里残留的细小微尘辅助下凝结成水珠的。威尔逊仔细地清洁他的箱子,排除里面所有杂质,但他仍然能够看到云雾的形成,其中还有一条条貌似随机的线条出现。

实验室里的物理学家意识到那是因为总有宇宙射线在穿过那个箱子,它们的动能使水分子发生电离,代替尘埃帮助水珠凝结。那些细线正是射线这样留下的足迹。

这样,威尔逊无意之中发明了一个实时观察高速粒子运动的工具。卢瑟福等人如获至宝。他们不仅用它探测宇宙射线,还第一次能够直接看到放射性原子所发出的α、β粒子的踪迹。把这个被命名为“云室(cloud chamber)”的箱子置放于电场、磁场中,他们还可以测量带电粒子在电磁场中的加速、拐弯。甚至,他们还可以发现粒子在相互碰撞的过程。

云室照片一例,显示各种高速粒子的轨迹。


十多年后,当海森堡在爱因斯坦的公寓里信心十足地解释电子的轨道如何不可观测时,爱因斯坦反问:你没看到过云室中拍摄的照片吗(β粒子就是电子)?


爱因斯坦已经快50岁了,早已不是过去以马赫的逻辑实证思想开创相对论的那个小青年。成熟后的他认识到客观世界是既已的存在,并不需要人类去实证。倒是人类自己的眼光有着相当的局限性。面对与他当初一样年轻的海森堡再度举起物理定律只能包含可观测量的大旗,他轻松地回以一个笑话不能重复两次的调侃。

显然,爱因斯坦早已深思熟虑过。他提醒海森堡,把光谱线的频率、光强当作可观测量其实也只是一厢情愿。原子发出的光经过大气传播、棱镜折射等过程最终在照相底片或视网膜上成像后才成为所谓的观测。海森堡之所以能把这样得到数据看作可观测量,不过是他不加怀疑地接受了麦克斯韦的经典电磁理论,确信那一连串过程没有实质性地改变原子所发的光的属性。

其实,那些光谱线也并不比在云室中看到的电子轨迹更为真实、可靠。

所以,爱因斯坦完全出乎海森堡意料地指出:物理学并不是实验的观测决定理论,反而是理论在指导你观测——正如麦克斯韦的理论引导物理学家测量光谱线。

虽然没有完全被说服,海森堡不得不承认爱因斯坦言之有理。在没有玻尔的两个星期中,他苦苦地回味着那一番富有哲理的谈话。


一天晚上,烦躁的海森堡走上街头,像狄拉克一样在哥本哈根漫无目的地游走。他的思绪在寒冷的夜风中逐渐变得清晰。

爱因斯坦对光谱线观测的那一番剖析同样适用于云室的照片。云室里一条条的直线和曲线只是一连串不连续的小水珠。它们因为电子或其它粒子的经过而出现,却远远不是电子的轨迹。那中间隔着有太多的物理过程。

观察电子的轨道,还需要更为直接、精确的手段。而爱因斯坦和玻尔难以忘怀的其实是同一个问题:如何测量、描述电子的位置和速度。

“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗?”维恩教授在答辩时那句轻蔑的挖苦是海森堡挥之不去的梦魇。他时常还会不自主地回忆起那个场景,一次次默默地回应。

显微镜的确是实验室中很普通的仪器。用它可以观察做布朗运动的花粉、生物体的细胞等微小的物体。照射它们的光经过棱镜放大、聚焦后,肉眼看不见的细节会变得一览无余。然而,无论显微镜做得如何精致,它的分辨率最终会取决于照射光束的波长。要想看到细微的结构,必须用波长比它更小的光来照射。

如果要直接观察到电子的轨迹,海森堡想到,就只能用波长最小、频率也就最大的光——至少需要康普顿做实验时用的X、γ射线。

在他与爱因斯坦那一席长谈时,康普顿的研究又有了新的进展。康普顿效应不再仅仅是用光照射晶体中电子时测得的统计结果。康普顿还在云室中直接观察到一个光子和一个电子碰撞所留下的印记。他拍摄的照片清晰地显示了电子被光子击中后的反弹,无可辩驳地证明了光子的存在。1927年底,威尔逊和康普顿分享了诺贝尔奖。

海森堡突然醒悟。如果使用波长非常短的γ光去照射电子,那就不是传统意义上的显微镜:所用的光不再只是背景工具,而是直接干预电子运动的因素。它会像康普顿观察到的那样以单个光子与电子发生碰撞,将一定的动量、能量传递给电子。如果要看到云室照片那样的电子轨迹,就必须持续地用一个又一个光子去“照射”。但这样得到的数据并不是电子本来的轨迹,而只是电子在遭到一次又一次撞击后所偏离、扭曲了的轨迹。所以,电子自身的轨道依然无法观测。

但是,问题还更为严重。

当一个光子与电子发生碰撞时,利用康普顿的能量、动量守恒方程可以通过对光子碰撞前后的测量结果推算出电子在碰撞时的位置和速度。这个测量也有着同样的局限:对电子位置测定的精确度不可能小于光子的波长。

如果在想像中用波长无限小的光子去“照射”,便可以精确地找到电子的位置。但波长无限小也意味着光子的频率、能量和动量都是无穷大。这样强劲的光子会一下子把电子击飞而自身动量不受影响,也就无法测量到电子的速度。

要非常精确地测量到电子的速度,只能用频率极低的光子“温柔”地触碰电子。那样的光子波长就会非常大,无法测量到电子的准确位置。

在哥本哈根寒夜的街头,海森堡意识到玻尔那难以忘怀的位置和速度在量子力学中犹如鱼和熊掌,不可兼得。所能做到的只有折中策略:用一定频率、波长的光子与电子碰撞,同时获取电子的位置、速度数据。这两个数据都不会完全准确,各自带有一定程度的不确定性。

为了回应爱因斯坦的质问,年轻的海森堡发明了一个逻辑实证式假想试验。那正是爱因斯坦的拿手好戏。但他的思绪还没有终止。

泡利和狄拉克等人一直都在向海森堡抱怨,从他的矩阵力学开始的那个不对易乘法规律让量子力学变得不可捉摸。因为在数学上等价,不对易性也同样地出现在薛定谔的波动力学中。狄拉克揭示那是普遍的量子规律,是经典力学通过泊松括号走向量子化的台阶。但他们却也相继发现,这个乘法的不对易性不只是数学上的别扭,而有着真切的物理效应:因为位置和动量——也就是速度——相乘时不对易,量子力学无法同时描述这两个最基本的物理量。

如果先计算好粒子的位置,它的动量就会变得捉摸不定。反之亦然。在数学形式上,这其实是不对易乘法的直接推论。在物理上,这样的结果显然极其荒唐。纵是泡利、狄拉克,也没能破解这一怪诞的谜团。

海森堡恍然大悟,那正是他的假想试验在理论中的表现。从大街上回到住所后,他像在北海那个荒岛上那样又一次沉浸于严谨的数学推演。很快,他利用便捷的波动方程证明了一个匪夷所思的结论:同时测量粒子的位置和动量时的精度会有一个无法超越的总下限。这个极限直接来自不对易关系,完全由普朗克常数决定。因此,这是一个量子世界特有的新规律。

正如爱因斯坦所言,是理论在决定着什么是可观测量。


这是他又一个重大发现。海森堡不敢懈怠,立即写好了论文。他知道如果玻尔回来后介入,论文肯定会在他的反复修改中变得支离破碎面目全非,甚至不知道要等到何时才能面世。为了避免重蹈斯莱特的覆辙,海森堡壮起胆子,抢在玻尔回来之前私自将论文寄出。

玻尔度假回来后为助手的这一新发现欢欣鼓舞。他立刻指出了论文中的一点纰漏。正如海森堡所料,玻尔也批评论文没有能清楚、深入地阐述这个发现的本质和意义。他让海森堡立即撤回稿件,由他们共同修改后再重新递交。

早有预感的海森堡依然难以承受这心理压力,眼里不禁涌出了泪水。但他还是没有退让,倔犟地拒绝了玻尔的“无理”要求。在那之后,两人关系近乎破裂。他们整天在同一个研究所里,抬头不见低头见,却互相躲避,几乎不再交谈。

海森堡不确定原理论文封面。这是美国著名化学家鲍林(Linus Pauling)保存的印件,右上角有他的批注:“玻恩在哥廷根给我的”。


海森堡违背师愿一意孤行发表的论文长达26页。他在校对之后加了一个尾注,感谢玻尔在论文完成后提出的“更深入、敏锐的分析”和指正。在这个脚注中,他也许是在无意中也提到了玻尔与他辩论时所用的语言。

因为这是一个经典物理中不存在的新现象,海森堡没能把握如何定义。在论文中,他随意地使用了“不精确(inexactness)”、“无法确定(indeterminacy)”等词汇描述对粒子位置、动量测量时会出现的僵局。在后加的脚注中,他采用了玻尔的用词:“不确定(uncertainty)”

那一时刻的海森堡年轻气盛,正处于科学生涯的巅峰。他没有听从玻尔的规劝,也无法听进导师正迫不及待地要表达的观点。他压根没有想到玻尔独自在挪威的大山里滑雪时并没有闲着,也产生了他自己关于量子力学的新思想。


(待续)


Sunday, October 11, 2020

量子纠缠背后的故事(二十):狄拉克的变换

1926年也是量子力学不寻常的一年。

那年年初,玻恩在他正在访问中的美国波士顿收到来自英国剑桥的一篇论文,为海森堡的矩阵理论提出一个新颖的视角。他觉得非常地意外,因为那时他与约旦、海森堡合著的“三人论文”尚未问世,应该还没有人能明白那怪异的矩阵力学。那篇论文的作者是剑桥的研究生狄拉克,一个从未没听说过的名字。

自从玻尔谢绝卢瑟福的聘请后,剑桥不再拥有一流的量子理论学家,淡出了由海峡对面慕尼黑、哥廷根和哥本哈根金三角主宰的新天地。海森堡完成第一篇矩阵论文后曾到剑桥短暂访问,他没有在讲座上提及自己这个新发现。也不知道狄拉克是否与他碰过面。

狄拉克出生于英国西南的海滨城市。他父亲却是瑞士人,在当地中学教法语。作为第一代移民,父亲极为苛刻,强迫孩子们只能以法语与他交谈,稍有差错就会受到严厉的惩罚。在能够以法语会话之前,狄拉克和他哥哥、妹妹只能与母亲一起像仆人似地躲在厨房里吃饭。

聪明的狄拉克是三个孩子中最先学会法语的,因此被恩准上桌子与父亲一起进餐。但既为了避免犯错被惩戒也是作为抗议,他在餐桌上绝口不说一句话。

父亲的专横对孩子们造成了极大的心理伤害。他们几乎在与世隔绝中长大,家里从来没有客人,自己也没有朋友。后来,狄拉克的哥哥在25岁时自杀。那时狄拉克已经是剑桥的研究生,正处于事业起飞的前夜。

因为家境贫寒,他们兄弟俩中学毕业时都在当地大学修习实用的工程专业。然而事与愿违,他们毕业时遭遇第一次世界大战后的经济萧条,没能找到体面的工作。狄拉克又回学校从头开始学习应用数学。那精确、简练的数学语言立刻让他折服,从此一生追求如何用数学——也只用数学——描述自然界。爱丁顿日食测量证明广义相对论的轰动效应也把他的注意力吸引到物理领域。

他的努力终于得到回报,赢得一项奖学金去剑桥攻读博士学位。

孤独中长大的狄拉克不具备基本的社交能力。在剑桥,他过着独往独来、规律得如同机器人的生活。星期一到星期六是他学习的日子。他每天按时起床,步行到学校用功。晚饭再出去散步。星期天,他带上午餐到郊外四处游走。那是他放松大脑,不再思考学业的一天。

1927年,在乡间漫步的狄拉克。


英国大学的传统是学生以自学为主,由导师提供一定的指点。狄拉克因此在剑桥如鱼得水,学业急速长进。他的导师是卢瑟福的女婿、物理教授福勒(Ralph Fowler)。

福勒也是剑桥唯一能勉强跟上量子理论蓬勃发展的理论家,曾在海森堡来访时私下谈论过他的新进展。应福勒的要求,海森堡拿到论文的校样后就给他寄了一份。福勒又随手将它转寄给度假中的狄拉克,让他这个沉默寡言却聪明绝顶的学生先睹为快。

狄拉克读了后没觉得海森堡那复杂的数学背后有什么实际意义。直到十来天后的一个星期天,他照常在野外暴走、不应该考虑科学问题时,脑子里突然不听话地浮现起论文中不起眼的一小段。

海森堡坐在海岛巨石上等待日出时意识到他刚刚发明的列表计算有个毛病:两个表相乘的结果与它们的顺序有关。在普通代数中,加法和乘法是“对易”的:2加3等于3加2;2乘3也等于3乘2。减法和除法不对易:2减3不等于3减2。在他的新法则里,两个列表相乘时如果彼此交换顺序却会有不同结果,违反了乘法的对易性。

他直觉十分荒唐,只好在论文中很不好意思地指出那可能会是新理论的隐患。

狄拉克在他的数学研究中早已见到过不对易的乘法,不觉得会是个问题。但他不知道那也正是剑桥前辈凯利发明的矩阵代数的一个特征。他更不知道玻恩和约旦已经发现海森堡的矩阵力学中,代表位置与动量的矩阵相乘时不对易。它们不同顺序的乘积之差正好与普朗克常数成正比,说明那是一个经典物理中不存在的量子现象。

狄拉克只是隐隐觉得这个位置与动量乘法的非对易关系似曾相识,却想不起来在哪里见过。那天晚上,他破天荒地烦躁,一夜无眠。好不容易挨到早晨图书馆开门,他冲进去查阅经典力学的大部头著作,果然找到有一种叫做“泊松括号(Poisson bracket)”的数学构造。它在形式上与海森堡的不对易性颇为相像。

牛顿的动力学以“力”为中心。在普通物理中,力通常被定义为“物体之间的相互作用”。那其实是一句没有意义的空话——力也是一个看不见摸不着的假想概念。牛顿之后,一些数学家试图将他的动力学脱胎换骨,代之以更严谨的数学描述。在欧拉(Leonhard Euler)、拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)和哈密顿(William Hamilton)等人长达一个世纪的持续努力中,经典力学终于被彻底改写,有了更具普遍意义的数学形式。

在这个新的表述中,力被势能取代。物理体系及行为由其动能和势能所组成的“拉格朗日量”或“哈密顿量”描述。薛定谔构造的波动方程便采用了含有哈密顿量的形式。

泊松括号是法国数学家泊松(Simeon Poisson)在这个体系中发明的一个表达方式,用以构造所谓的“正则坐标(canonical coordinates)”。它其实与海森堡的非对易乘法没有关系。

但狄拉克却敏锐地看出其中一个奇异的联系:海森堡的矩阵力学与哈密顿式的经典力学并没有太大差异。如果将经典力学中的泊松括号重新定义为含有普朗克常数的数值,就可以直接“量子化”为海森堡的力学。

这样,狄拉克在经典物理和量子物理之间架起一座桥梁,也终于为玻尔那喋喋不休却捉摸不定的对应原理提供了一个数学基础。

与他的风格相符,狄拉克据此而作的博士论文有着言简意赅的标题:《量子力学》。那是有史以来第一部以量子力学为题材的学位论文——量子力学这时还未满周岁。

顺利赢得博士学位后,狄拉克又获得一份奖学金。在福勒的建议下,他决定留洋深造,到正在成为量子力学圣地的哥本哈根和哥廷根镀金。


1926年10月1日,玻尔在火车站接到了应邀来访的薛定谔。这还是他们俩的第一次见面。玻尔却没有心思客套,一碰头就忍不住向薛定谔发出一连串的诘问。

曾几何时,玻尔的原子模型揭开了量子理论的序幕。十年之后,他的电子轨道、量子跃迁等新概念已经被海森堡、薛定谔更新的理论撕扯得支离破碎,被不客气地划入“旧量子理论”。取而代之的“新量子理论”便是矩阵、波动以及狄拉克那还没人看懂的新力学体系。

虽然薛定谔已经证明了矩阵与波动力学在数学上等价,他和海森堡的分歧不仅没有消失,反而日益尖锐。在收到海森堡怨气满腹的来信后,玻尔邀请薛定谔来面谈,期盼能达成共识,将苏黎士的这位游侠也纳入自己的金三角阵营。

在自然科学中,物理学是最数学化的精确科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦电磁学,乃至爱因斯坦相对论,它们都已各自的方程式引领风骚。只要有了需要的方程,加之必要的边界条件,一切相关的物理问题均可迎刃而解。

薛定谔正是这样听从德拜的建议为德布罗意的波动找到了方程式。但他没料到这却带来更大的麻烦。如何理解那作为方程主体的波函数在物理学家中莫衷一是。可能是物理学史上第一次,严谨的数学语言不足以描述物理现象,需要外加辅助性的“诠释”。

薛定谔不能认同玻恩的几率诠释。他坚持波函数就是粒子的实在分布,运动是连续的波动过程而不存在所谓的量子跃迁。在哥本哈根的那几天里,玻尔日日夜夜地跟随在他旁边,就这个问题没完没了地“讯问”。终于,薛定谔病倒卧床不起。玻尔夫人玛格丽特精心照料,为他端汤送水。玻尔却还是固执地坐在床头,一个劲地探寻:“可是,薛定谔,你不可能真的会认为……”

当薛定谔终于逃离这个鸿门宴时,他身心俱疲,却依然固执己见没有归顺。

作为玻尔助手的海森堡明智地在这场争论中置身事外,只在近距离旁观、记录。他在内心里对玻尔立场不坚定、在与薛定谔的波动说眉来眼去颇有微词。但这时他也已经找到一个击溃薛定谔的利器。那却正是薛定谔的波函数。

就在薛定谔到来之前不久,海森堡也抽空研究了波动方程。他成功地计算出有两个电子的氦原子光谱。那是自玻尔推出原子模型以来一直未能解决、曾经让泡利在博士论文中束手无策的大难题,也是新量子理论的第一个重大突破。

海森堡也因此切身体会到波动方程在实际运算上的绝对优势,不得不承认自己的矩阵在这方面望尘莫及。

但同时,他发现氦原子那两个电子的波函数非同一般。

按照薛定谔那具备直观优势的图像,两个电子的波函数与一个电子的波函数不会有太大区别。它们是电子在三维空间的分布。具有两个电子的波函数无非是质量、电荷的总和会是一个电子的两倍,在形状上则会同时显现两个分立的波包。

然而,海森堡用来解决氦原子的波函数却没有那么直观。它是一个在六维空间中的分布:两个电子各有自己的三维空间。他也很容易地看出,这个结构可以直接推广到更多电子的原子,只是波函数所占据的空间维数会随之增多。铀原子有着92个电子,它的波函数就会有多达276个的空间维数。

这听起来似乎匪夷所思,但对已经精通微分方程的理论物理学家却并不突兀。在拉格朗日、哈密顿推广后的力学体系中,这样的抽象数学空间业已司空见惯。况且,数学家希尔伯特也在几乎同步地提供相应的数学工具——这个多维空间后来就被物理学家命名为“希尔伯特空间”。

虽然这样的空间只是一个数学上的便利。但它也显示波函数并不是薛定谔心目中的物质分布,倒是与玻恩的诠释相当合拍:波函数是电子各自在三维空间中出现的几率。众多的电子各有各的几率分布,互相分离但并不完全独立。它们在同一个波函数下依照薛定谔方程随时间、空间演变,其几率既各自为政又相互关联同步。


狄拉克正是在这个激情四溢的时刻来到哥本哈根。他在市区租住了一个房间,每天形单影只地按时上下班。傍晚,他喜欢随便找一趟公车搭乘到终点站,然后自己循原路步行回家,宁静地领略这个陌生都市的夜晚。星期天,他依然故我地独自在郊外暴走。

玻尔已经见识过太多在他研究所来来往往、性情迥异的年轻人。瘦长、孤僻的狄拉克是他唯一无法吃透的角色。他把狄拉克称作“最奇葩的人”。当玻尔察觉狄拉克对话时只用“是”、“不”两个单词时,他和人打赌看谁能迫使狄拉克说出第三个词汇。经过一番努力,狄拉克终于不得不回应出一个“不在乎”。

狄拉克与玻尔正好处于两个极端。玻尔的论文几乎没有数学公式,喜欢以冗长的句子没完没了地绕圈。狄拉克巴不得整篇论文完全以数学方程示人,根绝日常语言的污染。即便是在讨论时,他也惜语如金,力求以最简短、最准确的词句解释。如果有人不理解,他也只能原封不动地再重复一遍——他已经不可能再找到更好的表达方式。(多年后,他的名字在剑桥成为一个计量单位:一个“狄拉克”是每小时说一个单词的语速。)

玻尔经常被自己正阐述中的复杂语句搞糊涂,会习惯性地抱怨不知道应该如何结尾。狄拉克会冷冰冰来上一句:我们从小就学会了,如果你不知道怎样收尾,就不应该急着开口说话。

在玻尔的眼皮底下,几乎从不开口说话的狄拉克成绩斐然。

延续他博士论文中对矩阵力学的重新表述,狄拉克进一步推出更具一般性的“变换理论(transformation theory)”,为新生的量子力学提供了一个完备的数学根基。

在他的理论中,量子力学是代表量子态的矢量在多维希尔伯特空间中旋转的行为规律。如果在这个空间中选取不同的正则坐标,就会出现不同的“表象(picture)”。这些表象中既有着薛定谔的波动方程也有海森堡的矩阵代数。那两个理论不仅互相等价,而且都只是这个更普遍的变换理论的特定表现形式。

狄拉克第一次完整地统一了量子力学。

他还在论文的引言中开宗明义地指出:在这个变换理论中,波和粒子有着完美的和谐。以粒子为出发点的表象经过一个哈密顿变换后就能自然地成为波动性的表象。

于是,海森堡与薛定谔那势不两立的原则性观点冲突看起来也不过是过眼云烟。

美中不足,狄拉克没能独享这一构建量子力学根基的荣誉。几乎同时,玻恩的助手、同样精于数学的约旦也独立发表了同样内容的论文。


在新一代的弄潮儿中,1900年出生的泡利最为年长。海森堡比他师哥小一岁,而狄拉克和约旦又都是1902年出生。在1926年这个不凡的年份中,他们以25岁上下的青春岁月都相继进入了学术成就蓬勃而出的灿烂年华。

玻恩在1925年底去美国讲学之际,约旦交给他一篇自己刚刚完成的论文,请导师审阅后在他担任编辑的《物理学杂志》发表。玻恩随手把稿件放进行李箱,准备在旅途中阅读。不料直到大半年后他才又在箱底发现这篇被遗忘的文稿。

那正是量子力学日新月异的几个月。这一次,是狄拉克独立发表了同样内容的论文,导致约旦那被耽误的稿件不再具备发表意义。

1920年代的约旦。


爱因斯坦在完成玻色-爱因斯坦统计后没有意识到他的这个新量子统计——尤其是玻色-爱因斯坦凝聚——与泡利随后提出的不相容原理矛盾。爱因斯坦统计中的粒子会在低温时同时凝聚到能量最低的态。泡利却指出电子互不相容,不可能有两个电子同时占据同一个量子态。

海森堡在构造氦原子的波函数时发现如果将其中的两个电子互为交换,波函数的数值会改变正负号。正是这样的“反对称”可以阻止两个电子进入同一个量子态,满足泡利不相容原理。狄拉克随后做了推广,指出量子的粒子其实有着迥然不同的两类。在波函数中交换时不发生改变——即完全对称——的是遵从玻色-爱因斯坦统计的“玻色子”,它们的自旋量子数是整数。而包括电子在内还有另一类粒子。它们的自旋量子数是半整数,在波函数中交换时呈现反对称。它们不遵从玻色-爱因斯坦统计,需要另一个完全不同的统计规律。

虽然狄拉克因为玻恩的疏忽抢了约旦的先机,他也还没能成为这个新统计规律的创始者。在他之前,意大利的费米(Enrico Fermi)发表了同样的想法。

费米也是一个1901年出生的年轻人。他也曾经是玻恩的学生,但在人才济济的哥廷根自惭形秽,急流勇退。荷兰的埃伦菲斯特听说后,嘱咐学生乌伦贝克去探望。两个年轻人因此成为好朋友。乌伦贝克劝费米一定要见过和蔼慈祥的埃伦菲斯特后再决定是否放弃物理生涯。费米于是加入埃伦菲斯特的研究组,在那里重整旗鼓,最终成长为一代宗师。

1924年埃伦菲斯特(右三)与他的学生合影。左二是古德斯密特,右一为费米。右二是最先提出电子自旋的克勒尼希。左三廷贝亨(Jan Tinbergen)后来成为第一届诺贝尔经济学奖获得者。


尽管费米的论文相当粗糙,并没有细致地分析波函数中的对称性,狄拉克还是尊重费米的优先。他们的新发现于是被称作“费米-狄拉克统计”。相应的粒子叫做“费米子”。

约旦甚是失落。他在自己的专著中将之冠名为“泡利统计”。


沸腾年代中的海森堡也有着自己的烦恼。在哥本哈根担任玻尔的助手本来是他的梦想成真。随着时间的推移,他却感到这个职务有着难以摆脱的负担。

玻尔研究所扩建后,玻尔一家搬出原来主楼里的寓所,改居隔壁新楼中的所长套间。他们原来的卧室则成为助手的客房。与来访的薛定谔一样,住在所内的海森堡感觉玻尔在这里如影随形,无所不在。他无法像狄拉克那样每天按时上下班,因为玻尔会随时出现在他的办公室或寓所,几小时几小时地连续讨论如何诠释量子理论。他们常常如此争辩到深夜,甚至通宵达旦。

在这紧张的工作节奏中,海森堡最渴望的是能有一点自己静心思考的时间(他能够在哥本哈根解决氦原子光谱也还是因为那时玻尔得了重流感,有两个月没上班)。因为他始终无法忘怀在柏林与爱因斯坦的那一席交谈。


(待续)


Saturday, October 3, 2020

量子纠缠背后的故事(十九):玻恩的几率波

海森堡非常地郁闷。

1926年应该是属于他的年份。他发现矩阵力学的第一篇论文在1925年9月问世。1926年2月,他与玻恩、约旦合作的“三人论文”发表,为以矩阵形式出现的量子力学拉开了序幕。一时间,世界各地的物理学家都一头钻进数学图书馆,急切地寻找任何可能与矩阵——从未听说过的怪物——有关的资料,祈望不要输在这条新的起跑线上。

1920年代中期的海森堡。

师兄泡利不仅最早见到从海岛上归来的海森堡,也是他第一篇论文的第一个读者。在多年用量子数拼凑原子光谱而凄苦忧伤、恨不得去当小丑演员后,泡利为量子领域终于有了数学的秩序欢欣鼓舞,感到生活又有了希望。但他还是很矛盾,唯恐这个新理论被玻恩用繁琐的数学糟蹋。海森堡看他患得患失,出言奚落,要他也拿出点自己的东西。泡利受刺激后埋头苦干了一个月,用师弟的矩阵力学完整地计算出氢原子的光谱。

在那之前,海森堡的矩阵还只是一个针对假想谐振子的简单模型。泡利的计算将其提升为解决现实问题的理论,验证了它的实用性和潜力。他在1925年11月完成这一壮举,论文在1926年3月发表。

仅仅十天后,薛定谔的论文横空出世,颠覆了海森堡的世界。


“嘿,你刚开始的时候知道会做出这么多有意思的东西吗?”14岁的依西(Itha Junger)天真地问薛定谔。她和双胞胎姐姐因为代数不及格一起被留级。安妮提议让薛定谔为她们辅导。依西自然地成为薛定谔的情色猎物,同时数学上也大有长进。

薛定谔圣诞节假期中发现他的方程之后,在1926年间创造力大爆发,六个月接连发表六篇论文,独立奠定了他称之为“波动力学”的新量子力学。他不无得意地向依西炫耀这辉煌的战果,并把小姑娘的问话录入这些论文结集出版的前言中。

薛定谔1926年初发表的波动力学系列论文之一。

两个世纪以前,牛顿为了能够准确地表述动力学发明了一个新的数学语言:微积分。物理学从那时开始正式成为系统、定量的科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦方程组,或者海森堡博士论文所研究的湍流,理论物理学家的职业生涯与微分方程难解难分。相应的数学工具也随之日新月异。

在雪山旅馆里,薛定谔只带了20年前出版的一本微分方程教科书。在终于构造出符合德布罗意关系的波动方程之后,他一时也没能求解出氢原子问题,要等到下山后在外尔的帮助下才成功。

随后,他们发现数学家希尔伯特等人已经对这类微分方程做了系统研究,刚刚出版了一本新教材。如果薛定谔当时有那新版本,氢原子问题在山上就可以迎刃而解。尽管如此,他和外尔也不过只花了两三天时间便自己找出了答案。毕竟,微分方程已经成为他们的“母语”。

在1926年3月问世的第一篇论文里,薛定谔以极其简短的笔调推出他的波动方程。与他为自己浪漫生活记录详尽的日记相反,他的科研笔记散乱无章,只有少量存世。如果忽略他所走过的弯路而以事后诸葛亮的眼光分析,他的发现过程相当简单:传统的经典波动方程是一个二次微分方程。按照德布罗意关系将其中的频率参数换成动能,然后再把动能拆解为总能量与势能之差,就可以得到薛定谔方程的数学形式。

与经典的波动一样,这样的微分方程和它的解都是连续的,没有分立的“量子”、“跃迁”概念。但薛定谔毫无困难地找出了两者的对应关系。

经典波动方程在特定的边界条件下会出现琴弦上驻波那样的解。希尔伯特把它们叫做“本征态(eigenstate)”。它们由一定的“本征值(eigenvalue)”标记。薛定谔方程也一样。它的本征态正是德布罗意所猜想的驻波,但更为丰富,是三维空间中的分布。这些本征态分布正好集中在玻尔轨道的附近,有着同样的能级。它们也自然地有着三个不同的本征值,正是那已经熟悉的量子数。

在经典的波动中,如果两个频率相近的波相遇,它们之间的干涉作用会产生一个新的频率:“拍频(beat)”。这个频率是那两个频率之差,正好满足了玻尔轨道“跃迁”的能量关系。但它们不像“跃迁”那样具备无法理解的瞬时、断裂,而是与经典物理无异的自然、连续过程。

这样,薛定谔的新方程同时为玻尔的轨道和德布罗意的驻波提供了坚实的数学基础。但他既不需要玻尔那些无中生有的规则,也不用像海森堡那样人为地构造不连续的表格。量子的不连续性以本征态、本征值的方式在连续的方程中自然涌现,无需任何先验的注入。


为了用可观测的光谱参数表述原子模型,海森堡在不知情中重新发明了矩阵代数。这对物理学家是一门新的语言,如同拗口、难懂的外语。几个月下来,只有泡利有能力用矩阵求解出最基本、最简单的氢原子,其他人都未能有所建树。

泡利对薛定谔论文的第一反应非常负面。如同他把玻尔认可自旋称为“哥本哈根邪说”,他把薛定谔方程叫做“苏黎士的迷信”。但同时他也不由倒吸一口冷气:他自己使足浑身解数,花一个月时间才求解了氢原子。如果采用薛定谔的方法,那不过是轻松的举手之劳。

当然最神奇的是两个方法所得出的结果完全一致。

他们的导师索末菲、玻恩立场也在动摇。索末菲最初看到薛定谔的论文时直觉那完全是一派胡言,但很快改口说矩阵力学虽然是真理在手,却过于复杂并且抽象得可怕。薛定谔的到来是一个救星:波动提供了数学的便利和直观的图像。

刚刚发现电子自旋的乌伦贝克直接地表达了他们下一代的心声:“薛定谔方程来得正是时候。我们不再需要学习那莫名其妙的矩阵数学了。”

海森堡看到他预期的灿烂尚未开放就已经被薛定谔突如其来的乌云遮掩。随着泡利、索末菲、玻恩相继“倒戈”,他有着一种众叛亲离的悲凉。


当然,海森堡的名望也在急剧地上升。那年4月他得到邀请去柏林讲学。虽然新生的量子力学集中于索末菲的慕尼黑、玻恩的哥廷根和玻尔的哥本哈根所构成的“金三角”,海森堡觉得真正的物理中心还是在柏林。当他走上那里的讲台,看到第一排依次就座的爱因斯坦、普朗克、能斯特、劳厄——四位诺贝尔奖获得者——他真切地体验到自己正在迈进精英的行列。

他的演讲十分顺利。爱因斯坦随后热情地邀请他回家晚餐。他们一起走过柏林的大街时,爱因斯坦友善地询问海森堡的生活、学业及工作,气氛相当融洽。

等他们在爱因斯坦的公寓中坐定之后,爱因斯坦才突然发问:“你真的觉得电子的轨道不存在?”

海森堡早就在等待这一时刻。他胸有成竹地解释,“是的,你没法实际地观测电子的轨道运动……”爱因斯坦当然清楚他的来路,更直截了当地问道,“难道物理学中只能存在可以观测的物理量吗?”海森堡这下子倒真觉得诧异。他不解地反问,“难道那不就是你创立相对论时的基本思想吗?”

爱因斯坦狡黠地一笑,答曰,“也许是吧。但同一个笑话是不能重复讲两遍的。”

海森堡满心以为爱因斯坦会赞许他同样基于逻辑实证的矩阵力学。他不知道爱因斯坦半年前从玻恩那里获悉这个新发现时就一直持怀疑态度。他在给埃伦菲斯特的信中表示:“海森堡下了一个量子大鸭蛋。哥廷根那些人相信这个东西,我却不信。”

几个星期后,柏林的物理师生济济一堂,又一次听取了关于矩阵、波动最新进展的报告。主持讨论会的爱因斯坦有点烦,他最后总结:“我们一直都没有精确的量子力学。现在突然之间有了两个。你们都会同意这两个理论互不相容。哪个会是对的?也许没一个是正确的。”

不料,他话音刚落,席中的戈登(Walter Gordon)站起来报告:他刚从苏黎士回来,听说泡利已经证明了这两个理论其实是同一个。


访问柏林时,海森堡正面临一个选择。

他本来已经准备好再度去丹麦,担任玻尔的助手并同时在哥本哈根大学兼任讲师。莱比锡大学却突然给他发来教授聘书。年仅25岁就能够担任正教授在德国属于闻所未闻,是一个极其难得的机会。海森堡有点难以取舍,便询问爱因斯坦的意见。

曾经为敲开学术界大门历尽坎坷的爱因斯坦不假思索地回答:去跟玻尔干吧,你不会后悔的。他深信海森堡是一颗正冉冉升起的新星,以后不会缺乏莱比锡那样的机会。海森堡听从了爱因斯坦的建议。

薛定谔也在忙于四处讲学。7月,他来到慕尼黑。德国物理学会的地方分会恰好也在那里聚会。已经在哥本哈根任职的海森堡特意赶回来参加。薛定谔的讲演吸引了满屋子的听众。结束时,后排的海森堡又忍不住提问:你这个波动理论如何能解释光电效应、康普顿散射?

这时的海森堡已经有了博士学位,不再是四年前当众质问玻尔的那个大学生。但他毕竟还只是助手、讲师,比苏黎士大学正教授差了几个级别。依然对海森堡看不惯的维恩教授忍无可忍,站出来痛斥海森堡没有礼貌。

维恩也是薛定谔的老朋友。薛定谔还在滑雪营地中琢磨他的方程时就一直与维恩通信报告进展。这时维恩信心十足也越俎代庖地向全场听众宣布,毋庸置疑,薛定谔教授肯定很快会找出办法来的。他转头又忠告海森堡:年轻人,你要明白我们现在再也不需要那莫名其妙的量子跃迁了。

在老权威面前,海森堡无计可施。在场的索末菲也没有出手辩护,让海森堡颇为失落。他只好给玻尔写信告了一状。玻尔阅后,即刻发信邀请薛定谔到哥本哈根一叙。


对海森堡来说,薛定谔是一大威胁。这并不是因为后者抢了他的风头:波动方程在数学计算上远远比他的矩阵简洁实用。海森堡最忌讳的还是薛定谔物理观念上的反动。

正如爱因斯坦所担忧,这两个几乎同时冒出来的新量子力学彼此水火不相容。它们重新点燃了物理学家在粒子与波之间持久的争执。海森堡的诘问打中了要害:薛定谔的确没法解释光电效应和康普顿散射,因为那是很明确的粒子行为。在爱因斯坦以光是粒子成功解释光电效应的四分之一世纪之后,薛定谔的电子是波却又在重蹈过去的覆辙。

海森堡的矩阵描述的是粒子的运动,出发点是分立、量子化的能级;薛定谔的方程却只有连续的波,作为本征值的能级之出现只是数学上的巧合。海森堡坚持可观测量,薛定谔却反其道而行之,跟着德布罗意采用了一个看不见摸不着、甚至无法解释的波。

在海森堡看来,这一切完全没有物理意义。薛定谔则反唇相讥,指出矩阵繁复隐晦,不具备波动方程简单明了的直观物理图像。

不过,这新一轮的粒子与波争议与以往不同。双方不再停留在思辩层面,各自都有了精确、完备的数学工具。这为他们貌似势不两立的分歧提供了一个切实的可比性。

连爱因斯坦都没有料到,这个原则性的立场之争只延续了区区几个星期。泡利率先声称他从数学上证明了矩阵和波动力学其实完全等价,不分彼此。与他许多发现一样,泡利只是在口头、书信中与朋友做了交流,懒得写论文正式发表。还是薛定谔几乎同时做出了自己的证明,发表于他那年第三篇论文:《关于海森堡-玻恩-约旦与我自己的量子力学之间的关系》,论证了二者的严格等价。

粒子乎?波乎?它们竟然在两个鸡同鸭讲的数学语言中殊途同归。


1925年12月,玻恩在完成他与海森堡、约旦合作的三人论文后启程去美国进行为期五个月的讲学访问。在那期间,他集中精力用矩阵力学计算两个粒子的碰撞过程。虽然有着雄厚的数学功底,他也没能取得进展。回到德国后,他看到薛定谔的论文极为震惊,立即确认那是更为优越的数学工具。但从粒子碰撞的实例中,他意识到那波的概念亟需澄清:到底是什么在波动?

1920年代中期的玻恩和他的儿子。

物理学家早已熟悉了两种不同的波。一是日常所见的水波、声波。它们是所处媒介的脉动:水或空气分子小尺度协调一致的振荡在大尺度上形成波动。波动的幅度便是分子振动的强度。另一种是电磁波。在以太被爱因斯坦的狭义相对论摒弃之后,电磁波没有媒介,是电磁场自身的振荡。电磁波的幅度是相应电磁场的强度。

德布罗意没有明确说明过他那伴随着粒子的波是什么。相应地,薛定谔干脆把他方程中描述振幅的变量直接称作“波函数(wave function)”——不管是什么波。

但薛定谔自己并无怀疑。他认定这个波是实实在在的,为电子或其它任何有质量的粒子提供了一个直观图像:它们不是只处于空间一个地点的粒子,其质量、电荷都同时弥漫于一个范围。波函数描述了它们的空间分布。

为了回应海森堡的质问,薛定谔试图把波函数的分布限制得非常狭窄,可以近似于粒子。这样的波在经典理论中也有例证,即“波包(wave packet)”或“孤立子(soliton)”。无奈,他的量子方程与经典波动方程一样,让这类局域性的波不稳定,随时间会很快耗散变为宽广的分布。显然,电子并没有表现出这样的行为。

玻恩对粒子的孤立特性深信不疑。在哥廷根他办公室的隔壁,因为探测到水银原子能量不连续而刚刚获得诺贝尔奖的弗兰克每天都在实验室里忙活。他的盖革计数器在不断地鸣叫,每个声响都意味着一颗粒子的抵达。他不是在计量什么波函数的分布。

通过对粒子碰撞的演算,玻恩清楚地看到薛定谔的物质波无法自圆其说。当一个粒子遭遇障碍时,它对应的波会像池子里的水波遇到石头一样在石头周围蔓延开来。能够被盖革计数器一个个计数的粒子不可能这样地“散开”。玻恩因此确信必须彻底扬弃薛定谔引以为傲的物理图像,只保留他那有效的数学形式。

在与爱因斯坦的频繁通信中,玻恩早就熟悉他这个老朋友曾提出的“鬼场”概念。为了给光子赋予波动性质,爱因斯坦曾设想作为粒子的光子是在一个鬼场的导引下运动,它在空间某个地点出现的几率取决于鬼场在该点的强度。

玻恩意识到薛定谔的波其实就是爱因斯坦的鬼场。它不是薛定谔所认为的物质、电荷在空间的分布,而只是标记粒子在某个地点出现的几率。这个几率随时间、地点的变化便是薛定谔方程所揭示的量子力学规律。

粒子相撞时,它们相应的波函数会同时向四面八方扩散。那不是粒子本身的发散,而只是这个粒子有着向各个方向飞离的可能性。玻恩于是指出,在量子力学里,我们不再能确切知道一个粒子碰撞后会往哪个方向飞,而只能计算它飞向某个方向的概率。

当粒子以一定几率“出现”在某个地点时,它依然会是一个完整的粒子,可以被盖革计数器捕捉、记录。它也会像经典的粒子一样再度碰撞,因此会出现海森堡所忧虑的光电效应和康普顿散射。

这样,在量子世界里,粒子的运动不再有确定的行为、结果。它们都取决于概率。

1926年年底,玻恩发表了他这个基于几率的波函数诠释,为量子力学天翻地覆的那一年划上句号。他特别指出这个想法源自爱因斯坦。

爱因斯坦却没有领情。他给玻恩写信曰:“量子力学的确洋洋大观。但我内心里有个声音在告诉我这还不是一个确实的答案。这个理论说了很多,却还没有让我们更接近那个‘老家伙【意指上帝】’的秘密。无论如何,我确信‘祂’不会掷骰子。”


(待续)


Sunday, September 27, 2020

量子纠缠背后的故事(十八):薛定谔的方程

爱因斯坦意外地收到玻色寄来的论文时即刻回了一张明信片,表示赞赏和祝贺。这张明信片在遥远的印度引起轰动,一夜之间改变了玻色的地位。他不仅得到大学永久教职,还获得一份政府奖学金去欧洲进修两年。

当他到德国领事馆申请签证时,官员只看了一眼爱因斯坦签名的明信片就盖了章。

然而,他却没有直接去柏林。

玻色完全没有意识到那篇论文中的重大突破。他自己更倾心的是随后不久又寄出的第二篇论文。这篇新论文试图纠正爱因斯坦的辐射理论,将原子所有辐射都归于自发辐射,摈弃“不必要”的受激辐射。

爱因斯坦照样好心肠地为他翻译、投递了这篇论文。但在译者按中,他言简意赅地指出了其中论点荒谬之处。玻色随后收到爱因斯坦更详细的私信,即刻心凉了半截,不敢贸然去面见大师。他逗留在巴黎,声称需要能在那里学一点实用的X射线技术。他曾经申请去居里夫人的实验室,但因为法语不过关而未被她接受。

等他一年后再度鼓足勇气来到柏林时,爱因斯坦早已独自完成了有关玻色-爱因斯坦统计、凝聚的三篇系列论文。他指示玻色研究海森堡新发表的矩阵力学,看看如何在这个新理论中运用他们的新统计方法。玻色尽了努力,但一无所获。回到印度后,他成为当地知名教授,但余生不再有科研成果问世。

虽然冠有爱因斯坦的大名,他们的量子统计理论没有引起物理学界的注意。一个例外是爱因斯坦收到他曾经短暂任职过的苏黎士大学的薛定谔(Erwin Schrodinger)教授来信,提醒他犯了一个低级的统计错误。


薛定谔第一次见到爱因斯坦时还是在1913年。那年爱因斯坦来到在薛定谔的出生地维也纳,在学术会议上做了关于引力的主题演讲(就是在那次会议上,他第一次得知玻尔的原子模型)。薛定谔当时26岁,已经获得博士学位三年,在为一名教授担任助手。

1914年时的青年薛定谔。


他父亲是大学毕业生,为生计放弃自己的科学梦而承继了家庭的小企业。薛定谔小时候在母亲和大姨、小姨的呵护、教导中长大。还没有识字时他就开始每天记日记:由他口授,母亲或阿姨忠实地记录。

他上的是维也纳历史最悠久的中学,那里最著名的毕业生便是声名远扬的玻尔兹曼。当薛定谔以优异成绩毕业进入维也纳大学时,他一心向往的是跟随玻尔兹曼学物理。然而,玻尔兹曼恰恰就在他入学前自杀了。不到19岁的薛定谔为之心碎。

在大学里,他出类拔萃,成为校园内人人皆知的“那个薛定谔”。临时请来接替玻尔兹曼的是哈森诺尔(Friedrich Hasenohrl),玻尔兹曼当年的学生。他只比大学新生年长十来岁,正是朝气蓬勃。哈森诺尔上课时从来不备课也不靠记忆,总是现场推演,以此解释物理学中的逻辑关系。他还经常邀请学生到家里聚餐或去野外滑雪,很快成为薛定谔心目中的偶像。

在大学期间和毕业之后,薛定谔喜欢的是做物理实验。1910年,他在哈森诺尔指导下以绝缘体在潮湿空气中导电性能的测量获得博士学位。

当他还在大学里争取职位时,第一次世界大战爆发。薛定谔和哈森诺尔都应征入伍,开赴意大利前线。薛定谔担任炮兵中尉。他的部队在战争初期与意大利人有过一次激烈的遭遇战。薛定谔因为“面对敌方猛烈炮火时表现出无畏、沉着的指挥能力”赢得嘉奖。

在那之后,他随奥匈帝国的军队四处驻防,没有再经历真正的战事。后来,他更被抽调到后方的军事学院,为防空部队讲授气候科学。

他钟爱的导师哈森诺尔没有那么幸运。他在战场上负伤痊愈后又坚持重上前线,在冲锋中被手榴弹炸死,享年40岁。

为期四年的战争对薛定谔的最大威胁却还是无聊。在战场和驻地无穷无尽的空暇中,他只能一个人冥思苦想物理和哲学问题。战争结束后,他将那时记下的大量笔记陆续整理成论文发表。


漂泊多年后,薛定谔终于在苏黎士大学赢得教授席位,那正是当初为爱因斯坦设立的位置。在1913年远距离聆听爱因斯坦的演讲后,薛定谔1924年9月在奥地利小镇因斯布鲁克的一次会议上再次见到爱因斯坦。这一次,他们有了单独的接触和交谈,开始朋友情谊。1925年2月,薛定谔在看到爱因斯坦运用玻色统计于理想气体的论文时,写信提醒文中的计数方式有问题。

爱因斯坦很快回了信,好脾气地回应:“你的非难不是没有道理,但我在论文中并没有犯错。”他特意在信中列出表格,细致地解释量子统计与经典统计的区别。

1925年2月28日爱因斯坦给薛定谔的信,用表格解释量子统计与经典统计的不同。


如果我们同时投掷两枚硬币,会有四种可能结果:两个正面、两个反面、硬币甲正面硬币乙反面、甲反面乙正面。它们以同样的机会出现。所以,两枚硬币都是正面或反面的几率各是1/4,而一正一反的几率会是2/4,或者1/2。

爱因斯坦在信中解释,如果那不是经典世界的硬币,而是量子世界的粒子——比如用电子自旋方向的上下作为正反面——那么根据玻色的洞见,这两个粒子互相不可分辨,不存在甲乙之分。这样,前面那甲正乙反与甲反乙正也无法区别,是同一个状态。于是,两枚硬币的结果便只有三种可能:都是正面、反面或一正一反。它们出现的几率分别是1/3。

这是量子世界与经典世界截然不同的一个表现。在经典世界里,无论我们把两枚硬币做得多么没有差别,它们依然会是两个不同的硬币。量子世界的粒子却天生没有自己的身份、彼此不可分辨而导致统计结果完全不同。

薛定谔看信后如醍醐灌顶,心悦诚服。他回信感激爱因斯坦的指导,坦承自己阅读玻色论文时没能看出其中新意,只是在爱因斯坦这个新统计理论中才意识到暗藏的颠覆性创新。


薛定谔比爱因斯坦小八岁,比玻恩小五岁,比玻尔则只小两岁。在萌芽中的量子领域,他属于这“上一代”。虽然在年龄上都已经过了创新的黄金年代,薛定谔在成就上显然还无法与他们为伍。

与他们以及更大一点的索末菲相比,薛定谔其实与爱因斯坦最为相像。自听了爱因斯坦的演讲之后,薛定谔的科研紧跟着爱因斯坦的足迹,涵盖了相对论、统计、辐射以及量子理论等诸多方面。也正因为如此,他是极个别仔细研究了爱因斯坦量子统计论文的物理学家之一。

而他的科研风格也与爱因斯坦相近:他习惯于单枪匹马,几乎没有学生、助手或合作者。

在十多年的努力中,薛定谔发表了相当多的论文,逐渐在学术界建立不大不小的声誉,赢得教授席位。但他的成果一直局限于在已有的理论框架上添砖加瓦,没有自己的创见、突破。这正是他与爱因斯坦等大师级教授的差距所在。


早在1909年,爱因斯坦发现了光同时具备波和粒子的双重特性。那时,他对遵从普朗克定律的电磁波进行统计分析,发现它的压强来自两个组成部分:一个是波一个是粒子。

这个现象在经典统计中从未出现过,因此他认为那是光的独特之处。

在玻色近乎无意地提出光的新量子统计后,爱因斯坦将其推广到所有遵从量子规律的粒子。他又故伎重施,对量子理想气体按照新的统计方式进行分析,赫然发现其压强也同样地来自两个成分:波和粒子。

于是,爱因斯坦宣布,不仅是光,所有的粒子其实都同时兼备着波和粒子的特性。他号召实验物理学家立即寻找、验证这一现象:如果让粒子束通过一条窄缝,应该能看到与光类似的衍射。

幸运女神正是在那一时刻眷顾了德布罗意:他的博士论文由郎之万转寄给因为“鬼场”和玻色统计已经有着足够思想、心理准备的爱因斯坦。那篇另外没有一个人能够读懂的论文在爱因斯坦眼里就只有一个精髓:所有粒子都伴随着某种波动,其频率由粒子的能量、动量决定。

正是德布罗意揭示的这个简单关系让爱因斯坦恍然大悟,明白了他自己统计分析背后的涵义。他因此称赞德布罗意“终于揭开了一个巨大面纱的一角”,并同时告诉洛伦兹他也已经发现支持德布罗意设想的证据。

在实验物理学家能够做出反应之前,薛定谔又是第一个注意到爱因斯坦这篇论文以及其脚注中提到的德布罗意。他好不容易才寻求到一份德布罗意的论文,马上又陷入那以法语表述的一团乱麻不可自拔。不得已,他再次给爱因斯坦写信求救。爱因斯坦诲人不倦,又一再回信帮助薛定谔理清德布罗意的思想。

也许就是出于对爱因斯坦的深信不疑,薛定谔与众不同地立即接受了波动概念。他很快发表一篇论文,用波动的假设推导了量子气体的统计性质,证实爱因斯坦已有的结论。那是他又一个锦上添花式的贡献。

爱因斯坦离开苏黎士已经11年了。苏黎士大学专门为他设置的那个副教授席位已经升格为正教授,正由薛定谔占据。隔壁,爱因斯坦曾经学习、工作过的苏黎士理工学院经历了大规模的扩展和提升,业已成为首屈一指的学府。那里有已经成名的德拜,还有希尔伯特的学生、正与爱因斯坦一起研究统一场论的理论家外尔(Hermann Weyl)。

两个学校关系紧密。物理学家每两星期举行一次共同讲座,交流探讨新进展。因为涉猎广泛,薛定谔经常是主讲者。1925年11月底,他着重讲解了德布罗意的波。

德拜听后觉得不可思议。他记起当初在索末菲手下学习时,导师曾谆谆教诲,处理波动现象必须有一个波动方程。没有方程而像德布罗意那样空口白话地谈论波,只是小孩子在玩游戏。

几个星期后,薛定谔在新年里又一次主讲。他开门见山地宣布,上次德拜提议我们应该有波动方程。那好吧,我已经找到了一个方程。


那过去的几星期是传统的圣诞假期。薛定谔收拾了他的笔记、书籍,扛上器械,到附近的高山滑雪胜地度假。与他相伴的不是他的妻子,而是听了他召唤专程从维也纳赶来的一位红颜知己。

这是薛定谔与爱因斯坦的又一共同点:他们的身边永远簇拥着众多年轻的女性朋友。

薛定谔从小英俊潇洒学业优秀,自青葱年代就很有女孩子缘分。大学毕业后,他有了第一个谈婚论嫁的女友,一个从小一起长大的小妹妹。他们两家是好朋友,但有一点贵族血统的女方父母却看不起只是小企业主的薛定谔父亲。薛定谔那时也只是贫匮的助教,前景渺茫,不具经济实力。为了能够养家糊口,薛定谔计划放弃科学,到父亲的工场中打工,准备接班。

那正是他父亲当年所做的选择。饱经世态炎凉的老父不愿意看到儿子重蹈覆辙,阻止了他的莽撞。在那场无疾而终的初恋之后,薛定谔从军、任教,日记中长达八年没有再出现一个浪漫性质的女性。

1920年,32岁的薛定谔与23岁的安妮(Annemarie Bertel)结婚。安妮也出身于中下层家庭,没有接受过正规教育。她对风流倜傥学识渊博的薛定谔无限崇拜,心甘情愿地做了贤妻。

1920年,薛定谔和安妮的结婚照。


那时战争已经结束,薛定谔为了前途离开奥地利,在德国几所大学中转战,寻找职业提升的机会。直到1921年赢得苏黎士大学席位后,他们才有了一时的稳定。那时,他也已经彻底放弃做实验,成为一个纯粹的理论学家。

他们的小家庭却一直处于动荡之中。薛定谔发现他们俩相敬如宾,非常合得来,却在性生活上不协调。安妮一直没能怀孕,也让渴望有个儿子的薛定谔非常失望。他们几次临近离婚,又都理智地悬崖勒马。最后,他们采纳“开放婚姻”:两人都自由、公开地拥有情人,同时友好地维系着婚姻和家庭。

在天主教盛行的维也纳、苏黎士,离婚是比婚外情更大得多的丑闻。尤其在知识分子精英阶层,婚外情甚至是前卫、浪漫的时尚。虽然并非主流,他们的选择也不失为明智。

沿袭他从小养成的习惯,薛定谔一直写有详细的日记,包括他与每一位女性的的浪漫经历和结局。他曾自豪地宣布,他所有的女朋友都是百分之百地愿意与他共度终生的伴侣。

然而,偏偏他1925年年底的日记没能保存下来。那个圣诞节在滑雪场与他朝夕共处的女友姓名身份于是成为科学史上不解之谜。

同样也无法知道他在山上那两个星期里究竟滑了几次雪,又有多少时间在春宵良度。唯一可以确定的是当他下山时,背包里的笔记本里已经有了一个崭新的方程式:描述德布罗意波的“薛定谔方程”。

1925年12月薛定谔笔记本中第一次出现波动方程。右边有他描画的波形。


薛定谔在苏黎士最好的朋友,也是他夫人安妮情人的外尔(外尔自己的夫人那时正与他们圈子里的另一位物理学家有着浪漫关系)戏谑:薛定谔是在“人生末期的一次色情爆发”中做出了他一辈子最重要的发现。那年,薛定谔已经38岁。


(待续)


Monday, September 21, 2020

量子纠缠背后的故事(十七):海森堡的矩阵

海森堡万万没想到他会在毕业时栽一个大跟斗。

索末菲从美国讲学回来后,海森堡也从哥廷根回到慕尼黑。虽然他在哥廷根的时间并不长,也已经足以让那里的玻恩给爱因斯坦写信报告:“海森堡绝对是与泡利同等的天才。”索末菲当然深有同感。他安排只上了三年大学的海森堡直接提交博士论文——正与泡利一样。

海森堡最突出的科研成果是在反常塞曼效应的解释中引进半量子数,曾引起广泛争议。为避免不必要的麻烦,索末菲建议海森堡另起炉灶,做一项流体力学的湍流研究作为学位项目。

湍流属于已经成熟的经典物理,只是繁复的数学计算使其成为难题。这对海森堡来说自然不是问题,他很快完成了论文。那是1923年7月,他也只有21岁。

四年前,曾在柏林大学与普朗克一起研究黑体辐射的维恩来到了慕尼黑。他理所当然地是海森堡答辩委员会的成员之一。已经年届花甲的维恩对他在这里次于索末菲的地位颇为不满,也对物理学越来越倾向于索末菲式的理论研究、忽视他所钟情的实验牢骚满腹。偏偏那年海森堡还选修了维恩的实验课却屡屡旷课,丝毫没当回事。维恩一直在等待机会,给索末菲和他的得意门生一点好看。

海森堡的答辩在下午五点举行。他信心十足,有条不紊地对答如流。突然,维恩问起一个与湍流不相干的实验设计问题。海森堡没有准备,不禁张口结舌,说不出个所以然。老练的维恩随即连续发问,逐步降低问题的难度,试探学生的知识底线。海森堡疲于应付,漏洞百出。旁边的索末菲屡次插话,问一些理论问题试图缓解局面,但无法扭转维恩的一意孤行。

不久,维恩以戏剧性的口吻问道:“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗?”年轻的海森堡已经丢盔卸甲,无以为答。

在随后的评议中,维恩坚持海森堡的物理基础知识欠缺,打出罕见的零分。索末菲针锋相对地给了个满分。陷入夹缝的另外两位教授只好明哲保身,给了及格分数。平均下来,海森堡还是以勉强及格的成绩赢得博士学位。

从教室里狼狈逃出后,海森堡当晚就离开了慕尼黑,跑到哥廷根去找玻恩诉苦。厚道的玻恩安慰海森堡,并保证不会因此撤回已经给了他的助手职位。

经此突然打击,曾经在阿尔卑斯山中劳筋骨苦心志的海森堡万念俱灰。他给父亲写信,悲愤地宣告他的物理生涯已然终结。然后,他与早年的童子军伙伴们再度聚集,远赴芬兰远足,在大自然中又重新寻回勇气和信心。


1924年3月,在哥廷根给玻恩当助手的海森堡利用假期第一次来到哥本哈根。他渴望再一次当面请教玻尔,理清他越来越强烈的疑惑。时间治愈了他论文答辩的心理伤痕,却还无法消除他对量子理论的迷茫。

1924年,海森堡在哥廷根讲学。

玻尔的原子模型已经问世十年了,在氢原子、氦离子的光谱上成功之后裹足不前,似乎已经穷途末路。泡利的氢分子离子只是那些年无数失败中的一例。即使在那少有的成功背后,这个模型也只能给出光谱线的频率,无法计算谱线的强度。更糟糕地,它预测的谱线也并不完全与实验相符:在准确预测观察到的谱线同时,也经常会预测出一些不存在的“多余”谱线。

这说明玻尔的原子模型其实存在重大的缺陷。海森堡不得不怀疑那些少有的成功不过是瞎猫撞上了死老鼠,并不是真实的物理。

他在波尔研究所的客房里住了几天,一直没能见到玻尔。终于,玻尔突然出现在他的门口,二话不说告诉他收拾行李,第二天一早出远门。

接下来,这两个身体强壮、酷爱野外生活的师徒长途背包远足,在三天里徒步了大约160公里。玻尔带着海森堡领略了丹麦北部的山野风光,包括传说中哈姆雷特王子(Prince Hamlet)的宫殿。

玻尔解释道,这个才开张不久的研究所已经容纳不下越来越多的来访者。他已经买下旁边的地皮,正在筹建新楼以扩展。这些繁忙的事物占据了他太多的时间精力,只有这样逃出来才可能有时间思考。

在那几个难得的日子里,他们没有怎么谈论量子、物理,而是老朋友似地交流各自的成长经历,尤其是战争对生活所造成的影响。这对海森堡又是一次出乎意料的人生体验。他感受到玻尔与他熟悉的那些传统德国教授迥然不同,是一个真真切切的性情中人。

他决定接受邀请,半年后来哥本哈根接替泡利的职位。


回到哥廷根,海森堡终于第一次见到了他心目中的偶像爱因斯坦。

两年前,海森堡曾经在莱比锡的科学院年会上扑空,没能见到这位世界著名的物理学家。这一次,已经恢复正常活动的爱因斯坦来到哥廷根讲学。年轻的海森堡又一次得以单独与大师在街头漫步。

那正是玻尔的BKS论文问世不久的日子。刚从哥本哈根访问回来而对玻尔无限崇拜的海森堡迫切地想知道爱因斯坦的看法。虽然早已有了思想准备,他还是为爱因斯坦所表达的反对态度而震惊。他第一次切身领略,即使是最顶级的物理大师,他们之间也会有着尖锐的原则性分歧。

那年秋季,玻恩跟随着索末菲的脚步去美国讲学。落空的助手海森堡在玻尔的协助下争取到一笔资助,前往哥本哈根任职。

玻尔研究所的年轻人也正处于与海森堡相似的彷徨迷茫之中。BKS论文遭到了物理学界几乎一致的反对。德布罗意把电子看作波动的新思想同样地引起非议。虽然他的驻波模式为玻尔原子模型中的允许轨道提供了依据,玻尔等人却无法理解、接受电子的轨道运动如何能与虚无缥缈的波联系起来。

在一片思想混乱中,玻尔迫切期望能有新的突破。在他的指导下,克莱默正在尝试一个新的途径,他邀请海森堡协助。

在那篇BKS论文里,玻尔和克莱默——以及旁观的斯莱特——不仅放弃了传统的能量、动量守恒,还舍弃了玻尔模型的精髓:电子的轨道跃迁。十年前,玻尔做出他最精彩的突破:电子发出、吸收辐射的频率与其自身运动的频率无关,只取决于跃迁前后轨道的能量差。那是爱因斯坦不曾想象出的神来之笔。但也正因为这一“无关”,他的模型只能计算辐射的频率,无从推导谱线的强度。

他们于是重新想象原子内部是一系列谐振子。它们的频率与发射、吸收的辐射相同而共振,由此计算康普顿效应中辐射与电子的相互作用。这样,十年后的玻尔又回到了整整四分之一世纪以前普朗克计算黑体辐射的老路。

那BKS论文没有一个方程式,只是洋洋洒洒地论辩。为这个框架填补数学内涵便是克莱默的任务。按照玻尔的对应原理,电子如果是在非常高能量的轨道上运行,其行为会等同于经典物理。在那里,电子轨道自身的频率与其作为谐振子吸收、发射辐射的频率趋于一致。

玻尔原始模型中的电子轨道是圆形,只有单一的周期和频率。经过索末菲推广后,轨道变成椭圆,频率不再单一。这个问题在数学上很容易处理,可以应用所谓的“傅立叶变换(Fourier transform)”。克莱默和海森堡如此这般,将高能量轨道上电子的位置、动量随时间的变化处理成不同频率组成部分的叠加,试图从中找到不同频率的相对强度来对应于光谱线的强度。

他们获得了成功。不过那成功依然于事无补。这个变换只适用于能量非常高的轨道,无法相应地用于低能量的轨道。而那才是真正需要解释的量子世界。


那年年底,海森堡收到泡利来信,通告他刚刚作出的重大突破。他看到这位向来偏爱严谨数学推导、厌恶形而上学式夸夸其谈的师兄居然捡起了他丢下的第四个量子数,并无中生有地提出不相容原理不禁莞尔,立即回信调侃了一番。也许量子世界如此诡异,连泡利也无法洁身自好。

与师兄相比,海森堡对他在哥本哈根的进展很不满意。他没能找到消除量子理论疑惑的灵丹妙药,只能带着依然的满腹狐疑在1925年5月返回哥廷根。

倒是玻尔不知如何看到了一线曙光。他宣布:“现在一切都在海森堡的手里了,他得为我们找出一条摆脱困境的途径。”


回到哥廷根后,海森堡患上严重的季节性花粉过敏。他的整个脑袋红肿得不成人形,眼睛也睁不开。于是他不得不向玻恩请了两个星期假,自己带上几本书和一大叠演算纸乘火车到德国的最北端,然后搭船上了北海中的一座小岛。

那是一个面积不过2.6平方公里的荒岛,上面只有几间简陋营房供度假者使用。对海森堡来说,这个岛的优势正在于它的光秃:没有花粉。

在海风的吹拂下,他的症状逐渐消退,脑袋开始清醒。他整天在岛上徒步攀爬,阅读、背诵歌德(Johann von Goethe)的经典诗篇,间或也思考他的物理。

从牛顿开始,物理学家对物体运动的描述集中于位置和速度。只要知道物体在某一个时刻的位置和速度,牛顿定律就可以通过其受力环境准确地计算它在将来任何时刻的位置和速度。玻尔的原子模型也是一样:电子在某一时刻会出现在特定轨道上的某一位置,有着某个特定的速度。

然而,与牛顿所熟悉的物体不同,从来没有人真正看到过电子,甚至原子。泡利的教父马赫曾经因此断然否决原子的存在,因为这个存在无法实证。如果原子的存在尚且存疑,何况其内部的电子轨道?

泡利在那篇被爱因斯坦赞誉“对科学思想心领神会”的相对论综述中,曾为相对论的思想起源赋于逻辑实证的阐述。他以比爱因斯坦更为熟稔的笔触回顾了爱因斯坦如何通过一系列“假想试验”论证了牛顿绝对空间、绝对时间之不可能存在、引力与加速的无法区分,从而建立相对论的新理念。泡利在文中总结道:“在物理上,对实验中无法观测的物理量的讨论是毫无意义的……那些只会是假想概念,没有物理意义。”

从小就对哲学深感兴趣的海森堡对师兄的逻辑实证描述并不陌生。在这个小岛上,他突然领悟电子的轨道,以及它的位置和速度其实都是“实验中无法观测的物理量”。对于原子来说,实验中可以观测的物理量只有光谱:那一条条光谱线的频率和强度。除此之外,一切有关原子的描述都只是“假想概念”。

于是,他意识到必须整个地颠倒玻尔的原子模型:不能从假想的电子轨道出发计算光谱线,而应该是通过光谱的物理变量来推算电子的运动。其实,克莱默已经无意识地走上了这条路。在他们针对高能量状态的计算中,电子“轨道”经过傅立叶变换分解为不同频率的成分,那正是用光谱变量来描述电子的位置和速度。其结果是电子的位置和速度分别是两个数学多项式:各个频率成分的叠加。

在具备量子特性的低能量状态中,电子的轨道运动本身不再对应于辐射的频率。因此同样的做法无法适用。海森堡明白了那只是他们拘泥于轨道这个假想概念的结果。如果电子的轨道并不存在,电子的运动依然可以通过光谱变量推算。在低能量状态中,电子既不会像玻尔想象的在固定的轨道上运转,也不会在两个轨道之间“跃迁”。电子只是按照所有可能存在的谱线变量所决定的模式运动。

为了找出所有可能辐射频率的组合,海森堡发现他不再能用傅立叶变换后出现的简单多项式,而必须制作出一个表格。那是一种生活中很常见的表格。有些地图上会看到有大城市之间的距离表;在体育新闻中,循环赛各队之间比赛的比分也常常以这样的表格来展示。表格中的行和列分别是城市或球队,表中则列出它们之间的距离、比分等各种数值。

京沪高铁主要站点距离列表示意图。

海森堡制作的表格类似于城市的距离表。不同的是每一个“城市”代表原子的一个能级,城市之间的距离就是能级之间的能量差,也就是辐射的频率。这个列表可以非常大,因为电子的能级可以有无穷多个。他同时也可以另外做一个相同的列表,其中的数值不再是辐射的频率而是强度,也就是爱因斯坦辐射理论中的那个吸收或发射的可能性。

然后,海森堡仿造傅立叶变换的多项式以这些列表构造出电子位置、速度的表达方式,以及相应的物理规律。这时他需要用这些列表做代数运算,于是他不得不摸索出一套如何将两个表相加、相乘的法则。他费了好一番功夫才理清了这些头绪,发现这个新体系居然既有着逻辑上的自洽,也符合着物理的能量守恒。

这时已经是凌晨三点。他无法入睡,干脆跑到室外的海边,在黑暗中攀登上一块高高的、延伸到海面上的巨石,坐着等待日出。他并不明白自己刚刚发现了什么,但他知道“事情已经发生了(something has happened)”。


十来天后,海森堡终于下了岛。他在回程中特意先去了一趟汉堡,征求师兄的意见。泡利听了他一番语无伦次的描述,罕见地未能当机立断地指出其中谬误,只催促他赶紧写出论文发表。这给了海森堡莫大的信心。

又费了一番功夫,海森堡写出了论文初稿。虽然他对玻尔无比尊敬,他一时没敢向玻尔透露这一进展。在哥本哈根与克莱默合作的那几个月里,他已经领教过玻尔对论文大刀阔斧、反复无常的修改套路。为避免那样的命运,海森堡将论文就近交给了玻恩。然后,他自己启程前往英国剑桥履行早就计划好的学术访问,顺便又与童子军小伙伴们相聚,在英吉利海峡沿岸远足。

玻恩果然不假思索地就把论文转交给《物理学杂志》发表。但他放心不下海森堡的那个列表,尤其是他为列表发明的运算法则。熟谙数学的玻恩总觉得那一套似曾相识。直到他七月中去参加德国物理学会的年会时,他才想起来那是多年前还在学数学时见到过的“矩阵(matrix)”。

海森堡式的列表在古代就有过雏形。半个世纪前,剑桥的著名数学家凯利(Arthur Cayley)为其赋予严格数学定义,称之为矩阵并发展了相应的代数。海森堡自己琢磨出来的那些运算规则正是凯利矩阵代数的一部分。在那之前,矩阵代数只是数学的一个隐晦的分支,还从来没有过任何实际意义,故也不为人所知。

玻恩在会上找到泡利,提出一起将海森堡的新理论用凯利的数学规范化。不料泡利竟一口回绝。酷爱数学严谨的泡利这次居然声称他师弟的工作是一幅精彩的物理图像,容不得玻恩用某个纯数学体系糟蹋。

玻恩回家后只好向他的新助手约旦(Pascual Jordan)求教。约旦刚刚得到博士学位,却也是一位精通数学的鬼才。他们恶补了一番矩阵代数,将海森堡在小岛上的粗糙思想以完整的数学方式表达出来。海森堡度假回来后立刻也加入了这一行列。

1925年9月,海森堡自己的论文率先问世。两个月后,玻恩和约旦发表了他们充实海森堡数学基础的论文。1926年2月,玻恩、约旦和海森堡联名发表“三人论文”,一举奠定所谓的“矩阵力学”。

也在那同一时期,玻恩和海森堡相继开始使用一个新名词:“量子力学”。它标志着一个有别于牛顿力学的新力学体系的诞生。


(待续)


Thursday, September 17, 2020

量子纠缠背后的故事(十六):泡利的不相容与电子自旋

 当海森堡在哥廷根玻尔节的讲座上向玻尔提问时,他的师兄泡利也有着很多问题想向大师请教。但至少在年龄上稍微成熟的泡利没有同样地唐突。

与玻尔、海森堡相似,泡利也出生于学者家庭。他父亲原来是医生,后来改行在维也纳大学担任化学教授。母亲是当地知名的记者、作家。他们都是犹太人,父亲本来有着传统的犹太姓氏:帕切尔(Pascheles)。19世纪末,奥地利、德国的许多犹太人为了争取更好的生存环境放弃传统,皈依主流的天主教。他们也顺势而变,同时把姓氏改为更入境随俗的“泡利”。

泡利从小在天主教传统中长大。他有一个教父,就是他父母的契友、大名鼎鼎的马赫。泡利很早就显示了出众的才能。当他父母意识到学校里的课程无法满足孩子胃口时,就从大学里请来各科教授开小灶。泡利中学时就在课堂上开小差,偷偷阅读爱因斯坦的论文。当然,他也饱受马赫逻辑实证主义的熏陶,尤其是教父那谆谆教诲的信念:物理学应该建立在严谨、明朗的数学基础上,不能沦为随心所欲的形而上学。

马赫在泡利中学毕业之前去世。那是第一次世界大战末期的1918年。奥匈帝国正濒临崩溃。没有了马赫、玻尔兹曼的维也纳在泡利心目中不啻于精神荒漠。他就近来到同病相怜的德国,投奔慕尼黑的索末菲。

索末菲马上发现泡利不是一般的大学新生:他随身带来了一篇已经在专业刊物上发表的论文,内容涵盖广义相对论和刚刚萌芽的规范场理论。

在一次课堂讨论中,泡利大言不惭地总结道:“你们要知道,爱因斯坦说的并不都那么愚蠢。”老派、传统的索末菲教授居然也没有出言阻止他的放肆,反而表现出对这个才高气傲小青年的溺爱。泡利习惯夜晚学习、思考,然后去酒吧放纵销魂几乎通宵达旦。他早上则只是睡懒觉,频频缺课。索末菲大度地听之任之。

索末菲当时在编撰一部数理百科全书。他在邀请爱因斯坦撰写相对论部分被拒后,干脆就把这任务交给了这位狂妄自大的学生。

泡利花了几个月功夫后交出一份237页、带有394个注释的文稿。索末菲阅后大吃一惊。他本来只是想试探一下泡利的极限,准备自己大幅修改后再与学生联名发表。这时他不敢造次,原汁原味地采用了原稿。上面也只署了泡利的大名。

爱因斯坦看到后也叹为观止,罕见地发表热情洋溢的评论:“没有一个研读了这篇成熟、大气作品的人会相信作者是一个只有21岁的青年。读者会为文中哪个方面最值得敬佩而难以定夺:是对科学思想的心领神会,数学推导上的确定无疑,是那深刻的物理直觉,井井有条的表达能力,是对历史文献的全盘掌握,对整个课题的一览无余,还是作者在批判性评介中表现的十足信心?”

百科全书面世后,泡利的综述又另外出版了单行本。它果然超越爱因斯坦自己的专著,成为其后几十年学习相对论的首选教材。


正是有着对相对论如此深刻的理解,泡利劝告初入师门的海森堡那是一门已经成熟的学问,不再有发展余地。在把师弟带进更有学术前途的量子领域时,他自己也正在全力以赴,试图在那里有所突破。

正如海森堡后来在讲座上的诘问,玻尔的原子模型只能应用于最简单的原子结构:只有一个电子的氢原子和氦离子(以及与之相似的只有一个最外层电子的碱金属原子、惰性气体离子)。即使是只有两个电子的氦原子,玻尔模型就已经束手无策。

在索末菲的指导下,泡利研究的也是只有一个电子的离子,但稍微复杂一点:氢分子离子。氢分子由两个氢原子组成,有着两个氢原子核和两个电子。在发生电离失去一个电子后,氢分子离子就只剩下一个电子,是最简单的分子离子:一个孤独的电子绕着两个原子核运转。

泡利花了极大的功夫却还是一筹莫展。与相对论的综述一样,他的理论分析全面细致,无懈可击,却只能得出一个失败的结论:此路不通。

虽然泡利在慕尼黑只上了三年大学,索末菲认为他已经具备博士学位水平。1921年7月,泡利以对氢分子离子光谱的分析通过答辩获得学位。那时,他年仅21岁。

年轻时的泡利在讲学。


泡利博士随即到哥廷根担任玻恩的助手,并应玻尔的邀请到哥本哈根任职。凭借突出的学识和才干,他又轻而易举地相继赢得玻恩、玻尔的赏识,保持夜夜笙歌、上午缺席的特权。但他的日子却过得非常地不开心。

量子世界的扑朔迷离让他无所适从。玻尔的电子轨道、索末菲的量子数以及海森堡的半量子数提议,这些在泡利的眼里都属于没有物理根据的臆测。它们为某一个具体问题量身定做,遇到下一个问题就立即失效,需要再一次寻找新的规则。这与他心目中的物理学——比如那逻辑实证、有条不紊的相对论——正相反,无异于马赫生前所警告过的形而上学。

在玻尔节上听玻尔讲解原子的壳层模型后,泡利找到玻尔的论文研读。在玻尔论述原子每层轨道上只能容纳一定数目电子的文字边上,泡利忍不住写下批注:“你怎么可能知道这个?你不过只是在拼凑你想解释的光谱!”

的确,如果他当时有机会像海森堡那样当面质问,玻尔也会一样地无言以对。后来,泡利在哥本哈根又耳闻目睹了玻尔在BKS论文上的那一幕反复,更加深了他的疑虑。

那时,泡利又一次陷入与博士论文时同样的困境。他一直在琢磨索末菲和海森堡没能完全解决的光谱难题:原子在磁场中所表现出的反常塞曼效应。也一直无法理清头绪。这让他整天郁郁寡欢,只能在当时风行的卓别林(Charlie Chaplin)电影中寻找生活乐趣,幻想自己也能摆脱令人忧伤的物理行业去当一个轻松的小丑演员。


哥本哈根的任期结束后,泡利在汉堡大学开始他的独立职业生涯。汉堡是仅次于柏林的德国第二大城市,有着五光十色的夜生活,让他如鱼得水。如果不是依然焦虑着那个反常塞曼效应,他的生活应该美满得多。

慕尼黑的索末菲一直在精心地编写光谱教科书,年年更新。1924年年底,泡利在翻阅最新版本时,注意到导师提及一篇新发表的论文,阐述了原子的电子数目与允许轨道数目之间的对应关系。这个信息触发了泡利脑海里时常回旋着的一个念头。他急忙奔进图书馆,找出那篇出自卡文迪许实验室、卢瑟福的研究生斯托纳(Edmund Stoner)的论文。斯托纳总结了惰性气体原子中电子占据的轨道数目,指出它正好是电子数目的一半。

泡利突然明白了玻尔壳层模型背后的原因。

索末菲最初推广玻尔模型时规定了三个量子数,分别对应于轨道的大小、偏心率和倾角,或者说是电子在三维空间做轨道运动的三个自由度。三个量子数的数值组合确定一个轨道,它们之中只有满足一定规则的组合才是电子所能占据的轨道。泡利认为斯托纳指出的电子与轨道数目的关系不仅仅适用于惰性气体,而是一个普适的规律:每一个特定的轨道上最多只能由两个电子占据。

泡利提出:这是因为电子不合群,互相之间完全排斥,不可能共享一个轨道。之所以那每个轨道上能有两个电子,是因为还存在索末菲提出过的第四个量子数。那个量子数非常特别,既不是寻常的整数值,也不是海森堡猜测的半整数,而是只能有两个数值。

当两个电子处在同一个轨道上时,它们的前三个量子数的数值完全相同,但第四个量子数会有不同的数值。这样,它们其实是处在由四个数值组合所定义的不同轨道上。因为那第四个量子数只能有两个不同的数值,最多只能有两个电子处于这样的状态。

从他这个新规则出发,泡利很容易地就得出玻尔两年前的壳层模型:从低到高,每层轨道上最多只能容纳2、8、18……个电子。

当然,泡利也没法解释他自己这个新规则的来源:为什么电子会如此地互相排斥以至于“不共戴天”。但显然,他的新规则比玻尔硬性规定的电子数目更为简单、基本,也更为普适。它因此被称为“泡利不相容原理(Pauli exclusion principle)”。

然而,他的第四个量子数依然不存在经典的“对应”。泡利只好违背玻尔的教条,宣布这个量子数不可能从经典的视角看待。


在泡利和海森堡之前,索末菲在慕尼黑就已经有过几个颇有才气的学生,让他在哥廷根的朋友、大数学家希尔伯特很是羡慕。那时候哥廷根还没有玻恩,完全是数学家的地盘。希尔伯特每年都向索末菲“借”一个学生,帮自己理解物理问题。

朗德(Alfred Lande)在1913年被借给希尔伯特。他一边在哥廷根为希尔伯特服务,一边仍然在索末菲指导下攻读博士学位,在数学、物理两方面得天独厚。一战期间,他还曾与玻恩一起为德国军队服务。战后,他又与索末菲、德拜等人合作将量子理论推广到固体领域。

当索末菲和海森堡为反常塞曼效应绞尽脑汁时,已经在杜宾根大学任教的朗德也在那上面下了苦功,与海森堡几乎同时提出半整数量子数的猜想。朗德对反常塞曼效应的光谱更为熟悉,总结出以他命名的规律。他也与导师、师弟们保持着频繁通信,共同探讨。

泡利觉得他新发现的不相容原理和那只有两个数值的第四个量子数也可以用来解释反常塞曼效应,就专程跑到杜宾根找朗德讨论。在那里,他遇到一个刚从美国来的年轻人克勒尼希(Ralph Kronig)。

克勒尼希已经在朗德那里看到泡利新发现的来信。他自己回去琢磨了一天,为那第四个量子数找到了一个经典对应:地球绕太阳的公转是三维空间的运动。但地球同时也在自转,那就是另外的一个自由度。电子可以有类似的情形。只要假设电子的自转只能有顺时针、逆时针的两个方向,就可以完美地对应上这个新的量子数。

泡利听了克勒尼希兴致勃勃的解说,当即断然否决:“你这个主意的确很聪明,但大自然不可能会是这样。”朗德也在旁边帮腔:“既然泡利这么说了,那就肯定不会是这样的啦。”

初出茅庐的克勒尼希不敢当场与泡利顶撞。他随后又到哥本哈根访问,那里的玻尔和克莱默也都坚决地否定了这一可能性。克勒尼希只好偃旗息鼓。


在荷兰的莱顿,埃伦菲斯特的两个学生也在研究原子光谱。古德斯密特(Samuel Goudsmit)比较老成,他整个夏天都在给新来的乌伦贝克(George Uhlenbeck)讲解光谱迷津的物理背景,包括泡利的最新进展。古德斯密特发现,如果泡利那第四个量子数可以选取的两个数值分别是-1/2和1/2,那么其相应的角动量就可以用来解释光谱的精细结构和反常塞曼效应。

还是第一次听说这一切的乌伦贝克脱口而出:那不就说明电子在旋转吗?那正好就是一个新的自由度。量子数的1/2数值是这种旋转的角动量,正负则来自相反的旋转方向。

古德斯密特很为师弟的物理直觉震惊。他们俩很快做了一些计算,写就一篇不到一页纸篇幅的论文。在埃伦菲斯特的提议下,古德斯密特同意打破按姓氏字母排序的惯例,让乌伦贝克做了第一作者。埃伦菲斯特一边寄送论文,一边让他们也去请教一下德高望重的洛伦兹。

1925年的洛伦兹已经是72岁的退休耆老,但还时常来学校讲课。乌伦贝克在课间找到洛伦兹,介绍了他们的想法。洛伦兹马上就摇了头。几天后,洛伦兹再度来上课时交给乌伦贝克厚厚一叠演算纸,论证了电子旋转之不可能。乌伦贝克急急忙忙地找到埃伦菲斯特,表示他们必须撤稿。埃伦菲斯特说已经来不及了,安慰道,“你们两个都还年轻,经得起犯点愚蠢的错误。”

乌伦贝克和古德斯密特发表的电子自旋论文。

当汤姆森在近30年前确定阴极射线是电子时,他发现电子比原子至少小1000倍。电子的确切大小——甚至它是否有大小——并不为人所知,但无论怎么估计都是异乎寻常的微小粒子。如果它具备普朗克常数一半的旋转角动量,那电子必须旋转得非常快。其表面速度会是光速的10倍,违反相对论。

所以,泡利、玻尔、洛伦兹都不假思索地否决了这个提议。洛伦兹还做了繁复的演算,揭示一个带电的电荷如此快速旋转会带来的电磁场问题。

那年也是洛伦兹获得博士学位的50周年,莱顿在年底为他举行一个纪念仪式。爱因斯坦、玻尔、卢瑟福、居里夫人等都从各地赶来祝贺。这是爱因斯坦和玻尔的第三次见面,他们的话题不可避免地涉及电子自身的旋转。不过这一次,他们俩之间没有发生激烈的争论。

玻尔乘坐的列车途径汉堡时,泡利正在站台上守候着。玻尔信心十足地告诉泡利电子的旋转“很有意思”,其言下之意即不值一哂。爱因斯坦和埃伦菲斯特则在莱顿车站迎接。埃伦菲斯特很是兴奋地告诉玻尔,爱因斯坦已经用相对论解决了相应的电磁场问题。至于旋转速度会高于光速,爱因斯坦倒不那么在乎。他认为地球自转式的图像不过是经典物理的习惯。电子有一个自身的角动量可以是量子的概念,不需要直接对应于旋转速度。

几天后,玻尔在回程中绕道去柏林参加普朗克发表黑体辐射定律25周年的纪念活动。途经哥廷根时,海森堡也在站台上相会。玻尔告诉他电子的旋转其实是一个伟大的突破。泡利听到风声后急忙赶到柏林,在车站接到了玻尔。他失望地看到玻尔已经“叛变”,气急败坏地把玻尔对电子旋转的认可称之为“又一个哥本哈根邪说”。

虽然泡利还继续顽固了几个月,由他而起的电子旋转和相应的第四个量子数因为在解释反常塞曼效应的成功很快被普遍接受。在中文里,电子的旋转被翻译作“自旋”,以示与经典物理中地球“自转”的区别。电子自身的角动量只是一个量子的特性,并不是经典意义的旋转。


1927年7月7日,古德斯密特和乌伦贝克双双通过答辩获得博士学位。那年秋季,他们又搭乘同一条邮轮来到美国,在密西根大学担任教职。作为电子自旋的发现者,他们已经名声远扬。在导师埃伦菲斯特和玻尔学生克莱因的推荐下,他们得到了大洋彼岸的聘请。古德斯密特多年后表示,在欧洲当时及之后的局势下,他们获得的美国职位比诺贝尔奖还更有价值。

克勒尼希心里很不平,曾经找克莱默抱怨。玻尔得知后给他写信表示了歉意,但私下里还是觉得克勒尼希没有自行发表他的创见是他本人的愚蠢。出于对古德斯密特和乌伦贝克的尊重,克勒尼希也要求玻尔和克莱默不要公开这一历史掌故。

泡利也对他自己当时的草率心存不安,后来专门聘请克勒尼希任助手,消除了积怨。

在莱顿的那次见面中,46岁的爱因斯坦和40岁的玻尔不能不感叹他们正变成量子的“老一代”。就在他们的眼皮底下,他们一起开拓的新世界已经在泡利、海森堡等年轻人的手里发生着翻天覆地的变化。


(待续)


Thursday, September 10, 2020

量子纠缠背后的故事(十五):玻色的统计与德布罗意的波

斯莱特要将波与粒子结合起来描述光子的想法是他的独创,却也不是首创。在他之前,爱因斯坦就已经为同样的念头纠结了好几年。

爱因斯坦在1917年的辐射论文中提出光子有动量,是“实实在在”的粒子。原子在辐射时只能往一个特定的方向发射一颗光子。我们没法看到这样的景象,因为日常的光源无论多小都有着太多太多的原子在同时辐射。它们随机地向四面八方发射光子,我们看到的光便是一个球形的波。

这个解释与玻尔后来在BKS论文中所用的手法一致,都是将宏观世界的现象看作大样本的微观事件的综合,并不一定是微观事件的忠实表现。玻尔试图论证微观世界不遵从能量、动量守恒律,那只是宏观中统计平均的结果;爱因斯坦说的是微观世界的粒子过程在统计平均后看起来会是宏观的波动。

自普朗克以降,物理学家在量子新世界里不再被既有的物理定律束缚,可以大胆地另辟蹊径,创造新的规则。

玻尔的假想很快被实验否定,爱因斯坦也无法自圆其说。因为他清楚,统计平均的解释可以对付点光源的发光,却无法适用光作为波动的其它表现。自从杨在1803年展示了光的干涉、衍射之后,光的波动说就已经完全确定,导致牛顿的微粒说销声匿迹。光作为粒子的运动无论有多大的样本,如何地统计平均也不可能出现干涉和衍射。

那正是从普朗克到玻尔的物理学界顽固地抗拒光子概念的最大理由。显然,即使光是由单个、实在的粒子组成,它也必须以某种形式具备波动性。这在经典物理中找不到“对应”,只能再度寻找新的途径。

与斯莱特后来的想法相似,爱因斯坦曾设想作为粒子的光伴随有一个鬼魅般的场(ghost field)。与粒子在特定时刻只处在空间一个点相反,这个鬼场同时弥漫整个空间,遵从麦克斯韦方程。原子辐射时会产生这个场,以球面波传播。而同时发射的光子则在这个鬼场的引导下运动,其在空间某个点出现的可能性由鬼场在该点的强度决定。这样,大量光子的集合会宏观地呈现出鬼场作为电磁波的形状和行为,包括干涉、衍射等波动特征。

虽然井井有条,爱因斯坦无法为这个概念赋予严格的数学表述。他没有正式发表论文,只是在与洛伦兹、索末菲、埃伦菲斯特等朋友的信件往来中私下讨论,使其在学术界小圈子里尽人皆知。

诺贝尔奖也为爱因斯坦的生活、工作环境带来正面的变化。在举国上下如他所料地因为广义相对论的成功将他认作“德国物理学家”时,萊纳德、斯塔克等人的攻击偃旗息鼓。德国境内的反犹太情绪也一时陷入低潮。他又有了可以专心学术的环境。但与十年前他在量子化麦克斯韦方程时屡战屡败一样,他在鬼场上也再度碰壁。于是,他又一次离开量子领域,转战统一场论,希望能取得比广义相对论更为辉煌的成果。

然而,在1924年的夏天,他接连收到两封不期而至的来信,执拗地将他的注意力又暂时地拉回到量子世界。


第一封信来自遥远的地球另一端:印度。

爱因斯坦从来没有去过印度,最近距离的接触是在去日本途中曾在斯里兰卡靠岸逗留。在他的旅行日记里,他对科伦坡街头的印度人和上海的中国人都怀有既可怜又鄙视的情感。

但这封来自陌生东方国度的信引起了他的兴趣,作者是那里一位名叫玻色(Satyendranath Bose)的年轻物理学家。

玻色出生于当时是印度首府的加尔各答。他因为家境尚可,从小接受了良好的教育。但在英国的控制下,印度人在自己国家的大学里很难谋得职位。玻色只能混迹于三流学校。他与相同处境的朋友们一起翻译爱因斯坦的著作,也自己发表过几篇没人注意过的论文。

玻色


这一次,玻色投稿英国刊物的论文在审稿中被拒。他异想天开,直接给爱因斯坦写信请求他将英文稿件翻译成德语,安排在德国著名的《物理学杂志》发表。他在信中写道:“我们素昧平生,但我提出这个请求时丝毫不带踌躇。因为曾经从你的著述中获益匪浅,我们都是你的学生。”

爱因斯坦每天都会收到大量这类素昧平生作者的来信。他奇迹地没有忽略这一封,用他很不娴熟的英文阅读了论文。在短短的两页纸中,玻色做到了爱因斯坦过去没能做到的事:完全从光子出发推导出黑体辐射的普朗克定律。

爱因斯坦曾在1917年的辐射论文中第一次推导出普朗克定律。但他借助了玻尔的原子模型,通过辐射体与辐射场的热平衡才获得成功。黑体空腔内部的辐射可以完全决定自己的平衡态状况,没必要依赖作为腔壁的原子。在普朗克之前,瑞利和爱因斯坦都曾只对空腔内部的电磁波进行统计分析,推导出瑞利定律,揭示了经典理论中的紫外灾难。

相应地,在量子的概念中,空腔内的辐射不再是连续分布的电磁波,而是不同频率的光子。因为光子之间没有相互作用,那是一个物理学家熟悉的理想气体系统。用统计手段推导它的状态轻而易举。爱因斯坦和其他人都尝试过,却始终没能得出普朗克定律而只能得到近似的维恩定律。

玻色声称他解决了这个问题。爱因斯坦自然不会掉以轻心。

在瑞利和爱因斯坦最早的经典推算中,他们通过数空腔内电磁波能形成的驻波数目计算各个频率的自由度,然后根据能均分定理得出能量分布。理想气体系统中相应的是要数出光子所能有的状态数目。就像一个盒子里有若干个小球,它们可以任意分布,不同的排列组合便是不同的状态,需要一一计数。

爱因斯坦很快发现玻色在计数时耍了一个似乎不起眼的花招:如果将盒子里的两个小球彼此交换位置,那会是一个与原先不同的新状态,尽管如果两个小球一模一样时会看不出区别。玻色却忽略了二者的区别。在他的计数过程中,小球——光子——互相交换时不改变状态。这似乎是一个非常低级的错误。但这样一来,空腔内光子所能有的状态数目大大减少,结果就出现了普朗克定律。

玻色在论文中对这个关键的步骤一笔带过,没有解释。他后来承认当时完全没有意识到这有什么新奇。与早先普朗克发现他那定律的过程类似,那可能只是玻色在已知结论的情况下拼凑出来的招数。因为果然得到期望的结果,他更没有再去考虑所用的计算方法有什么不可思议。

爱因斯坦看出了玻色的这个戏法,也一时无法领悟其物理含义,只觉得玻色的推导“很优雅但其实质却非常隐晦”。但毕竟玻色由此推导出了普朗克定律,其中必有合理之处。他立即依照玻色的请求将稿件翻译成德语,推荐给《物理学杂志》,并附上一段译者注:“在我看来玻色对普朗克定律的推导标志着一个重要的进展。他采用的方法还能导致理想气体的量子理论,我会另外提供具体信息。”

有着爱因斯坦的担保,玻色的论文立即被杂志接受发表。

短短几个星期之后,爱因斯坦宣读了他自己“另外提供具体信息”的论文。这时他已经完全明白了玻色算法背后的意义:在量子世界中,粒子是“不可分辨”的:两个同样频率的光子就是完全相同的光子,无法分辨彼此。所以,将这样的两个光子互相交换位置,前后没有任何区别,系统便不会改变状态。

这又是在经典物理中不存在“对应”的量子世界独有的特性。爱因斯坦指出这个不可分辨不仅适用于作为辐射的光子,而是所有微观粒子——电子、原子——的普遍性质。如此而来,麦克斯韦、玻尔兹曼的统计理论只适用于可分辨粒子的经典系统。在量子世界,必须采用新的计数方法,即“玻色-爱因斯坦统计”。

爱因斯坦之所以能如此断言,是因为他发现这个新的统计方法解决了另一个让他头疼的问题。

也还是十几年前,爱因斯坦通过对固体比热的量子计算证明当温度趋于绝对零度时,系统的自由度将一个个被“冻结”,导致整体的熵趋于零。遗憾的是,他的比热计算只适用于低温的固体、液体,气体——尤其是理想气体——却不遵从这一规律。

理想气体是物理学家的一个理想化模型,其中的粒子没有相互作用,也就不会像常规气体那样在低温时发生变成液体、固体的相变。无论温度如何降低,理想气体的自由度都没法被冻结,熵不会降为零,违反了热力学第三定律。虽然这只是现实中不存在的模型,爱因斯坦也一直放心不下。

他这时发现,如果采用新的量子统计,理想气体在温度趋于零时会发生一个奇妙的相变:大量粒子将“凝聚”在一起,不再以单个的粒子存在。在绝对零度,所有的粒子都进入这样的一个共同状态,不再有任何个体差异。这样,系统的熵便等于零,完全符合热力学第三定律的要求。

这又是一个在经典世界中不存在对应的量子奇迹,叫做“玻色-爱因斯坦凝聚”。(虽然名为“玻色-爱因斯坦统计”、“玻色-爱因斯坦凝聚”,这些其实都是爱因斯坦的独立发现。玻色在最初那粗糙、也许只是碰巧的想法之后不再有贡献。)

爱因斯坦那些对量子已经见怪不怪的同行们对这一新动态也都觉得难以想象。只是在整整70年后,玻色-爱因斯坦凝聚才在1995年被新新一代的物理学家证实,再一次凸显爱因斯坦的卓越远见。(关于玻色-爱因斯坦凝聚的实现,参阅《一个物理学家的万米长跑和玻色-爱因斯坦凝聚》)


玻色来信后不久,爱因斯坦又收到另一个小字辈的论文。相比之下,这封信来自近在咫尺的巴黎,是老朋友郎之万在请求他帮忙。郎之万的一个学生刚刚完成博士论文,让他很难定夺。他告诉爱因斯坦这篇论文很有点奇怪。但因为当初玻尔的原子模型也很有点奇怪,他不敢轻易下结论。

第一届索尔维会议在1911年举行时,与会的物理学家没有留意他们下榻的旅馆里有一位19岁的法国小青年。德布罗意(Louis de Broglie)当时只是他哥哥的小跟班。哥哥比他大17岁,刚在郎之万指导下获得博士学位,因导师的赏识得到邀请担任会议书记员。德布罗意也跟着来看热闹。他没有抛头露面,只是每天晚上在房间里听哥哥回顾当天会上的讨论,想象大师们的风采。

他们兄弟俩出生显赫,家族同时拥有法国公爵(duke)和德国王爵(prince)的世袭封号,三百多年来出现过多名部长、外交官、将军等,还有过一位总理。德布罗意14岁时父亲去世,由他这位长兄抚养长大。

贵族的传统是或从武当兵或从文辅政,为国家、国王效力。德布罗意的哥哥在海军服役九年。因为负责舰船之间的无线通讯而对科学发生了兴趣,他违背家族意愿退伍,去法兰西大学攻读博士,还在自己家里修建了一个研究X射线的实验室。

德布罗意从小倾向学问和政治,上大学时选择的是历史。毕业时他开始对历史厌倦,频繁地在哥哥的实验室里帮忙而逐渐对物理产生了兴趣。索尔维会议期间,哥哥每天晚上眉飞色舞的描述更让他心生向往。于是他回返大学,又修习了物理专业。

当他再次毕业、按规定服兵役时,第一次世界大战爆发了。他不得不搁置研究物理的念头为国效忠。他哥哥通过关系把他调到特殊的通讯部队,一起驻扎在埃菲尔铁塔下,用那上面的天线进行无线通信。在那四年的漫长时光里,德布罗意切身体验了麦克斯韦电磁波的效用。同时,他也埋头钻研从哥哥那里得到的索尔维会议纪要。

及至战争结束,他已经是27岁的成年人。他又跟随哥哥的脚步,师从郎之万攻读物理博士。

德布罗意


与居里夫人关系密切的郎之万是杰出的实验物理学家,但基本上不涉及理论研究。那时的巴黎很难找到一个像样的理论物理学家。德布罗意只能靠自己,他琢磨得最多的还是十年前在索尔维会议听到、读到的量子问题。

在1923年时,他终于有了一个新奇的想法:爱因斯坦揭示了光同时具备波和粒子的特征。那大概不会只是光的特别,应该可以扩展到其它所有的物质。如果光波可以表现得如同粒子组成,那为什么由粒子组成的电子束就不会表现得犹如波动?

这是一个相当朴素、简单的想法。但德布罗意在数学上把它搞得相当复杂,动用了相对论等一连串“重武器”。与玻色类似,他在法国期刊上发表了几篇论文,丝毫没有引起注意。随后,他一起汇总,写成博士论文。郎之万对这充满数学公式的东西一头雾水,只好让德布罗意再打印一份,由他去找爱因斯坦求救。

爱因斯坦记得索尔维会议上的那个德布罗意,对来自他“小弟弟”的论文颇为好奇。他又一次表现出非凡耐心,花时间梳理名不见经传的新手乱麻似的逻辑迷宫,发现了深藏在内的精华。

频率是波动的特征。普朗克提出的能量子概念首次将频率与能量联系起来。在爱因斯坦的推广下,光子有能量和动量,都与其频率成正比。这是光从波“变成”粒子的途径。作为粒子的电子没有频率,它的能量和动量由其质量和速度决定。德布罗意在这里把普朗克关系倒过来用,通过电子的能量、动量计算出它在某个速度时所对应的“频率”。这样,电子也从粒子“变成”了波。

接着,德布罗意把这个关系套用到玻尔的原子模型上,立即看到一个奇妙的图像。

当一根琴弦被两头固定时,它只能演奏出几个鲜明的曲调。那来自琴弦上所能形成的驻波。电子绕原子核运转的轨道是一个圆周,其周长相当于琴弦的固定长度。在那个长度上能形成的驻波数目同样固定、有限:轨道的周长必须是驻波波长的整数倍。

德布罗意把电子在轨道上运转的速度换算成频率和波长,赫然发现玻尔规定的那些允许轨道正好满足这个条件。在那些轨道上,电子所相应的波首尾相连,像两端固定的琴弦一样形成稳定的驻波。而轨道周长对波长的倍数正是玻尔引进的第一个量子数。

电子在轨道上形成驻波的示意图(中间是原子核,r是轨道半径,λ是波长)。


在那些以外的其它轨道上,电子所相应的波长与轨道周长不“匹配”,无法形成稳定的驻波。电子也就不可能在那里栖身。

玻尔当初只是跟随之前尼科尔森的建议采取了角动量为普朗克常数整数倍的那些轨道为允许的轨道,并没有什么说得过去的理由。德布罗意把电子的运动看作波动,电子绕原子核的“公转”就成了不随时间变化的驻波。这是那些轨道稳定性的第一个像样的根据,一个源自几何的论证。

爱因斯坦激动莫名,立即给郎之万回信,“德布罗意的论文令我非常佩服。他终于揭开了一个巨大面纱的一角。”

当德布罗意在那年11月举行答辩时,由法国最著名的物理学家、数学家构成的专家组里没有一个人能读懂他的论文。但他们都得知了爱因斯坦的热情首肯,便轻而易举地让他通过,获得博士学位。

与玻色一样,德布罗意的论文给爱因斯坦极大启发,引导他揭示量子世界更为意想不到的奇妙。年底,爱因斯坦给洛伦兹写信报告,“我们认识的那个德布罗意的小弟弟在毕业论文里针对玻尔-索末菲量子定则做了一个非常有意思的解释。我相信这是解决我们这个最糟糕的物理谜团中第一束微薄的曙光。我自己也发现了能支持他这个设想的证据。”


(待续)