量子纠缠背后的故事（十二）：哥廷根的玻尔节

1919年底，德国的《柏林画报》以爱因斯坦的大幅肖像作封面，宣告他为“世界历史上的新人物，他关于自然的理论堪与哥白尼（Nicolaus Copernicus）、开普勒（Johannes Kepler）、牛顿比肩”。

1919年12月14日的《柏林画报》封面。

英国、美国、法国等第一次世界大战中的敌对国家也不甘落后。几乎所有大小报刊都以封面文章、通栏标题宣传这位理论物理学家。

战争结束一年了，英国天文学家爱丁顿（Arthur Eddington）刚刚公布他半年前带队远征南半球观测的日全食结果。他们拍摄的照片证明了爱因斯坦基于广义相对论的预测：引力会导致光线的弯曲。汤姆森爵士宣布这是人类思想史上最伟大成就之一。

一时间，当初曾被迫在专利局栖身的爱因斯坦成为全球最著名科学家，超越洛伦兹、普朗克等他所敬重的长辈，卢瑟福、居里夫人等同代精英，甚至历史上几乎所有的巨擘。

在战争失败、经济崩溃的阴影中，这是一个少有的可以让德国人振奋、自豪的好消息。从政府到民间，爱因斯坦成为独一无二的国家英雄。

玻尔是在这场媒体风暴的五个月后抵达柏林的。在第一次见到的普朗克和爱因斯坦面前，他颇为忐忑不安。但他的紧张在下车之际便云消雾散，因为他们三人从站台上便展开了无休无止的物理讨论，即刻间让玻尔觉得宾至如归。

玻尔在普朗克家留宿，也经常到爱因斯坦家中晚餐。在柏林大学，他做了一场学术报告，讲解了他——及索末菲——的原子模型。在讲述电子通过轨道跃迁吸收、发射电磁波时，他认真地声明只谈这个物理过程而不涉及那被吸收或发射的电磁波的本质。台下就座的爱因斯坦笑而不语。

德国大学里有着严格的等级观念。讲台下靠前的座位为教授、老师专属，研究生、学生只能挤在最后几排座位和过道里。玻尔的德语不灵，也不像卢瑟福有着爽朗的大嗓门，还天生的不善言辞。学生们抱怨压根没法听见他在讲台上的嘟嘟囔囔。他们邀请玻尔专门开个小灶，禁止教师参与。玻尔欣然接受，与年轻人一起共度了他在柏林最愉快的一晚。

当他们在站台上第一次握手时，爱因斯坦41岁，玻尔35岁。已经是世界名人的爱因斯坦在玻尔眼中没有什么特别，他们只是作为物理学家从早到晚不断地辩论着。玻尔已经熟悉了爱因斯坦在他原子模型基础上发展的辐射理论，对其揭示出的自发、受激辐射机制深为叹服。但他没有接受其中的光子概念。与普朗克一致，玻尔坚持电子所吸收、发射的就是——也只能是——麦克斯韦所描述的经典电磁波，只是能量上有着量子式的份额。

玻尔也无法理解爱因斯坦为什么对他自己揭示的自发辐射中的随机问题会那么忧心忡忡。在玻尔看来，那是一个自然的物理现象，没必要大惊小怪。

他们谁也没能说服对方。两人在当时都不曾料到，这个话题将成为他们未来二三十年经久不息的争执。但他们都确信，对方才智敏捷、心地善良，是可以结交一辈子的好朋友。

像几乎所有名人一样，爱因斯坦口头上会时常抱怨成为明星所带来的烦恼。实际上，他相当迎合、享受这个众星捧月的新生活。他那一头不羁的乱发、不修边幅的着装、随心所欲的做派、常挂嘴边的微笑、时而冒出金句的口才都与传统的德国学者形象大相径庭，更是从正统到娱乐各界记者梦寐以求的追捧对象。

不过，爱因斯坦的麻烦不只是在非本职工作上消耗了太多的时间和精力。他的盛名也让他成为一个靶子。

1920年8月，一个新出现的组织在著名的柏林爱乐音乐厅举行大会，声讨以爱因斯坦为代表的“犹太物理学”，维护德国科学的纯洁性。他们批驳的对象是令爱因斯坦名扬全球的相对论，同时也指控他抄袭剽窃。

会议中途，爱因斯坦在能斯特的陪同下出现在会场，坐在一个包厢里绕有兴趣地聆听了对他的攻击。

事后，能斯特、鲁本斯、劳厄联名发表公开信为爱因斯坦辩护。爱因斯坦自己也写了一篇“自辩”，但很快后悔介入这一争执。他有点操之过急的反应把两位著名物理学家、诺贝尔奖获得者逼上了前台。

1905年，就在爱因斯坦用量子概念解释光电效应之后，发现该效应的萊纳德在年底获得了诺贝尔奖。虽然早年的爱因斯坦曾经为萊纳德的实验欣喜若狂（超越他对女友未婚先孕的担忧），他们这十多年中还从来没有碰过面。

两人的第一次见面是在1920年9月23日的德国科学家年会上。他们没有握手，甚至没有直接对话。那天下午的会议安排了一场他们之间的辩论，由德高望重的普朗克主持。作为实验物理学家，萊纳德历数了相对论的新观念的不合情理之处。爱因斯坦则以“情理”也都会随时代变迁作答。在两人理性的论辩逐渐升温、被激怒的爱因斯坦几乎发脾气之际，普朗克及时终止了辩论，指出相对论还没能延长会议所能有的绝对时间。

与萊纳德站在同一战线的还有斯塔克。早年，斯塔克曾是爱因斯坦量子理论几乎唯一的支持者，也是为专利局中的他提供第一个物理职务的人——当时爱因斯坦因为薪酬过低没有接受。

他们现在都已今非昔比。因为发现原子光谱在电场中分裂的斯塔克效应而获得诺贝尔奖的斯塔克与萊纳德一样，都已经是德国物理学界的精英。

在盛名和攻击之下，爱因斯坦一反常态，不再专注于他的理论物理而关心起外面的世界，尤其是自己作为犹太人的身份。当正在努力为犹太人在中东复国，后来成为以色列第一任总统的魏茨曼（Chaim Weizmann；他是生物化学家出生，在曼切斯特科研时是卢瑟福的好朋友）邀请他参与去美国的筹款之行时，爱因斯坦不顾身边朋友、同事的一致反对，答应了魏茨曼的请求。

届时，83岁高龄的索尔维在恢复被战争打断的秩序，在1921年举行第三届索尔维会议。他们没有邀请德国的物理学家，只为爱因斯坦开了个特例。本来已经接受邀请的爱因斯坦因为要去美国只得回绝。哈伯等人颇为不满，指责爱因斯坦轻易放弃了一个为德国学术界争取更多国际交流的机会。爱因斯坦则表示他是抗议对德国科学家的抵制。

1921年4月2日，爱因斯坦和艾尔莎乘坐的邮轮在纽约靠岸。他们还没下船就被蜂拥而上的记者包围，在甲板上拍摄了一系列照片。随后，他满面春风地在船长室举行了记者招待会。

1921年爱因斯坦（左）与艾尔莎在抵达美国的轮船上。

这是爱因斯坦第一次踏足新大陆。在两个月的行程中，他们巡回访问了东部各大城市。所到之处，他受到超级明星般的欢迎。很多城市专门为他举行了盛大游行庆典。在他访问首都华盛顿之际，参议院专门举行了关于相对论的辩论，众议院则为是否将对相对论的解释收入议会记录争得不可开交。在那里，爱因斯坦得到美国总统哈定（Warren Harding）的接见。《纽约时报》随即在头版头条报道总统承认自己不懂爱因斯坦的理论。

除了在普林斯顿大学做了一场讲座，爱因斯坦在美国没有进行学术活动。他的角色是为魏茨曼吸引人气——尤其是当地犹太人——为在耶路撒冷建立希伯来大学筹款。但被他吸引来的人群显然心有旁骛，他不得不一遍又一遍地向好奇的记者、观众解释匪夷所思的相对论。英语比他强得多的艾尔莎经常出来挡驾。她说无论爱因斯坦解释多少遍，她都没法弄懂相对论。但这对她的生活幸福来说不存在必要性。

虽然这趟旅行声势浩大，魏茨曼只筹集到75万美元，远低于四百万的目标。

1919年底，伴随着爱因斯坦在全球媒体上掀起的旋风，普朗克在报纸上发表文章指出，只要德国的科学还能像以前一样继续，就不可想象德国会被从文明国家行列中剔除。他坚信战败后的复兴将来自她的科学、文化传统。

哥廷根是德国中部的传统大学城，也正是一个能体现德国科学、文化的所在。初夏的六月是那里的黄金季节。自1920年起，他们开始了一个新传统：每年夏天举办“国际亨德尔节”，集中排演亨德尔（George Handel）的歌剧和古典乐曲，成为当地一大盛事。

古老的哥廷根大学也是德国的数学中心。曾经有过高斯（Carl Gauss）、黎曼（Bernhard Riemann）。在20世纪初，这里有着曾与爱因斯坦展开寻觅广义相对论场方程竞赛的希尔伯特（David Hilbert）。

物理系的掌门人是年届不惑的玻恩。战争即将爆发之际，玻尔曾经来过哥廷根访问，成功地说服玻恩将研究重点转向量子理论。战后，玻尔的地位急剧上升。他在1921年第一次接到索尔维会议的邀请，但因为过度劳累不得不缺席。恢复健康后，他接到玻恩来信，邀请他在1922年夏天再到哥廷根进行为期一周的学术访问、讲课。玻尔义不容辞。

依然被孤立的德国物理学界对玻尔来访的激动不亚于欣赏亨德尔的音乐。由于哥廷根的地理位置十分便利，全国各地的物理教授、学生也都纷纷赶来，躬逢其盛。他们把这属于自己的喜庆叫作“玻尔节”。

玻尔带着在哥本哈根的第一个学生、助手克莱因（Oskar Klein）到来。远在瑞典的物理学家奥森（Carl Oseen）也赶来助兴。

哥廷根玻尔节留影。前排就座的是玻恩，后排从左到右为奥森、玻尔、弗兰克和克莱因。

在每天一次的讲座中，玻尔系统地阐述了他的量子观念和原子模型，并报告了超越原子光谱范畴的新进展。

虽然卢瑟福曾轻率地否决过他的同位素念头，玻尔没有失去对元素周期表的兴趣。他那原子模型最初的思路来自如何判定原子的大小，而不同元素原子的大小呈现出周期表所描述的周期性：最小的是分别只有一个、两个电子的氢、氦，它们大小差不多；有着三个电子的锂原子比它们都大一些。接下来的七个元素又是差不多大小，直到有11个电子钠又大出一截。等等。

玻尔对此有一个非常简单、自然的解释：原子的大小是电子所占据的最大轨道的半径。而电子总是要处于能量最低的内层轨道。他再次宣布一个新规定：轨道上能容纳的电子数目是有限的。能量最低的第一级轨道最多只能有两个电子，第二级轨道只能容纳8个电子，第三级18……

氢和氦的电子都在同一个轨道上，它们大小差不多。锂的三个电子只能有两个在那个最低轨道上，另一个电子必须占据第二级轨道，所以大了一些。同样，从锂到氖，它们又都是差不多大小，因为多出的电子都会在同样的第二级轨道上。直到钠原子又多出一个不得不占据第三级轨道的电子。

因为这样的层次排列，玻尔这个新理论叫做原子的“壳层模型”。它不仅描述元素周期表中横向的周期性，更为周期表纵列——“族”——上的原子具备相似的化学性质提供了解释：同一族的原子在最外层轨道上的电子状态是一样的，正是这个电子数决定了元素的化学性质。氢、锂、纳的最外层轨道上都只有一个电子，它们异常活跃，是排在周期表的第一纵列的“碱金属”；而氦、氖则相反：它们最外层电子正好都将那轨道占满，因此非常稳定，是周期表最后一列的“惰性气体”。

这便是隐藏在元素周期表背后的原理。由此，化学的经验有了物理学的基础。

爱因斯坦早就读到玻尔的论文，他又一次惊叹这简直就是奇迹，是人类理性思维的美妙乐章。

哥廷根的玻尔节名副其实。虽然玻尔远远没有爱因斯坦的名声，他在原子模型上的成就——至少在那100多名济济一堂的物理学家眼里——并不亚于爱因斯坦的相对论。他们以钦佩、崇拜的眼光欣赏着年轻大师的风采，聚精会神地聆听他每一句口齿不清、结结巴巴的嘟囔。

这个优雅的场景在第三天的讲座上被一个不和谐的意外打破。当玻尔礼貌地询问听众是否有问题时，靠近最后排的年轻人行列中立即有人举手提问。这在讲究礼让先后的德国是闻所未闻的举动，满屋子的大教授们不得不集体转身回头观望。他们看到一个身材魁梧的陌生青年，有点咄咄逼人地问了玻尔两个问题：你模型中电子运动的频率与它发射、吸收电磁波的频率毫无关联，这背后的物理机制是什么？你的模型能解释氢原子、氦离子的光谱，它们都只有一个电子。你能解释有更多电子的原子光谱吗？

玻尔也颇为诧异。他知道这两个问题的份量，却也无法正面回答，只好用更多模棱两可的嘟哝应付了场面。讲座结束后，他特意找到那个小青年，得知他是从慕尼黑来的海森堡（Werner Heisenberg）。玻尔对这个名字有印象，来哥廷根之前刚读到过他的一篇论文。

海森堡还只是一个大学二年级的本科生，已经在慕尼黑大学跟随索末菲做科研。哥廷根是索末菲的母校。他曾在这里接受严格的数学训练，打下坚实的数学根基。为了玻尔节，他自掏腰包，为几个得意门生买了车票共囊盛举。海森堡是其中之一。

在那艰苦的年月，海森堡只能就近找人家凑合过夜，天天忍饥挨饿来听玻尔的课。但这也没妨碍他一针见血地当众指出大师的不足之处。玻尔对这个大学生深感兴趣，当即邀请他一起在晚饭后出外散步。

第一次见面的两个人在哥廷根漫步了整整三小时。在那个初夏的傍晚，他们谈了很多很多。海森堡不可想象他能获得这样的机遇。他后来深情地回忆，那是他物理生涯的真正开端。

爱因斯坦没有去哥廷根参加玻尔节。

在广义相对论成功后的热潮中，他曾应邀在伦敦《时报》（The Times，经常被误译为《泰晤士报》）上撰文介绍他自己和他的理论。他幽默地表示他国籍上既是德国人又是瑞士人，也是犹太人。如果这个理论成功，他就会被认作德国人；反之，他就会变成一个瑞士犹太人——至少在德国人的眼里。

内心里，他知道这并不完全是笑话。在德国，这一天会很快来到，与相对论却没有关系。

在战后德国混乱的政局中，反犹太情绪逐渐形成一股社会势力。爱因斯坦感觉到越来越逼近的危险。他停止了讲学，拒绝所有会议邀请和公开场合露面，搬进朋友安排的乡间寓所隐居。就在玻尔节的同一个月，爱因斯坦的犹太朋友、政府外交部长在上班途中被当街刺杀。作为国际明星，爱因斯坦很可能会是下一个目标。

但他也不甘于被动躲藏。美国之行的明星待遇让他更向往外面的世界，避开德国的烦躁和危险。就在玻尔在哥廷根大展风采之时，爱因斯坦也做了计划。他已经接受去日本讲学的邀请，即将再次远渡重洋，进行一场为时大半年的国际旅行。

出发前，他接到来自瑞典的一封信。阿伦尼乌斯不那么隐晦地提示：我们可能会需要你在12月份到斯德哥尔摩来一趟。如果你那时候在日本就不好办了。

爱因斯坦没有为之所动，依然与艾尔莎登上了邮轮。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十一）：索末菲的原子

 玻尔回到丹麦后没多久就接到卢瑟福的来信。卢瑟福聊家常似地告诉玻尔，达尔文要离开了。他们在登广告招新人，但都不尽人意。他希望能找到一个具备独创能力的年轻人。玻尔立刻就领会了导师没有明说的言下之意。

玻尔这时在哥本哈根大学担任讲师，职责主要是给医科学生上普通物理课。他觉得很无聊，正在争取一个教授席位。虽然有着卢瑟福强力的推荐信和本校同行的一致支持，这机会一时半会还是可望不可即。

于是，他请了一年假，在1914年9月携同妻子兼贴身秘书玛格丽特再度来到曼切斯特，继续在卢瑟福实验室中任职。那里却已经物是人非。

半年前，卢瑟福因为其显著的成就获得英国国王晋封骑士爵位。一战开始后，他的精力集中在用声纳探测潜水艇的绝密项目上，无暇再顾及纯科学研究。他的实验室也面目全非。那些来自各地的年轻人全部失去踪影。盖革正在为德国的毒气战效力。达尔文已经参军，在物理学家布拉格（Lawrence Bragg）领导下研究通过监听敌方开炮噪音确定其火炮阵地的方位，卓有成效。

战争爆发时，莫斯利正在澳大利亚开会、度假。他当即设法回国，辞去已得到的牛津大学职位，义不容辞地“插队”入伍担任通讯兵。1915年8月10日，他在土耳其战场上用电话传递讯息时被狙击手击中头部，时年27岁。

他的牺牲在科学界引起轰动。卢瑟福在《自然》杂志上发表长篇讣告，称誉莫斯利为“极少见的天生的实验物理学家”。在历数莫斯利的贡献之后，卢瑟福痛心地指出，不加甄别地将这样的人才送上前线充当普通士兵是国家悲剧（可能受此影响，英国政府后来修改了有关政策）。大西洋彼岸的密立根也撰写悼词，悲愤交加地指出：仅此一例损失就足以证明这场战争的荒唐和罪恶。

1914和1915年的诺贝尔物理学奖相继授给了德国的劳厄、英国的布拉格和他的父亲。他们都是因为X射线散射实验的成果得奖。率先用X射线验证玻尔原子模型的莫斯利在逝世前已被公认会加入这个行列。

丹麦是中立国，玻尔对这一切只能袖手旁观，不被允许参与任何与军事有关的行动。他主动承担了更多的教学任务，尽力而为地继续研究他的原子。在他的新模型问世之后，卢瑟福、索末菲等人都曾经好奇、期待地看他是否能再进一步，解释光谱中更深一层的奥秘，即所谓的“精细结构（fine structure）”。

早在1887年，通过精密测量否定了以太存在的迈克尔逊和莫雷同时也报告，他们仪器的精度让他们看到氢原子那些光谱线其实不尽是一条条的线。如果仔细地分辨，一条谱线其实是由两条挤在一起的细线组成。因为他们的实验，迈克尔逊在1907年获得诺贝尔奖，是美国第一个获奖者。

稍后，荷兰的塞曼（Pieter Zeeman）又有了新发现：如果在磁场中测量，一些原子的光谱线会“分裂”成两条或更多的细线。他的导师洛伦兹很快根据经典电子理论做出了解释。他们俩因为这个“塞曼效应”分享了1902年诺贝尔奖。

洛伦兹的理论只适用于磁场的作用，无法解释氢原子谱线本身的精细结构。它同时也表明电场对原子的作用太弱，不会出现类似的效果。十多年后，斯塔克才在1913年发现电场中原子的光谱线其实也会分裂，与洛伦兹理论不符。斯塔克后来在1919年因为这个“斯塔克效应”得到诺贝尔奖。

显然，玻尔的原子模型不能只满足于明显的谱线系列，也需要能解释这些精细结构的来源，超越洛伦兹的经典理论。但这次，玻尔一筹莫展，始终没能找到头绪。在他的模型中，光谱线的频率来自两个轨道间的能量差。这些轨道彼此分离，井然有序。他无法想象怎么可能出现异常接近又稍微有区别的两个或更多频率。

两年过去了。虽然他只请了一年假，1916年时玻尔还在曼切斯特。这时家乡传来好消息：哥本哈根大学终于为他专设了一个理论物理教授席位。于是，他和妻子打道回府。没多久，他收到了索末菲从慕尼黑寄来的论文。

索末菲那年已经48岁，开始进入老一代教授的行列。在没有等到玻尔的进展后，他自己找到了答案。

为了在数学上简化，玻尔的电子轨道是标准的圆形。它只有一个参数：半径。索末菲认为像行星一样，电子也可以在一定的椭圆轨道上公转，保持与圆形轨道同样的角动量而满足玻尔的条件。这样的椭圆轨道并不多，可以一一找出。椭圆有两个参数：除了半径大小，还有一个偏心率描述其偏离圆形的程度。偏心率为零的椭圆就是圆形；偏心率越大，椭圆的形状就变得越扁平。

电相互作用与万有引力有一个共同的特点。在椭圆轨道上运行的电子或行星有着同样的能量，与相应的圆形轨道无异。但索末菲意识到电子与行星不同。它的公转速度接近光速，需要考虑狭义相对论效应。不同偏心率的椭圆轨道上电子的速度会有所变化，相对论修正也就略有差异。这样，即使同样大小的椭圆轨道上电子的能量也会有细微的差别。当一个电子分别从这些轨道上向另一个轨道跃迁时，它经历的能量差也会不同，发射的光子频率也随之有细微偏差。这就是氢原子谱线中的精细结构。

果然，索末菲的计算精确地给出了氢原子光谱的测量数据。他还因此发现“精细结构常数”，其重要性要在几十年后才引起广泛注意。

慕尼黑大学的索末菲纪念头像，墓志铭是他的精细结构常数。

太阳系的所有行星轨道都在同一个平面上，这可能是源自早期旋转星云的动力学。索末菲觉得电子绕原子核的轨道没有这个来源，因而没有必要局限于一个平面。它们可以是“立体”的，有不同的空间取向。因为对称性，同样的椭圆轨道在不同的取向上有着相同的能量，不会自然地导致光谱线分裂。但如果外加一个磁场或电场，这个对称性就会被破坏。因为不同取向的轨道上电子与外加电场、磁场方向的角度不同，会出现能量上的差异。这样，他又完美地解释了塞曼效应和斯塔克效应。

玻尔那简单的原子模型在索末菲手上一下子变得丰富多彩。原来只用一个整数表示的轨道、能级现在需要三个整数，分别标识轨道的大小、偏心率和角度。这也正是电子轨道运动的三个不同自由度。三个整数值可以完全确定一个电子的轨道，它们被称为电子轨道的“量子数（quantum number）”。

解释氢原子精细结构和塞曼、斯塔克效应的成功极大地彰显了玻尔原子模型的威力。在那之后，这个奇葩的新理论被广为接受，不再被怀疑。它经常被正式地称呼为“玻尔-索末菲模型”，有时甚至被直接叫做“索末菲模型”。

在柏林的爱因斯坦也收到了索末菲寄来的论文。他立即兴奋地回信表示拜读这篇论文是他职业生涯“最为激动人心的经历”。他从未曾想到狭义相对论竟然会在肉眼不可见的微观原子世界中发挥作用，与量子的概念相结合而完满地解释现实的测量结果。

索末菲来信中还请教是否还需要考虑广义相对论修正，爱因斯坦告知他那可以完全忽略不计。尽管如此，爱因斯坦还是一眼看出了索末菲模型中的另一个不足之处。他立即在1917年5月发表论文充实、推广了索末菲的理论基础。这篇在当时未能引人注意的论文在50年后才被重新发现，成为“量子混沌理论（quantum chaotic theory）”的开端。

第一次世界大战的四年是独自躲在阁楼书房中的爱因斯坦离开专利局后最富有成就的时光。光是在1915年11月至1917年2月的一年多，他就发表了15篇科学论文，还出版了一本关于相对论的专著。他不仅完成了广义相对论，还提出了描述整个宇宙的物理模型，开创了现代宇宙学（参阅《宇宙膨胀背后的故事（之一）：爱因斯坦无中生有的宇宙常数》）。在量子领域，他则第一次明确光子同时拥有能量和动量的粒子特性，利用玻尔的原子模型从原理出发推导出普朗克定律，并打开了现代光学的新视野。

在这期间，他还与在苏黎士的玛丽奇就孩子和金钱问题在通信中不断地争吵。

随着战争后期的节节失利，德国境内经济崩溃，出现全民饥荒。大多数人只能靠少量土豆、萝卜度日。爱因斯坦在施瓦本农村的亲戚和中立国瑞士的朋友经常给他邮寄食物接济，没有直接遭受饥饿的威胁。但他单身的日子过得非常糟糕。在埋头研究物理之余，他的生活没有一点规律。1917年2月，38岁的爱因斯坦终于在剧烈的腹痛中病倒不起，体重在两个月内急剧减轻了25公斤，生命堪危。他自己觉得大概是癌症，对已经及时地完成了相对论倍感欣慰。

所幸他得的并非不治之症，而是严重的肝、胃溃疡和结石。艾尔莎挺身而出，自作主张将他搬到自己隔壁的一间公寓，每天精心烹调，为他提供遵医嘱但可口的食物。经过漫长的调养，爱因斯坦终于逐渐恢复了健康。

他与妻子的笔墨官司却依然旷日持久。疲惫的爱因斯坦抱怨不知道国家的战争和个人的婚姻哪一个能先结束。他没预料到答案会是几乎同时。

1918年11月11日，欧洲实现了全面停火。12月23日，爱因斯坦在柏林的法庭上坦承自己婚内出轨，与表姐同居了四年半，得以完成离婚的法律手续。为了得到玛丽奇的首肯，他不仅答应支付自己工资的70%作为赡养费，还许诺自己将来若得到诺贝尔奖，奖金会全部转交给玛丽奇和孩子们（当时诺贝尔奖的金额大致是他那不菲的年薪17倍，而且是瑞典克朗，不是会在恶性通货膨胀下变得一钱不值的德国马克）。

好不容易摆脱了婚姻桎梏的爱因斯坦并不愿意再度给自己套上枷锁，但他还是禁不住艾尔莎和她父母的压力，仅仅半年后就与她再结连理——虽然离婚协议规定他两年内不得再婚。（艾尔莎20岁的大女儿担任爱因斯坦的秘书。她在一封给自己情人的私信里绘声绘色地叙述了爱因斯坦如何在与她妈妈结婚前先向她求过婚。她的故事也许并非空穴来风，但迄今只是孤证。）

战败后的德国千疮百孔，失去了六百万人口和大量的领土。能斯特的两个儿子都在沙场捐躯。普朗克的大儿子战死，二儿子在法国被俘虏而幸存。哈伯的妻子因为忧郁症和丈夫在化学武器中的角色举枪自杀（他们的一个儿子后来也自杀了）。哈伯在那之后继续为国效忠，倒还在战争结束时赢得1918年诺贝尔化学奖。

作为中立国，丹麦没有经受战争的祸害。随着欧洲大陆战事的平息，玻尔已经不满足于手中的大学教授席位。他有着一个更大的梦想。

虽然卢瑟福只比玻尔大14岁，玻尔不仅尊卢瑟福为恩师，还视他如若慈父。卢瑟福在曼切斯特的实验室是玻尔最为仰慕的圣地。那里永远有着一群你来我往、朝气蓬勃的年轻人。他们中有来自显赫学者家庭的达尔文，有传统的贵族之后，也有来自生活底层的蓝领子弟。他们有着不同的国家、文化背景，相异的贫富、地位差距。但在那个实验室里，在卢瑟福高亢的嗓门、爽朗的大笑中，他们彼此没有区别、隔阂。大家和谐相处，齐心协力，一心一意地钻研科学的奥秘，寻求下一个突破。

传统上，德国和英国是欧洲乃至世界的科学中心，地处北欧的丹麦还属于化外之地。玻尔雄心勃勃地要改变这个局面，在家乡仿造偶像的方式建立一个同样的科学乐园。回国之后，他一直为此积极奔走游说。

索末菲的论文来得正是时候。玻尔读后与爱因斯坦一样地欢欣鼓舞，而他的激动更进一步。索末菲的成功彰显了玻尔原子模型的价值，令他的国际声望又再上了一层楼。借着这股强劲的东风，玻尔成功地获得学校的批准。他进而说服市政府提供地盘，并赢得嘉士伯基金会的大力资助，可以大兴土木修建一个“哥本哈根大学理论物理研究所”。

为了他的梦想，玻尔费尽了心血。他甚至不辞劳苦，亲自设计研究所的大楼。与他口授论文的过程一样，他时常地改变主意，数易其稿，以至于建筑工程拖延了一年多。直到1921年初才正式投入使用。

玻尔研究所大楼。

他设计的大楼共有四层，虽然不是很大但五脏俱全，兼顾生活和工作。玻尔和玛格丽特已经有了两个孩子，一家四口住在楼内的一间公寓。顶楼上还保留着几个小公寓供短期来访的宾客使用。其它房间则分别作为办公室、实验室，外加一个小巧的图书馆。楼内还设有一张乒乓球台——酷爱运动的玻尔也是乒乓好手。他会经常在那里大显身手，轻而易举地击败几乎所有的年轻人。

最为著名的还是一个阶梯教室式的会议室。之后的几十年里，无数知名、尚未成名或未能出名的青年物理学家将在那里陈述自己的新理论、新创见，接受玻尔等专家的检阅、评判。

这个新大楼的正式名称从一开始就被人忽略，而是被广泛、亲切地称作“玻尔研究所”（1965年，作为对已经去世的玻尔诞生80周年纪念，研究所正式更名为“尼尔斯·玻尔研究所”）。

早在研究所落成之前，玻尔已经在1919年底邀请索末菲来哥本哈根访问、讲学。这一看似理所当然的简单举动在当时却有着特殊的意义。

1919年，玻尔（右）陪同来访的索末菲游览丹麦名胜。

深受战争祸害的欧洲诸国在战后都对德国采取了孤立、封锁政策。即使在学术界，德国科学家与外界的联系也基本上被切断。作为中立国成员，玻尔没有情感负担，更是以协助恢复科学交流为己任。这样，索末菲成为战后最早接到国外讲学邀请的德国科学家之一。

这个动向也引起了爱因斯坦的注意。他早已心仪这位从未谋面、在量子理论后来居上的丹麦青年。于是他向普朗克提议邀请玻尔访问柏林，打开国际联络通道。

1920年4月27日，因为激动、紧张而有点惴惴不安的玻尔乘火车来到柏林，看到站台上普朗克和爱因斯坦——量子的始作俑者——正微笑着向他招手。

（待续）

量子纠缠背后的故事（之十）：爱因斯坦的光子

 

我能在这里给你留下什么？

可以想到的好多好多

包括一个吻

在你那小小的嘴唇

如果你为这生气

先别哭哭啼啼

最好的惩罚

是给我也来上一个

（What should I inscribe for you here? / I could think of many things / Including a kiss / On your tiny little mouth / If you are angry about it / Do not start to cry / The best punishment / Is to give me one too.）

1899年，20岁的爱因斯坦在度假时邂逅一位17岁名叫安娜（Anna Meyer-Schmid）的女孩，分手时在她的相册上题写了这么一首调皮的小诗，落款为“你的无赖朋友”。

十年后，已为人妇的安娜在报纸上看到爱因斯坦被聘为苏黎士大学副教授的消息，给他寄了一张明信片祝贺。两人随即恢复了联络。尽管爱因斯坦很小心地使用他在学校里的公务地址，他们的通信还是被妻子玛丽奇发现。玛丽奇一气之下直接给安娜的丈夫去信告状，导致爱因斯坦不得不也给安娜的丈夫写信解释、道歉。

在离开专利局成为受人尊敬的大学教授之后，爱因斯坦的社会地位显著提高。他身边的女性朋友也随之增多。她们即使不都是传统意义上的情人，也大多带有强烈的暧昧色彩。

相应地，他与玛丽奇的关系每况愈下。作为两个孩子的母亲，玛丽奇对自己的家庭主妇境遇越来越难以忍受，时常焦躁地发脾气，以至于爱因斯坦和他来访的客人认定她患有精神分裂症。爱因斯坦参加索尔维会议尤其让玛丽奇既兴奋又嫉妒。她渴望自己也能躬逢其盛，与世界一流物理学家摩肩接踵。但爱因斯坦已经对她失去了耐心。

当爱因斯坦在苏黎士的站台上向普朗克和能斯特举起红玫瑰的时候，他没有回家与玛丽奇商量。他清楚玛丽奇对苏黎士情有独钟，绝不愿意再次搬家。但他心意已决。柏林是德国的科学、文化中心，那里有普朗克、能斯特、维恩、鲁本斯等一流学者切磋学术。他们提供的特殊待遇更是令他无法拒绝。而在这些之外，爱因斯坦对柏林还另有向往。

借助科研交流的便利，爱因斯坦那两年经常自己去柏林走动。他在那里遇见了小时候的玩伴艾尔莎（Elsa Einstein）。艾尔莎比爱因斯坦大三岁。她父亲是爱因斯坦父亲的堂兄，母亲则是爱因斯坦母亲的亲姐姐，所以她与爱因斯坦亲上加亲，是他的表姐加再从姐。他们再度相会时，艾尔莎已经离婚，是两个女儿的母亲。她表现出的温柔贤惠与家中冷漠的玛丽奇形成对比，顿时让爱因斯坦着迷，坠入爱河（之前爱因斯坦还与艾尔莎的妹妹有过一段短暂的调情，但很快移情别恋）。

从那时起，爱因斯坦每次去柏林除了与艾尔莎公开约会之外，还频繁找机会与普朗克、能斯特等大教授见面。善解人意的艾尔莎也通过私人关系找到大化学家哈伯（Fritz Haber）请求帮忙为爱因斯坦在柏林谋个职位。这番功夫终于没有白费。

1914年4月，爱因斯坦到柏林走马上任。有了丰厚的薪金，玛丽奇为他们一家找了一间宽敞舒适的公寓，还有一个阁楼作为爱因斯坦的书房。

爱因斯坦在柏林家中的书房里。

然而，不到三个月，玛丽奇就带着两个孩子离家出走，躲进哈伯的家里。哈伯夫妇这时已经成为爱因斯坦夫妇的亲密朋友，不得不承担起婚姻调停员的角色。爱因斯坦郑重其事地撰写了一份合同，共四大款十来条，涵盖做饭、洗衣等日常责任和两人在公开和私下的关系诸方面，正式将玛丽奇贬至比保姆、仆人还不如的地位。的确，他在给艾尔莎的情书中明言玛丽奇在他眼里只是一个无法开除的雇员，只是因为孩子他还不愿意拆散这个家。

玛丽奇屈辱地签了字，带孩子回家。但这个不平等条约也没能维持几天的和平。经过哈伯夫妇的再次斡旋，他们终于达成一个分居协议。7月29日，玛丽奇带着两个孩子在爱因斯坦最好的朋友贝索陪同下离开柏林，重回苏黎士生活。在火车站告别后，爱因斯坦真情流露，在哈伯面前孩子般痛哭了大半天。

三天后，玻尔兄弟俩也在那火车站匆匆而过。他们无暇去拜会爱因斯坦。

第一次世界大战的骤然爆发彻底摧毁了爱因斯坦向往已久的柏林学术、文化环境。他惊讶地看到普朗克、能斯特、哈伯、维恩，还有伦琴、萊纳德等都参与了93名德国知识分子联署的一封公开信，为德意志的军国传统及在这场战争中的侵略行为辩护。

为了柏林这个职位，爱因斯坦已经恢复了少年时放弃的德国国籍。但他依然反对军事暴力，秉持和平主义立场。受艾尔莎和她大女儿的影响，他参与了一些和平团体活动，还在另一封针锋相对的公开信上签了名。那封信征集到区区五个签名，除爱因斯坦外都是无名小卒，没有任何影响。

在他身边，已经50岁的能斯特穿上军服，由妻子监督在自家院子里操练行军、敬礼。随后，他开上自己的车子上前线，志愿为军队提供通信、救护等服务。他跟随着德国军队深入法国领土，直到能看到天边出现巴黎的灯光。

从前线归来，能斯特试图为军队研制不致命的毒气供战场使用，但发觉哈伯已经抢了先。哈伯曾经是本生的学生。他几年前在合成氨的化工技术上取得成功，为化肥、炸药生产做出重大贡献。战争开始后，他潜心氯气的研制和使用，为前线提供一个新式武器。已经从英国回来的盖革与弗兰克、赫兹等年轻物理学家（包括后来发现铀原子核裂变的哈恩（Otto Hahn））也都参与了这一项目。他们跟随哈伯，开创了在战场上大规模施放致命毒气的先河。

爱因斯坦无意卷入政治、战争的旋涡。除了偶尔表示异议，他选择了自己躲进物理学的避风港。在这个剧烈动荡的时刻，他的科学事业与家庭生活一样，也正处在一个关键的十字路口。

1905年，当爱因斯坦用量子概念解释光电效应时，他的新思想因过于惊世骇俗而无法让人接受。在那篇论文中，他提出一个直截了当的预测：在临界频率以上的光都能打下金属中的电子，所逸出电子的最大动能会与入射光的频率成正比，其系数正好就是普朗克常数。

这是一个非常明确的检验手段。它不仅能验证爱因斯坦的理论，在光电效应中测量出普朗克常数还会是量子概念普适性的有力证据。非常遗憾，当时萊纳德等人的实验设备缺乏足够的精度，无法定夺。倒是远在美国的芝加哥大学，密立根（Robert Millikan）埋头苦干了近十年，才在1914年得以成功。

密立根专注于精确测量最基础的物理常数，已经在几年前通过著名的“油滴实验”测量出电子的电荷数值而名声远扬。光电效应是一个更为困难的任务。他并不相信爱因斯坦的理论，认为光的波动性无可置疑。但他最终大失所望，不得不报告他的结果与爱因斯坦的预测完全相符，“尽管这个没有道理的理论违背了我们所理解的光的一切。”

密立根发表的光电效应结果图，显示电子的最大动能与入射光频率成正比。

即使在那之后，密立根与当时大多数物理学家一样，依然坚持爱因斯坦的量子理论站不住脚。

在1909年的萨尔斯堡会议之后，爱因斯坦在一步步推进量子概念的进程中遭遇了不可逾越的障碍。他实在找不出在麦克斯韦方程中引入量子因素的途径，因此无法构造一个完整的光量子理论。早在1911年的索尔维会议之后，他已经决定搁置这个让他几年中一无所获的努力，改弦易辙，专注于他在专利局时已经产生的“最快乐的想法”，推广他的相对论。经过四年艰苦的不懈努力，他在1915年底成功地推出广义相对论场方程。（参阅《宇宙膨胀背后的故事（之一）：爱因斯坦无中生有的宇宙常数》）

作为一个崭新的理论，广义相对论的横空出世颇令人惊叹。但作为一个优美的数学体系，它同时也高高在上，除了解释水星近日点进动的异常之外，似乎与世无涉。费了极大功夫将他招到柏林的能斯特不以为然，调侃爱因斯坦在不相干的领域瞎搅浑水，捡芝麻丢了西瓜，将量子理论的前沿拱手让给了玻尔。

的确，爱因斯坦没有想到一个名不见经传的丹麦小伙子会趁他无暇顾及之时，在原子模型上实现了量子理论的重大突破。

当他第一次听到朋友描述的玻尔模型时，爱因斯坦立刻就明白了玻尔是如何取得了历史性的突破。

在经典物理中，物体吸收、发射电磁波是通过共振机制。它们中的电子以某个频率进行周期运动，便可以吸收或发射同一频率的电磁波，就像收音机寻找电台的调谐。

电子绕原子核公转的圆周运动也是周期运动。绕轨道一整圈所需的时间是周期，其倒数便是频率。因此，这个电子应该会以这一频率吸收、发射电磁波。然而，玻尔却规定了这个轨道运动是稳定的，既不会发射也不吸收电磁波。发射、吸收电磁波发生在电子在两个不同轨道之间“跃迁”的过程，其频率与电子的轨道运动没有关系，却取决于两个轨道的能量之差。

这是一个全新的物理概念，没有任何来源。爱因斯坦自己就从来没有想到能有这样的机制。在听到玻尔模型成功预测氦离子光谱之后，他喃喃自语，“看来这会是真的：电子的辐射频率与它运动的频率没有关系。”于是，他惊叹这是“最伟大的发现之一”。

爱因斯坦毕竟是爱因斯坦。他不仅立即领悟了玻尔这个革命性的创见，同时也意识到玻尔浅尝辄止的缺陷。1916年，广义相对论大局已定之后，他又把注意力转回这个一直让他梦寐以求的量子问题。

玻尔对原子结构的几条硬性规定让他得以解释氢原子、氦离子的光谱，但他没能对电子在轨道间的跃迁，对吸收、发射电磁波做出任何物理描述。他眼中只有一个孤立的原子。

然而，电子需要吸收能量才能跳上高能量的轨道，这需要一个前提：原子周围有合适的能量子存在。爱因斯坦认为这不是原子独自的行为，而是作为物质的原子与作为辐射的电磁场之间相互作用的过程。大量的原子处于电磁场的包围中，它们通过对电磁波不断地发射和吸收达到热平衡。

这样，电子在向高能量轨道上跃迁时，是因为受到了电磁场中能量子的激发。这依然类似于传统的共振，只是共振频率与电子正在进行的轨道运动不再有关系。爱因斯坦把这个过程叫做“受激吸收（stimulated absorption）”。因为它的发生取决于周边电磁场中有多少可供吸收的能量子存在，其可能性与所需频率上的电磁场密度成正比。

反之，当电子处于高能量的轨道上时，爱因斯坦指出它往下跳时却会有两个不同的模式。一个是与吸收时一样，因为电磁场的共振而跃迁。这是受激吸收的反向过程，叫做“受激辐射（stimulated emission）”。其可能性同样会与电磁场在该频率上的密度成正比。

但即使没有电磁场的存在，高能量的电子自己也能跳下来，以达到热力学上更稳定的低能量态。他把这个过程定义为“自发辐射（spontaneous emission）”。这个过程与电磁场无关，有其自身的可能性。

有了这些具体的物理过程，看它们如何达到平衡态正是爱因斯坦的拿手好戏：这就是他过去在布朗运动、电磁波压强中已经得心应手的统计现象。于是他很快推算出一个惊人的结果：只要按照玻尔的假设，被吸收或发射的能量等于两个轨道之间的能量差别，与之热平衡的电磁场就是一个符合普朗克定律的黑体辐射场！

这样，爱因斯坦第一次严格地推导出了普朗克定律。这个新的推导过程浑然天成，不像普朗克的绝望之举那样依赖于数学戏法。他也不再需要普朗克假想的谐振子，取而代之的是玻尔的原子。这是黑体辐射中物质与辐射相互作用最接近实际的模型。

因此，爱因斯坦颇为得意地指出：这个推导只有几个非常简单的假设，引用最朴素的物理原理，推导本身丝毫不费功夫，便得出了过去需要大动干戈才能得出的普朗克定律。说明这是一个可靠的模型，“很可能会成为未来理论发展的基石”。

普朗克定律在原子与光的相互作用中自然地出现是爱因斯坦又一个里程碑式的成就，表明玻尔的轨道跃迁不是空穴来风。但更进一步，爱因斯坦还发现当电子在发射、吸收能量子时，它失去或得到的不仅仅是那一份能量，还伴随有一份动量。与能量一样，这个动量的数值也与能量子的频率成正比。

普朗克引进的“量子”在德语中只是“份额”的意思。他的原意是能量只能一份一份地被吸收或发射，不能比这个份额更小。对他而言，这只是一个纯粹的数学手段，没有任何物理含义。

爱因斯坦这时的能量子不仅有一定的能量，还同时有一定的动量。这便与电子、原子等无异，是一个实实在在、物理的粒子。

七年前，当他从电磁场的压强计算得出电磁场同时具备波和粒子的特性时，他没有具体去追究一下那像粒子一样的压强是怎么出现的。直到这时，他才恍然大悟：光量子与电子一样可以通过撞击传递动量，便产生了压强。

他没有为此去生造一个“光子”的名称，仍然一如既往地将他的能量子称之为“光量子”。但他已经确信无疑，这光量子是真真实实的粒子，也就是今天所说的光子。

与能量不同，动量不仅仅是一个数值，而且还有方向（也就是数学中的“矢量”）。当原子发出一个光子时，它必须向某个方向释放，给它一定的动量。同理，它也只能吸收来自某一个方向的光子。

我们在黑暗中开灯，整个屋子会同时明亮起来。因为光速非常大，我们无法察觉这中间的过程。如果我们能想象光速很慢，就会“看到”光从灯泡那里出来同时向四面八方扩散。就像水池中间被投进一块石头时的水波，经典物理中灯泡发出的光是以一个球形的波从灯泡漫延至房间里每一个角落。

然而，如果光源只是一个单独的原子，爱因斯坦指出它发的光不可能是一个球形波，而一次只能向一个方向发光。灯泡里有着太多太多的原子。它们各自随机地向各个方向发光，合在一起的总体效果才让我们感觉到一个球面的波。

他再一次颠覆了光的波动学说。

在1916、1917年间，爱因斯坦针对辐射问题接连发表了三篇论文。最后一篇，《关于辐射的量子理论（On the Quantum Theory of Radiation）》集之大成，是现代辐射理论的开山之作。

十年后，英国的后起之秀狄拉克（Paul Dirac）在已经成熟了的量子力学基础上结合爱因斯坦的狭义相对论发展出量子电动力学，全面完善了辐射理论。也是在那之后，爱因斯坦的先见之明才真正为人了解：狄拉克发现爱因斯坦当初所做的几个假设完全合理，被他的新理论逐一证实。

半个世纪后，爱因斯坦的受激辐射概念导致了激光的出现（激光的全名很拗口：“通过辐射的受激辐射产生的光放大（Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation）”）。在那之后，他所描述的光被吸收、发射中伴随的动量转移又带来了现代的激光制冷技术。

但即使是爱因斯坦，他在1917年时也不可能想象到这辉煌的未来。那时他却对另一个问题深为困惑。在论文的结尾，他忧心忡忡地写道，“这个理论最薄弱的所在，是它把辐射的时机和方向都归结于‘机会’。”

早在20年前，居里夫妇在描述放射性现象时曾感慨，“自发的辐射是一个神秘的谜，一个深奥的惊愕。”具有放射性的不稳定原子为什么会衰变，在什么时候衰变，这些问题20年后依然没有答案。

卢瑟福发现的半衰期可以定量测定衰变的过程：在一定时间内，一半的原子会发生衰变。但哪一半原子会衰变，这个决定由谁做、如何做出？如果只有一个原子，它在那个半衰期结束时会有50%的几率发生了衰变。这个原子如何决定在什么时候衰变，或干脆不衰变？

爱因斯坦的辐射理论也充满了这样的“机会”：电子无论是吸收还是发射光子都有着一定的可能性，或者完全自发或者与电磁场的密度有关。具体到一个电子，它什么时候吸收光子，什么时候发射光子，往哪个方向发射光子……都是随机的事件。

卢瑟福第一次看到玻尔的模型时就曾疑惑电子如何能知道跃迁时在哪一个轨道上停下来。让爱因斯坦更为纠结的是，电子如何能知道什么时候应该起跳？他也没有答案。偏偏他自己的理论证明了自发辐射的存在。因为如果没有这个机制，原子就无法与电磁场达到热平衡。在论文中，他犹犹豫豫地猜测那可能是与放射性一样，源自某种未知的物理机制。

作为有自主思维能力的人类，我们做随机选择时经常会以扔硬币来定夺。原子没有这个能力。难道，冥冥之中会有什么神奇的力量在为原子掷骰子？

（待续）

量子纠缠背后的故事（之九）：玻尔的原子

 基尔霍夫在19世纪已经知道他那个完全由温度决定、普适的黑体辐射只适用于固态、液态或密度非常高的气态物体。如果将同样的材料磨制成稀疏的微粒在火焰中燃烧，它们产生的辐射迥然不同。

他在海德堡大学的同伴、化学家本生（Robert Bunsen）为此发明了“本生灯（Bunsen burner）”。他们在火焰中观察到的光谱不再是每个频率上都有一定光强的连续分布，而是一片黑暗：几乎所有频率上都没有光，只在某几个特定频率上存在纤细、明亮的谱线。这些谱线所在的频率随不同元素而异，但每种元素都有着自己的特征频率，犹如人的指纹。

在那之前，德国的玻璃工匠弗劳恩霍夫（Joseph von Fraunhofer）已经发现棱镜分离出的太阳光谱中有一些细微、频率位置固定的暗线。基尔霍夫发觉那些暗线与他和本生发现的亮线一一对应：它们是同一个指纹的明暗两面。他意识到这是因为元素不仅会发出特定频率的光，也会吸收同样频率的光。

光谱分析立即成为化学家最有力的工具之一，可以非常方便地分析物质的内在成分。天文学家也紧跟而上，用光谱探测那些可望不可及的太阳、恒星的元素组成，还能通过多普勒效应测量恒星的移动速度（参阅《宇宙膨胀背后的故事（之四）：察颜观色识星移》）。

物理学家却始终摸不着头脑。无论物体处于什么状态，其内部的运动都会有着不同的速度、频率，因此所发射、吸收的电磁波有着黑体辐射那样的连续光谱。无法想象它们会对某些特定的频率情有独钟，只发射、吸收那些频率的电磁波而对其它频率视而不见。

在19世纪末，黑体辐射由于与工业化生产息息相关成为物理学的一大热门。相应的分立光谱却因为无从解读，几乎没人提及。这也是另一朵被开尔文勋爵忽视的乌云。

与当时的年轻物理学家一样，玻尔对元素分立的光谱只有泛泛的了解，从来没有细究过。尼科尔森是从天文观测出发开始研究这一问题。那篇论文给玻尔带来新的启示，让他意识到那个光谱与黑体辐射的截然不同：它不是源于宏观物体中的热运动，而是直接来自微观的原子本身，与原子的内部结构息息相关。

玻尔于是沿着尼科尔森已有的思路构造出一个全新的原子模型。他的着眼点是最简单的氢原子。

氢在元素周期表中排第一位，那时也已经由卢瑟福证实它的原子序数是一，即只有一个电子。相应地，氢原子核（那时还没有质子的概念）带有一个正电荷。按照卢瑟福的想象，这个电子会绕着原子核公转。

作为最简单的模型，玻尔假设电子的轨道是标准的圆形。这样的轨道只需要一个参数：半径。一旦给定半径，就可以简单地计算出电子的能量、角动量等物理参数。当然，半径可大可小，可以是任意的数值。这样的电子轨道有无穷多个。

玻尔采用了尼科尔森的主意，只选取电子的角动量恰好是普朗克常数整数倍的作为“允许”的轨道，其它所有轨道都被“禁止”。这样，电子只能在那极少数允许的轨道上运行，别无选择。

同时，他规定在这些轨道上运动的电子不会发生任何电磁辐射，也就不会有能量损失，可以稳定、永恒地运行。就这样，卢瑟福原子的不稳定性便被一笔勾销，不复存在。

他正忙着构造这个新的原子世界时，一位大学同学从哥廷根大学留学回来。那位研究光谱学的老同学听了他这番描述，好奇地问道，你这样能解释氢原子光谱的巴尔默系列吗？

玻尔压根不知道那巴尔默系列是啥。

巴尔默（Johann Balmer）是19世纪中叶瑞士一所女子中学的普通老师，本不会为人所知。但他酷爱琢磨各种与数字有关的规律。一个同事见他闲着无聊，挑逗他去寻找氢原子光谱线的规律。那时，物理学家已经辨认出氢原子的四条谱线，并相当精确地测量出它们的波长。那四个波长的数值看起来彼此毫无关联，是随机分布。年届花甲的巴尔默仔细推敲，居然找出一个数学公式将四个数字联系了起来。

当然，用一个相当复杂的公式凑出四个数据点不是难事。巴尔默依据他的公式还推断氢原子另外还有一条谱线。他当时不知道那条谱线已经被找到，完全符合他预测的数值。那五条谱线因此一并被命名为巴尔默系列。

不仅如此，巴尔默还指出这不是氢原子唯一的谱线系列，另外还会有两个系列存在。但因为那些系列不在可见光波动，而分别在紫外、红外波段，它们直到20世纪初——巴尔默去世很久之后——才被陆续发现、证实。

后来，物理学家里德伯（Johannes Rydberg）将巴尔默的公式改写成另一个形式。他将波长改作频率——波长的倒数。这样，巴尔默公式看起来稍微简单一点：每条谱线的频率可以表示为一个常数乘以两个整数平方的倒数之差。

这依然是一个很奇怪的公式。那个叫做里德伯常数的数值完全没有来源，而那“两个整数平方的倒数之差”更是莫名其妙。这个公式为什么能够精确地推导出氢原子的光谱线，依然是不解之谜。

经过老同学的提醒，玻尔一看到这个里德伯公式立即恍然大悟。

在他的模型中，被允许的轨道如同一个梯子的一系列横档。与爬梯子的人一样，电子只能处在某一个横档上，不能处于两个横档之间的虚空。当电子处于某个轨道上时，它的角动量是普朗克常数的整数倍，能量则与那个整数的平方成反比。

于是，“两个整数平方的倒数之差”正好相应于两个轨道之间的能量差别。按照普朗克的能量子关系，这个能量差可以换算成电磁波的频率。他立即做了推算，果然发现他的模型推导出了那个谁都不知道来历的里德伯常数：它是一个由电子质量、电荷、光速等已知物理参数加上普朗克常数的一个奇妙组合。

这样，玻尔又发现了一条新规则：电子可以在被允许的轨道之间“跳跃”，就像人上下梯子时改换所踩的横档。当电子从一个能量高的轨道跳到能量低的轨道时，会将剩余的能量以普朗克能量子的形式释放成电磁波。反之，从低能量轨道跳到高能量轨道时，电子会相应地吸收一个同样频率的能量子。

玻尔的氢原子模型示意图。红点是原子核，蓝色同心圆是由整数标度的允许轨道，它们之间的能量差形成不同的辐射光谱系列（黑色为巴尔默系列），数字是各谱线的波长。

这个过程因此满足能量的守恒，也直截了当地解释了基尔霍夫、本生的明亮谱线和弗劳恩霍夫的暗谱线。

只是，他也几乎完全彻底地背叛了麦克斯韦电磁理论。他的原子模型基于一系列没有根据的新规则：电子在允许的轨道上运动时不会产生辐射；它们永远不能踏足这些轨道之外的空间；它们却又能够在不同轨道之间跳跃，跳跃时会发射或吸收一定频率的电磁波。

玻尔清楚他没法解释这一切，尤其是电子在不同轨道之间的跳跃。因为物理学中没有任何理论能描述这种跳跃，他只好强调那是某种一蹴而就的瞬时变异——“量子跃迁”。除了发射或吸收了电磁波，量子跃迁没有任何可描述的中间过程。

1913年3月初，玻尔将论文稿寄给曼切斯特的卢瑟福，请求他推荐发表。那时英国的学术刊物规定小字辈的论文必须由老资格教授转交才能发表，也属于一种专家审稿。

卢瑟福很快回了信。他对玻尔的这个新原子模型很感兴趣，但实在搞不懂其中的物理机制。他问道，如果一个电子处在高能量的轨道上，下面有几个低能量的轨道，它如何决定往哪个轨道上跳？在跳出去那一瞬间，它知道应该在哪个地方停下吗？

玻尔当然不可能回答这样的问题。卢瑟福也明白，这是一个非常超前的理论，会有许多无法解释的地方，就像他自己那个不可能稳定的原子模型一样。他们都很清楚，原子是稳定的，原子核、电子是存在的，原子会发射、吸收特定频率的电磁波。这些都是实验已经确定的事实。在经典理论无法解释的情况下，抛弃或至少绕过理论，创立新的物理规则，是普朗克、爱因斯坦已经开辟的道路。玻尔正是在试图迈出下一步。

所以，卢瑟福没有挑剔，爽快地同意为玻尔提交论文。他还主动提出可以帮助修改、润色稿件中差强人意的英语。大概还意犹未尽，卢瑟福告诉玻尔他的论文篇幅太长。按照英国传统，科技论文讲究言简意赅，不宜有太多的言辞累赘。玻尔的这个稿件应该能删减掉一半。“大概你不会介意我以自己的判断力为你做些删节吧？”

这最后的一句话才把玻尔吓得几乎魂飞魄散。

玻尔从小不善言辞，尤其疏于写作。从很小时开始，他就依赖于宠爱她的母亲。做作业时，他喜欢自己口授，由妈妈记笔记交差。

大学期间参加那次科学竞赛时，他父亲注意到他整晚整晚地在实验室测量这测量那，眼看期限要到了也不愿意动笔写论文。他父亲只得强行将他赶出实验室，关到乡下别墅专心写论文。那一次，他拉上弟弟为他笔记，好歹赶在截止之前交了卷。

玻尔从那时起就养成了习惯，思考问题时不断地踱步，口中念念有词，由母亲或弟弟记下，整理成文。他的硕士、博士论文都是母亲这样一遍又一遍地打字而成。没有了这样的拐棍，他独自在英国的那一年甚是难受，也没有完成一篇正式的论文。好在他很快回家，由新婚的妻子玛格丽特接替了母亲的职责，成为他贴身的全职秘书，即使是在蜜月中也不例外。

他也不是事先打好腹稿再按部就班地口授出来，而是天马行空想到哪是哪。这样，每篇论文都是一个耗时的大工程，每一句话、每个单词都要反复推敲，一改再改。据他自己回忆，他的博士论文至少有过14个不同版本。（一次，他弟弟看到他案头有一封给朋友的信，便好心要顺道帮他邮寄。玻尔立即夺回，说那只是第三稿，还需要再修改几遍才行。）

所以，当玻尔看到卢瑟福毛遂自荐要对他这得来不易的劳动成果大刀阔斧时，他感到了莫大的威胁——即使对方是他最尊敬的导师。这时他已经又做了一番修改，当然篇幅不仅没有缩减，反而还变得更长了。他急忙给卢瑟福回信，表明将立即启程前往英国面议。

玻尔也不是第一次遭遇这个麻烦。当初他到卡文迪许留学时曾极力争取在英国正式发表他的博士论文，最终未能如愿。主要原因就是编辑要求他大幅删节论文的篇幅。

当玻尔终于敲响卢瑟福的家门时，卢瑟福立即置家中的访客不顾，师徒俩躲进了小书房。随后的几天里，他们每天晚上都在争执。玻尔倔犟地为他每一个词句辩护，寸土不让。直到“表现出了天使般耐心”（玻尔后来的描述）的卢瑟福筋疲力尽缴械投降。

1913年7月，玻尔的论文《关于原子和分子的构成（On the Constitution of Atoms and Molecules）》在英国的《哲学杂志》上发表。这篇逃过卢瑟福剪刀的文章有25页，还只是他要连续发表的三部曲之第一篇。作为标准的“玻尔式”论文，文中只有20来个方程式，其余都是洋洋洒洒——卢瑟福眼中重复多余——的文字叙述。

玻尔1913年7月发表的原子结构论文，其脚注标明是通过卢瑟福提交。

两个月后，玻尔得以在英国科学促进会年会上第一次公开讲解他的论文。那次会议济济一堂，汤姆森、卢瑟福、金斯等人均出席，洛伦兹、居里夫人也远道而来，就连70高龄的瑞利男爵也到了场。

这些大人物对玻尔的新理论无所适从。瑞利绅士般地表示，上了70岁的老家伙不应该再在新理论上胡乱插嘴。他私底下实在无法认同，觉得玻尔在耍数学游戏，不可能是物理。汤姆森指出人为地选取特定的电子轨道没有根据，也完全没有必要。只有金斯比较开通，他指出玻尔的模型在解释光谱线上的成功已经表明了其价值。

其实，玻尔新出炉的理论在会议之前还得到了一个新的证实。他研究的是只有一个电子的氢原子。当有两个电子的氦原子失去其中一个电子时，剩下的氦离子也等同于氢原子，只是原子核的电荷、质量不同。玻尔的模型可以同样地计算氦离子应有的光谱线，他指出那就是哈佛天文学家皮克林（Edward Pickering，关于他和他的“后宫”，参阅《宇宙膨胀背后的故事（之六）：在哈佛的后宫中丈量宇宙》）已经在星光中测量到的一个谱线系列。会前，卢瑟福手下的年轻人在实验室中证实了那的确是氦离子的光谱，证明玻尔对氢原子光谱的诠释不是瞎猫撞上死老鼠的侥幸。

即便如此，他这个新理论还是很难被接受。在海峡对面的欧洲大陆，地位正在急剧上升的劳厄坚持在轨道上运动的电子必须产生辐射，因为那是麦克斯韦理论的根基。埃伦菲斯特则向洛伦兹抱怨这样的理论让他绝望，意欲放弃物理学。

爱因斯坦在一次会议上听到朋友转述玻尔的新理论。他第一反应是这不可能，因为他也曾有过这个思路，但发现是条死路。当他接着听到氦离子光谱的结果时，不由瞪大了眼珠：“那这就是最伟大的发现之一。”

索尔维在1911年出资举办了物理学精英会议后意犹未尽，两年后又召开了第二次会议。参加者的名单没有太多变化，但增加了老将汤姆森和新秀劳厄。这次会议的主题是“物质的结构”，依然由洛伦兹主持。

汤姆森报告了他那个布丁模型的新进展。洛伦兹对他的老调重弹很不耐烦。他当场打断了汤姆森的演讲，指出他的模型与经典物理完全合拍。现在已经清楚地知道经典理论必然会导致瑞利的紫外灾难。要想完整地解释辐射问题——洛伦兹断言——必须违反经典物理。

卢瑟福这次也有了发言机会，介绍了他自己的模型。然而，真正背叛了经典物理的玻尔还没有被邀请的资格，他的新模型没能在会上亮相。

但玻尔还是不断地接到好消息。他曾与卢瑟福实验室中的小青年莫斯利（Henry Moseley）谈论过X射线问题。玻尔觉得他的原子模型能够解释X射线的来源：那是原子低能量轨道上的电子被外力打跑后高能量轨道上电子跳跃下来填补空位时发射的电磁波。因为轨道之间能量相差悬殊而有了频率非常高的X光。

勤奋的莫斯利夜以继日地在实验室里努力，在1913年底果然证实了玻尔的猜想，还顺带着发现了元素周期表上几个缺漏的新元素。

几个月后柏林大学的两个年轻人弗兰克（James Franck）和赫兹（Gustav Hertz，证实电磁波那个赫兹的侄子）又通过电子与水银蒸汽的碰撞实验发现水银原子的能量不连续，有着分立的数值——正像是玻尔那梯子的一根根横档。玻尔随即证实他们测量的数值与他模型的预测一致。

这个实验不仅证实玻尔原子模型的能量阶梯——“能级”——结构，还第一次观察到电子的动能与相应光辐射频率的关系，为能量子概念提供了直接证据。爱因斯坦在听了弗兰克的讲解后惊艳不已：“可爱得让人想哭！（It's so lovely, it makes you cry!）”弗兰克和赫兹后来因此获得1925年诺贝尔奖。

带着这一个个新进展，玻尔在1914年7月来到德国，巡回推销他的原子模型。在哥廷根和慕尼黑大学，他分别见到年轻新秀波恩（Max Born）和已经逐渐成为老教授的索末菲。他们对他的理论都满怀疑惑，但在听取玻尔亲自讲解后对他有了更多的信心。两个教授那时都在潜心研究爱因斯坦的相对论，这时不约而同地鼓励自己的学生转向原子理论。

在学术讲演之后，玻尔和弟弟一起前往阿尔卑斯山开始他们计划已久的长途登山、远足之旅。很快，他们看到人们纷纷放弃度假赶着回家，报纸上的新闻也日益吃紧。他们也匆忙下山抢乘火车、轮渡回丹麦。途径柏林时，玻尔看到满街兴奋异常的人群，不由感叹：“对军事行动的激情是德国人根深蒂固的习俗。”

那天，德国向俄国宣战，第一次世界大战全面爆发。

（待续）

量子纠缠背后的故事（之八）：卢瑟福原子的困境

1905年2月，当瑞士专利局的爱因斯坦开始陆续寄出他那几篇划时代的论文时，19岁的玻尔是哥本哈根大学二年级学生。他参加了一次全国性竞赛，赢得金奖。

丹麦也是一个偏僻所在，全国只有那一所正规的大学。玻尔的父亲是学校里很有名气的生理学教授，曾两次获得诺贝尔医学奖的提名。玻尔的母亲则是大家闺秀，她父亲是当地显赫的银行家、政客。他们的家庭属于丹麦最富裕阶层。玻尔从小在仆人、保姆簇拥的环境中长大，也频繁受到父亲众多知识界朋友的思想影响。

丹麦科学院每年组织一次大学生竞赛。那年的物理考题是根据瑞利男爵早年的一个设想测量液体的表面张力。玻尔得天独厚，利用父亲实验室的条件设计、进行了实验，赢得金质奖章。他所作的论文颇有价值，得以在英国的学术杂志上正式发表。

这个经历让他喜欢上了物理，毕业后继续在学校里唯一的物理教授指导下继续攻读硕士、博士学位。他博士论文的答辩时间之短创了历史记录，因为他导师承认整个丹麦还没有人——包括他自己——懂得玻尔所作的课题。

出于地理渊源，丹麦的优秀学子传统上会去德国留学镀金。玻尔的父亲当年是在莱比锡大学获得学位，弟弟也已经去了哥廷根大学。玻尔博士毕业时，他父亲不幸英年早逝，但已经帮助他获取了一项由嘉士伯啤酒公司——丹麦绝无仅有的国际级骄傲——提供的奖学金，可以出国游学一年。

玻尔选择的却是英国的剑桥。那里曾经有过牛顿和麦克斯韦，是物理学的圣地。那里还有他崇拜的汤姆森，现代电子理论的泰斗。

1911年9月，26岁的玻尔走进了已经大名鼎鼎的卡文迪许实验室。

他那篇在丹麦没人能懂的博士论文研究的是金属中的电子，分析了汤姆森、德鲁德、洛伦兹等人的理论及缺陷。他抵达后的第一件事便是抱着特意找人翻译成英文的博士论文去拜访汤姆森，用结结巴巴的英语介绍了自己的工作，并特意指着其中一页说：这里我发现了你的一个错误。

汤姆森那时已经55岁，不再年轻。他对这个外来小青年的唐突不以为忤，客气地收下了论文，许诺会抽时间阅读。

慕名而来的玻尔不知道汤姆森这时已经移情别恋。除了还专注于发展他的原子模型，汤姆森的注意力早从阴极射线的电子转向阳极射线——阴极射线管中反方向射出的带正电的离子。玻尔也被安排做这方面的实验，但他兴趣缺缺，还是用更多的时间琢磨他的电子理论。

时间在很快地流逝。他刚到时的兴奋没有能延续多久，因为他看到自己那篇论文在汤姆森堆满文件的桌子上积累灰尘，没有被翻动过。他也发现汤姆森整天忙于事务而无暇科研。那实验室也跟他一样有着一种英国绅士般的老气横秋。

玻尔的父亲虽然是德国大学出身，却对英国的文化一往情深，在剑桥很有一些学生、朋友。他们热情地接待了这个故友的孩子，让年轻的玻尔宾至如归。他在那里社交生活颇为丰富，还参加了当地的足球队。他同时也热衷于旁听汤姆森、金斯等人的物理课程，广泛阅读物理文献和英国文学著作。让他颇为烦恼的是他的英文还是太差，加上言语木纳的性格，他很难与人交流，尤其是他所尊敬的汤姆森。

11月初的一天，玻尔前往曼切斯特大学拜访那里一位曾经是他父亲学生的生理学教授。刚刚从索尔维会议回来的卢瑟福恰好过来串门。卢瑟福与这个不期而遇的小伙子一见如故，以他特有的大嗓门竹筒倒豆子般地介绍了他在会议上听到的新鲜、神奇的量子理论。

年底，卢瑟福作为老校友又回到卡文迪许，在晚宴上与年轻人打成一片。正处于事业巅峰的卢瑟福朝气蓬勃神采飞扬，在玻尔的眼里正是稳重、内敛的汤姆森之反面。很快，玻尔取得卢瑟福和汤姆森的同意，几个月后离开卡文迪许，转往曼切斯特学习新潮的放射性。

曼切斯特是随着工业革命崛起的蓝领重镇。那里为数不多的知识界人士也时常聚会交流科学问题。在卢瑟福去索尔维会议半年前的一次大会上，一个商人绘声绘色地回顾他如何在进口的香蕉包装中发现了蛇的一个新品种，得意洋洋地让听众传看了那条蛇。接下来发言的是卢瑟福。他没有什么可以展示，只能形象地描述：原子不是一个均匀的布丁，而是空空荡荡，中间有一个极小极小的核：“就像这么个大讲堂中间的一只苍蝇”。

通过α粒子的散射，卢瑟福和他的助手、学生们正在逐步认识原子的可能结构。他推断原子之中必须有一个带正电而质量高度集中的核，才会有足够的排斥力和动量将粒子反弹回来。所以，与汤姆森的布丁相反，他提出原子是由这么一个“原子核”和它外面的电子组成。原子核与电子之间与演讲大厅一样空空如也，因此绝大多数α粒子可以通行无阻。少量的粒子因为接近原子核被散射会偏离方向。只有极少数的倒霉蛋迎头撞上原子核被弹回。

原子模型与α粒子散射实验示意图。左框为汤姆森模型，所有粒子直线穿透金箔中的原子。右框为卢瑟福模型，少数粒子会遭遇原子核的大角度散射。

这个新的电子模型相当争气。卢瑟福据此计算出的散射结果与盖革等人测量的数据完全一致。原子核的存在因而可以确定无疑。

令他头疼的是原子核之外的电子。汤姆森的布丁将电子镶嵌在均匀分布的正电荷中间，可以达到平衡。卢瑟福把带负电的电子与带正电的原子核分开了，它们之间的吸引力会立刻让它们加速靠近而合并。当然，物理学家早就熟悉这个问题：太阳与行星之间存在万有引力，但行星可以通过围绕太阳公转而形成稳定的平衡态。电荷作用力与万有引力有着相同的数学形式，因此电子也可以有同样的轨道运动。早在卢瑟福提出原子核概念之前，就有人设想过一个类似土星环形状的原子模型。

然而，电磁相互作用却有着特殊的麻烦。如果电子在运动，就会按照麦克斯韦的理论发射电磁波而消耗能量。这样，电子的速度会越来越慢，轨道半径越来越小，很快会坠入原子核而不复存在。（其实，公转着的行星也同样会因为发射引力波而失去轨道稳定性，但那时引力波概念尚未出现。当然，引力波极其微弱，可以忽略不计。参阅《捕捉引力波背后的故事（之六）：“外星人”来电中的引力波》。）

于是，电子无论是静止还是运动，卢瑟福都无法自圆其说。他的新原子模型不稳定、不可能存在，也就无法被物理学界接受。在随后的索尔维会议上，没有人提及他这个模型。

玻尔直到1912年4月才得以离开卡文迪许，搬到曼切斯特。他那一年的奖学金只剩下了四个月。虽然急于出成果，他在新实验室的生活也没有太多改变。白天，他上着一门由盖革等人教授的放射性测量基础课。晚上，他依然兢兢业业地琢磨他的金属电子理论问题。不过，受新环境的影响，他的注意力逐渐转向了放射性和原子问题。

卢瑟福之“接收”玻尔很令人不解。他不仅轻视物理学之外的科学，还尤其看不上理论物理学家。而玻尔显然更倾向于理论研究。但卢瑟福依然对他另眼相看：“玻尔不一样，他是踢足球的。”（大学期间，玻尔和弟弟都是当地有名的足球明星。玻尔是守门员。他后来成为数学家的弟弟是前锋，曾作为国家队员代表丹麦在1908年奥运会上赢得银牌。40年后，玻尔以卢瑟福命名的小儿子作为曲棍球员也代表丹麦参加了奥运会。）

玻尔的“不一样”很快就有了表现。他了解到卢瑟福、索迪等已经发现了多种多样的放射性元素，却很难合适地分门归类。因为它们中有许多互相之间非常相似，无法用化学方法分离。

道尔顿提出原子论时，区分不同原子的物理性质只有一个：原子量，也就是原子的重量。俄国的门捷列夫（Dmitri Mendeleev）后来发现元素的化学性质有一定的规律，制作出了元素周期表。表中的元素也是以原子量的大小排列，原子量不同的原子属于不同的元素。

玻尔在分析了新的数据后提出那些无法分离的其实是同一种元素，只是原子量不同。他认为元素的辨别不是原子量，而是其电子的数目。或相应地，原子核所带正电荷的数量。他兴冲冲地找卢瑟福报告，认为这是一个可以证明他那个原子模型的证据。卢瑟福却没有附和，告诫年轻的玻尔要谨慎，不能随意由不充足的实验数据做大结论。（毕竟，原子中的电子数目在那时还没有定论。汤姆森最初曾设想原子的质量来自电子，因此每一个原子都会有几千个电子。卢瑟福的散射实验否定了这个推测，逐渐确定原子的电子数目大致是原子量的一半。）

玻尔颇为自信。但在碰了几次壁后，不善言辞的他害怕惹恼了卢瑟福只好放弃了。

一年后，索迪独立地提出了同样的思想。因为不同原子量的原子可以属于同一个元素，在周期表中占据同一个位置，这个新概念叫做“同位素（isotope）”。周期表中的元素则改为由电子数目——“原子序数”——排列（有意思的是，最早提出原子序数概念的是一个业余物理爱好者，荷兰的律师Antonius van den Broek）。改写了元素周期表的索迪后来以此赢得诺贝尔化学奖。

玻尔没有气馁，对卢瑟福反而更为敬重。

卢瑟福的实验室里也还有着一位做理论的年轻人。他比玻尔还小两岁，有着一个显赫的大名：达尔文（Charles Galton Darwin）——进化论鼻祖、“真正的”达尔文（Charles Darwin）的孙子。他当时正在研究α粒子实验的另一面。

卢瑟福自己最关注的是那些被原子核散射、弹回的极少数粒子。他只需要考虑粒子与原子核的相互作用，原子核之外的电子可以忽略不计。达尔文则相反。他关心那绝大多数没有被散射、直线穿透金箔的粒子。它们穿越了原子中间的虚空，但不可避免地会受到外围电子的影响。他希望能通过这些粒子的能量损失来探测那些电子的分布。因为它们的路径离原子核比较远，这时可以忽略原子核的作用。

玻尔看到论文后立即就意识到达尔文的方法有漏洞。他向卢瑟福提出可以做一个更全面的研究，同时兼顾原子核和电子的作用，一并计算它们对α粒子的总体效应。他觉得这个问题不复杂，几天功夫就能完成。卢瑟福这次非常鼓励，特准他不用去实验室上班，专心在家做理论。

正是在这个时候玻尔才发现卢瑟福的新原子模型之根本不可能：他没法设计出一个稳定的原子核与电子和平共处的结构，也就无从计算它们共同对α粒子的作用。这显然不是一个几天之内能解决的问题。而他的时间也到期了。

1912年8月1日，玻尔在哥本哈根市政厅与等了他一年的女友玛格丽特（Margrethe Norlund）成婚，只花了两分钟完成手续。他这时已经摒弃宗教，正式退出了教会，也就没有举办传统的教堂婚礼。

他们原定于去挪威度蜜月。但玻尔临时变卦，拽着新娘子去了曼切斯特。在那里，他花了两个星期终于与卢瑟福完成α粒子吸收、散射论文的定稿。玻尔并不满意。那只是对达尔文工作的一点改进。在论文最后，他预告很快会另外发表专门探讨原子结构的新论文。在给卢瑟福留下一篇简短的笔记之后，他才与新婚妻子去苏格兰欢度剩下的两星期蜜月。

在曼切斯特的玻尔夫妇。

回到丹麦的玻尔虽然没有像爱因斯坦当年那样在职场处处碰壁，他的处境其实也强不了多少。那里的学术职务稀少，没有空缺。他只能在小学院里代课教授初级课程。在与卢瑟福的通信中，他不时抱怨没有时间继续研究原子结构，为不断的拖延道歉。

在离开曼切斯特之前，玻尔在原子结构上的确已经有了新的想法。在用太阳系作为原子的类比时，他发现一个不那么显然的区别：原子有一定的大小。

太阳系——或任何类似天体系统——中各个行星的轨道位置是随机的，来自最初形成时物质碰巧的分布。在太阳的引力场中，行星、彗星等的轨道可大可小。整个太阳系也就没有预先设定的大小。

当卢瑟福确定原子核的大小只是大会堂中一只苍蝇那么微不足道时，原子的大小只能由外围电子的轨道半径决定。然而，与万有引力类似，电荷作用只涉及到质量和电荷两个参数，它们无论如何组合不出一个长度单位。于是，电子与行星一样，轨道可以是任意的大小。如果现实中的原子有确定的尺寸，那必然来自电磁理论之外的物理规律。

这不是玻尔第一次发现经典理论的不完备。早在他那篇没人读过的博士论文中，他就曾提到传统的电子理论无法完全解释金属的导电、导热及磁性现象。但这时，他对新物理规律的来源已经有了更明确的认识。卢瑟福转述的索尔维会议见闻给他留下过深刻的印象：当经典理论走投无路时，只能打破旧的桎梏，像普朗克、爱因斯坦那样引进全新的规则——哪怕这新规则多么地不可思议。

普朗克引进的新规则是能量子的能量与频率成正比，二者之间的系数已经被称为普朗克常数。当玻尔把这个常数与原有的质量、电荷一起组合时，发现果然能够凑出一个长度单位。而且，这个长度与已知的原子大小非常接近。他非常兴奋：电子的轨道大小不随意，是由新的量子规律决定。（他所用的以物理量的单位发现物理性质的方法叫做“量纲分析（dimensional analysis）”。）

也是在这时，玻尔突然在文献中发现已经有一篇用同样的办法设计电子轨道的论文，作者是他认识的尼科尔森（John Nicholson）。并且，尼科尔森还更进了一步，将电子轨道运动的角动量与普朗克常数联系，认为只有角动量是普朗克常数整数倍的极少数轨道才是可行的（严格来说，是普朗克常数除以两倍圆周率的整数）。他把这个模型套用在天文观测中发现的日冕光谱上，似乎挺合拍。

尼科尔森是玻尔在卡文迪许实验室见到的众多年轻人之一。他比玻尔只大四岁，这时已经成为伦敦国王学院的数学教授。他也是在研究了索尔维会议的纪要之后提出了这个将电子轨道“量子化”的建议。他的论文发表在英国天文学会的月刊上，在物理学界没人注意。半年之后才被玻尔发现。玻尔大为惊愕。他印象中的尼科尔森的学术能力不堪恭维，没想到会突然有此一举。好在除了电子轨道这个要点，那篇论文的出发点和逻辑都相当混乱，没有可取之处。玻尔庆幸他还没有失去机会，正好可以从中去粗取精，继续构造自己更合理的原子模型。

尼科尔森的论文还给了玻尔另一个启示。能探究原子内部结构的不只是α粒子散射，还有现成的光谱数据。后者其实更为重要。

更迫切地，玻尔意识到还会有更多、比尼科尔森更强的人正在争分夺秒地研究原子的结构，随时都可能有重大突破。时不我待。

（待续）