量子纠缠背后的故事（廿八）：哥本哈根的诠释

狄拉克还在哥本哈根解决让爱因斯坦束手无策的电磁场量子化时，苏黎士的两位德国小伙子海特勒（Walter Heitler）和伦敦（Fritz London）正向泡利攻读博士时无能为力的难题——氢分子——发起挑战。

在伽利略、牛顿之后，物理学匹马当先，成为唯一具备坚实数学基础、准确定量的学科。正如阴错阳差地获取诺贝尔化学奖的卢瑟福所言，化学、生物等其它学科在20世纪初依然只是在“集邮”。深具优越感的物理学家相信自己研究的是一切自然现象的基础，化学、生物同行们所搜集的邮票背后肯定都会有着物理的解释。所以，他们时刻准备着伸手拉兄弟一把，用物理的规律解释化学、生物现象。

分子是走向化学领域的第一步。玻尔在1913年发表原子模型时，他的论文题目是《关于原子和分子的构成》。那时，他很乐观地认为他的电子轨道模型不仅能支持卢瑟福的原子，还可以解释原子如何互相结合形成分子。为此，他针对氢、氧等简单的分子做了一系列研究。

然而，虽然他后来以壳层结构成功地为在化学中举足轻重的元素周期表提供了物理根基，他在分子的结构上最终还是力所不逮、功败垂成。（在1922年获得诺贝尔物理奖前后，玻尔也曾在1920、1929年两度被提名诺贝尔化学奖。）

氢分子是最简单的分子，有着两个氢原子。这种不带电的中性原子如何能够互相吸引而结合成为分子——所谓“共价键（covalent bond）”的形成——在化学上还是一个谜。可是，这个只有两个原子核、两个电子的小东西却已经超出玻尔、泡利以简单物理模型所能对付的范畴，也让后来的矩阵力学束手无策。

薛定谔的波动方程提供了更为强大的数学武器。海森堡在求解了有两个电子的氦原子后还进一步为如何对付氢分子提供了思路。但后者的波函数依然过于复杂，无法严格求解。在薛定谔的指导下，海特勒和伦敦另辟蹊径，采用一种叫做“变分法（variational method）”的计算手段获得非常接近的近似解。这样，他们从理论上计算出与实际测量相符的氢分子的各个结构参数，解释了共价键的物理机制。（其后不久，在美国哥伦比亚大学攻读博士学位的中国留学生王守竞也独立地完成相似的计算。）

他们的计算标志着现代科学一个不大不小的里程碑：五彩缤纷的化学现象不再只是化学家观察、收集、归类的对象，它们可以从物理的基本原理出发解释、预测。从那时起，化学与物理学有了亲密无间的缘分，在后者的引领下也步入精确科学。

这片肥沃的处女地顿时激发了哥廷根、哥本哈根、慕尼黑等地二十来岁年轻人的热忱。他们采取各种计算方法，将目标逐次锁定越来越大的原子、分子，不断地攻城略地。不久，狄拉克在1929年的论文中总结：“理解物理学大部和化学全部所需要的物理定律现在已然完全知悉。剩下的困难只在于应用时会遭遇过于复杂的方程，无法准确求解。”

那不过是第五届索尔维会议之后一年半。这些兴致勃勃地计算各种波函数的青年一代对爱因斯坦与玻尔的那场争论毫无兴趣。

索尔维会议结束半年后，玻尔引以为傲的互补原理终于以论文的形式面世。他一共发表了四个内容基本雷同的版本：科莫湖和索尔维两个会议记录中都有其法文版（尽管论文内容与他在会上的实际发言出入极大）。另外，他在德国学术刊物上发表了德文版，又专门在英国的《自然》发表了英文版。

老派的《自然》编辑们对这个满满当当十页长，却只有区区六个数学方程的典型玻尔式科学论文拿不准。他们附加了一个编后感，希望玻尔所述不至于成为量子力学的终极结论，将来还能看到粒子就是粒子、波就是波的简单物理和因果关系在量子世界中的王者归来。

泡利看到后不禁怅然，写信给玻尔大发了一通牢骚。

《自然》的编辑们的确显得迂腐。与德布罗意的垂头丧气相反，海森堡在索尔维会议后兴高采烈。那整整一星期，他和泡利追随着玻尔，亲眼目睹首领如何在自己的帮助下成功地击溃爱因斯坦屡败屡战的挑衅，一举奠定对量子力学的正确理解。那是“哥本哈根精神”的胜利。

将近30年后，海森堡在1955年回顾这一历史时刻，又将“哥本哈根精神”改成更为正式的“量子力学之哥本哈根诠释”。虽然这个新名称在1920年代末未曾现身，以玻尔的互补原理，辅之以玻恩波函数几率解释、海森堡不确定原理以及玻尔早期的对应原理为主体的“哥本哈根诠释（Copenhagen interpretation）”在1927年的索尔维会议后已经赢得公认，成为物理学界的共识。

就连在会议上鼓吹导航波的德布罗意也“叛变”了。爱因斯坦会后在巴黎火车站的鼓励来得太迟。德布罗意回家后思虑再三，不久就放弃自己半生不熟的理论，归降了哥本哈根的正统。

一年后，爱因斯坦环顾四野，只有薛定谔还与自己站在一起。他们都已经沦为物理学界的“持不同政见者”。惺惺相惜，他在给薛定谔的信中写道，“海森堡和玻尔那舒服的哲学——抑或是宗教？——的确构造得很得体。它为虔诚的信徒提供了一个柔软的枕头可以安然入睡而不容易被唤醒。就让他们昏睡着吧。”

爱因斯坦还补上一句：他们“这个宗教……对我却没有半点鬼作用。”

索尔维会议后，薛定谔的事业、生活都进入他最为春风得意的时期。虽然他的波函数理念在玻恩和海森堡的连番质疑、攻击下体无完肤，但至少他的波动方程获得了一致认可，随着波函数的几率解释成为哥本哈根正统思想的一部分。会后，他在柏林大学正式接任普朗克的教授席位。那里人才济济，拥有着爱因斯坦、能斯特、劳厄等大牌教授，还有退休后仍然坚持授课的普朗克。

但与量子浪潮正风起云涌的慕尼黑、哥廷根相比，柏林显得老气横秋。这里的教授们穿着正式、古板，在讲台上毫无新意地根据写就的讲义照本宣科。40岁的薛定谔倜傥不羁。他随意地穿着休闲毛衣来上课，夏天时更只是短袖。为此他竟被校卫当作闲人挡在门外，需要他的学生来认领救驾。（无独有偶，薛定谔在索尔维会议期间也曾因穿着太随便被当作游客拒绝入内。）在课堂上，他也从来不带笔记，只是信马由缰地自由发挥。

到柏林后，薛定谔也毫无悬念地被接受为普鲁士科学院成员。他积极参与科学院、学界的社会活动。作为普朗克70岁生日纪念，薛定谔领衔筹款、组织，设立了“普朗克奖章”，由德国物理学会每年奖励一个在理论上有突出贡献的物理学家。1929年首次颁发时，获奖者是普朗克本人和爱因斯坦。

1929年6月28日，普朗克向爱因斯坦颁发普朗克奖章。

与爱因斯坦一样，柏林五光十色的夜生活让薛定谔如鱼得水。离开了苏黎士那个自由的圈子，他很快在这里又有了好几个新的红颜知己。同时，当初他辅导过中学代数的小姑娘依西也已经长大，刚满17岁便在薛定谔的软硬兼施下成为枕边情人。薛定谔甚至认真地考虑过是否离婚改娶，但在一番严谨考证后得出结论：依西是一个十全十美的情人，却不会是一个好妻子。

与此同时，他家里不那么好、也不那么差的妻子安妮固然安于现状，却也满腹牢骚。两人的家庭生活只流于形式。

在柏林，不惑之年的薛定谔与知天命的爱因斯坦有着太多的共鸣。在物理研究上，薛定谔与爱因斯坦几乎亦步亦趋，在数学性强的统计、相对论、量子等领域涉猎广泛。他们都厌恶古板的清规戒律，崇尚自由自在的生活方式。而在个人生活上，他们也都是传统价值观、道德观的叛逆，在维持家中红旗不倒时恣意拥有着外面的彩旗飘飘。

于是，他们自然地成为难得的知己。在爱因斯坦新建的乡间别墅，他们不再是道貌岸然的大教授、知识分子。他们无拘无束，经常赤膊赤足，或在山野间徜徉或在湖中扬帆，尽享功成名就后的中年生活。

相比之下，量子力学的烦恼并没有多么重要。

在柏林之外，哥本哈根诠释的信徒们正在急剧地扩展他们的地盘。海森堡已经是莱比锡的教授。泡利终于在爱因斯坦的母校苏黎士理工学院得到自己的教授席位。约旦也修成正果，成为德国北部罗斯托克大学的教授。

在他们这些而立之年的后面更有着一大批已经在哥本哈根、哥廷根、慕尼黑等地游学、近距离接受量子力学正统陶冶的年轻人正在世界各地开始扎下自己的根基，犹如四处飘逸的波函数在逐个择地坍缩，遍地开花。以学术渊源而言，他们都属于玻尔的子孙，笃信哥本哈根的理念。他们更以玻尔为个人偶像，在所到之处都会试图建设起自己的“波尔研究所”，重现那自在、活跃、青春朝气的学术气氛。

相比之下，习惯于单枪匹马的爱因斯坦、薛定谔乃至德布罗意发现他们既不见信徒拥趸也没有直接传承的弟子，只能眼睁睁地看着自己的影响日渐式微，难以为继。

以玻尔为代表的量子力学哥本哈根诠释的确如爱因斯坦所言为这新一代青年才俊提供了舒服的枕头，让他们深信不疑：量子力学的基础问题已有定论，剩下的只是各种的实际计算任务。这对他们来说也是一场亢奋而又残酷的竞赛。他们必须尽快地在这片肥沃的土壤中种植、收获，从而奠定自己的学术地位，进而出类拔萃。

在这个现实的压力下，他们的榜样其实是务实的狄拉克而并非哲学的玻尔。狄拉克在那时写道，“理论物理的唯一目的在于计算出可以与实验比较的结果；没有必要为一个现象的全部缘由提供令人满意的描述。”

海特勒和伦敦的计算表明，即使是复杂的原子、分子也都可以用量子力学计算。结果不仅能够与实验测量比较，而且具备非常精确的吻合度。而这些计算与爱因斯坦、玻尔所耿耿于怀的那一切——如何看待上帝的骰子、如何诠释量子力学——毫不相干。

当24岁的伽莫夫（George Gamow）在1928年的夏季来到哥廷根时，他也是那群年轻人之一。哥廷根朝气蓬勃的活跃、前沿的物理研究让刚刚在老家苏联惹上政治麻烦的伽莫夫觉得换了个新天地。在那青春激情中，他没有随大流去计算原子、分子的波函数，却自己另起炉灶，计算起更为微观的原子核。

在上帝所掷的各个骰子中，放射性是最早被察觉，也是最直接观察到的奇特现象。贝克勒尔和居里夫妇在世纪之初发现某些矿物会自发地产生辐射，由卢瑟福随后鉴定为原子核因α、β粒子或γ射线逃逸而发生嬗变。原子核的这种衰变没有先兆，没有原因，只是按照一定的几率——卢瑟福测定的半衰期——发生。居里夫妇认为这个神秘的谜是最深奥的惊愕：原子核似乎在自主地决定是否衰变、什么时候发生衰变。

爱因斯坦后来为了推导普朗克定律而违心地提出原子的自发辐射时也曾顺水推舟，以原子核衰变为类比作为这类莫名其妙的自发、随机现象的根据。

就在狄拉克为爱因斯坦的自发辐射奠定理论基础的一年后，伽莫夫也在哥廷根揭开了原子核的α衰变之谜。伽莫夫到来时，狄拉克已经离开哥廷根回到剑桥。两个年轻人当时未能碰面。但他们后来结识，成为非常好的朋友。

伽莫夫设想α粒子是原子核中的既有存在。它们之所以被禁锢在原子核内，是因为原子核的外围有一个势垒，就像监狱的高墙。α粒子本身的动能有限，无法突破这个阻碍。但这堵墙固然很高，却也不是无限。依照薛定谔的波动方程，α粒子的波函数不仅存在于高墙之内，在高墙之中甚至之外也会有着微弱的蛛丝马迹。这说明α粒子虽然最大概率处于原子核内，它同时也有一定的可能性是身在原子核之外。

就像爱因斯坦描述的球形波，这个波函数只是α粒子在被观测前所在之处的几率分布。当人们观察放射性现象时，波函数如同光子击中屏幕某一点时那样发生坍缩。绝大多数情形中，波函数会坍缩在原子核内，α粒子便继续被禁锢在其中，没有丝毫异常。然而，如果波函数碰巧坍缩在原子核外时，α粒子不再能够回到墙内，只能以它已有的动能逸出。当这个小几率事件出现时，原子核便永远地失去了这颗α粒子。那便是放射性衰变的发生。

这样，原子核并没有自主、随机地“放射”α粒子。粒子本来就有着处于原子核之外的可能性，只是随着波函数的坍缩成为现实。奇异的放射性只是量子力学、波函数的特性使然。果然，伽莫夫只进行了简单的计算就获得了与实验测量相符的结果。（伽莫夫依据的量子力学机制叫做“隧道效应（tunneling）”，意即粒子不需要翻越高墙而可以通过墙脚的隧道穿过。这个名字不恰当，因为它暗含着粒子从墙内到墙外的运动过程。其实，粒子并没有翻墙或钻洞。它只是在墙内、墙外都有一定的出现几率。）

在海特勒和伦敦将量子力学延伸到化学的分子后，伽莫夫将其推进到原子核领域，再度显示这个新理论在实际应用中的威力。无论上帝是否、如何掷骰子，物理学家都能计算出骰子落地时所呈现的统计规律。【伽莫夫故事的详情请参阅《宇宙膨胀背后的故事（十三）：宇宙万物始于“伊伦”》】

1928年3月，爱因斯坦在瑞士访问时突然晕倒。医生诊断他心脏肿大，需要长期卧床休养。他的妻子艾尔莎再次担当起理疗护士重任，遵医嘱为他烹制无盐食品，照料他的日常起居。那几个没有外界干扰的月份为爱因斯坦提供了难得的清静。他很快又有了重大的突破。

1928年9月，在巴尔干海滨疗养的爱因斯坦。

1929年初，欧洲、美国各大报刊均刊登醒目大标题，报道爱因斯坦的最新发现。这是继爱丁顿的日全食观测证实广义相对论后的又一轮媒体风暴。他们不约而同地宣布人类的世界观再一次被爱因斯坦全面颠覆。

爱因斯坦的新成果是一个叫做“远距平行（teleparallelism）”的统一电磁与引力作用的数学方法。在索尔维会议上失道寡助后，统一场论成为他的避风港。那也是一片荒芜的自留地，只有外尔、爱丁顿、克莱因等寥寥无几的物理学家在协同耕耘。即使有着媒体的喧嚣，也没有几个物理学家顾得上关注爱因斯坦的新发现。

热衷于评判他人工作的泡利是那极少数之一。他给杂志投信挖苦：“你们将爱因斯坦的新场论文章当作‘精确科学结果’接受的行为真是勇气十足。他那无穷无尽的创造天才，他死盯着既定目标的顽固，这些年来平均每年都会给我们一个这样的新理论作为惊喜……我们应该欢呼：‘爱因斯坦的新场论已经死了，爱因斯坦的新场论万岁！’”。

在给爱因斯坦的私信中，泡利更是毫不留情地指责爱因斯坦已经误入歧途，背叛了作为物理理论的广义相对论。他以尖酸的口吻祝贺爱因斯坦终于成功地转型为“纯数学家”，还预言他在一年之内就会幡然悔悟，改弦更张。

的确，爱因斯坦不到一年就不得不舍弃了“远距平行”。但他倒没有立即回头，仍然继续谋求出路。直到两年后，他才给泡利回信认输：“果然你是对的，你这个混蛋。”

当然，爱因斯坦并没有放弃统一场论。那依然是他余生的目标。新闻媒体也一如既往地关注着他的“进展”，稍有风吹草动便又会来上一波“爱因斯坦重大发现”的头条新闻。只是这些都不再能引起物理学界——尤其是年轻一代物理学家——的注意。

与爱因斯坦的大张旗鼓相反，外尔在哥廷根不显山不露水地提出了一个统一场论新路径。他的思想没有镁光灯的追逐却有着更为深远的影响。30多年后，杨振宁（Chen Ning Yang）等人将其发扬光大，成为现代理论物理不可或缺的“规范场论（gauge field theory）。

泡利对爱因斯坦的“转型”尤为恼火。他一再表示爱因斯坦对量子力学正突飞猛进的新进展置若罔闻、事不关己的鸵鸟态度令他十分丧气。玻恩也心有戚戚地感叹，“我们很多人觉得这是一个大悲剧。对【爱因斯坦】而言，他自己深陷于孤独的摸索中；对我们来说，我们失去了一个领袖和旗手。”

其实，泡利和玻恩都无法真切地体会爱因斯坦对他也曾孤军奋战、独力支撑的量子概念之情有独钟。在年轻一代轰轰烈烈的计算和媒体统一场论的热闹背后，他仍然默默地思索着量子力学的内在矛盾。当第六届索尔维会议在1930年召开时，他出乎意料地有备而来，再一次试图唤醒那些枕着哥本哈根诠释舒适枕头昏睡着的信徒们。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿七）：狄拉克的方程

爱因斯坦在1911年参加第一届索尔维会议时虽然年龄最小、才刚刚被正统学术界接受，但他已然以狭义相对论、光电效应、布朗运动等成就闻名遐迩，并不是一般的新手。1927年会议上最年轻的狄拉克还没有那么显赫的声望。在那场女巫盛宴上，他只是一个极不显眼的小巫，以他特有的安静、木纳作壁上观。

最引人注目的两大巫婆爱因斯坦和玻尔在会下、会上激烈但友好的针锋相对让年老的郎之万忧心忡忡，中年的埃伦菲斯特彷徨失措，年轻一代的海森堡、泡利兴奋莫名。狄拉克却只觉得兴味索然。

海森堡发现不确定原理时，狄拉克正以他独创的量子力学数学形式获得剑桥的博士学位。他没有觉得这个轰动一时的新发现有多大意义。不确定原理来自假想试验的推测，其背后的数学基础只是一个设定下限的不等式。那在狄拉克眼中不属于严格的方程式，意思不大。当他来到哥本哈根时，正赶上玻尔在兴致勃勃地发明互补原理。狄拉克更觉得不可思议：那互补原理完全是不知所云的泛泛而谈，压根写不出一个数学方程来。

对年轻的狄拉克来说，只有严格、优美的方程式才是真实的科学。

玻尔和爱因斯坦的争论始终围绕着一连串的假想试验，几乎不涉及数学推导，故而引不起狄拉克的兴趣。让他不满乃至烦躁的却是爱因斯坦不断地在以上帝的名义调侃量子力学中的随机性。早在玻恩提出波函数的几率诠释时，爱因斯坦就针对这一违反因果关系的解释写信抱怨“上帝不会掷骰子”。那之后，他对这句机灵的反诘情有独钟，屡屡以此一句抵万句地戏谑。就连一向忠厚、耐心的玻尔也忍无可忍，反击道：“爱因斯坦，别再告诉上帝该不该做什么。”

私下里，惜言如金的狄拉克破天荒地大放厥词，滔滔不绝地向海森堡和泡利论述了一番宗教、上帝之不值一哂。诧异中的泡利总结道：狄拉克有着他自己的宗教信仰，那就是“上帝不存在，狄拉克是祂的使者”。

在会议最后的自由讨论中，狄拉克也得到一个短暂的发言机会。言如其人，他讲述的是又一个自己新创的数学语言，得以解决了爱因斯坦曾经花费十年光阴也没能找到门路的老问题：电磁场的量子化。

在爱因斯坦试图将麦克斯韦方程组量子化功败垂成后，薛定谔另辟蹊径，利用德布罗意的物质波概念发现了波动方程。量子力学因此有了与牛顿力学相似的微分方程表述。但也与牛顿的动力学一样，薛定谔方程只适用于有质量的粒子，对没有质量的电磁波或光子依然束手无策。

玻尔和爱因斯坦在索尔维会议上讨论双缝实验时不再刻意区分实验中使用的是电子还是光子，因为他们都已经确信这两个微观世界的物体具备同样的波粒二象性，会有着同样的量子行为。然而，电子的状态演化可以由薛定谔的波函数描述，光子却还依旧停留在麦克斯韦的经典图像中。它们并没有统一的数学语言。

所以，当爱因斯坦绘声绘色地描述一个球形的波函数如何在某一个点突然坍缩时，他所依据的还只是电子的波函数。虽然光电效应、康普顿散射已经证明了局域性光子的存在，光却还没有一个能像电子那样坍缩的波函数。

狄拉克弥补了这个明显的缺陷。

与海森堡难以理解的矩阵相比，薛定谔一直以他的微分方程所能提供的直观物理图像骄傲。他的方程也因此立即得到广泛接受，取代矩阵力学成为新量子理论的首选数学形式。可是，他的波函数之简洁却也只出现在单一粒子的情形中。海森堡在求解有两个电子的氦原子时就发现其波函数必须扩展为六维希尔伯特空间的函数。虽然那在数学上依然直截了当，波函数却已经抽象化，不再具备直观的特点。这个复杂性还会随电子数目急剧增加：研究铀原子就不得不构造一个高达276维的希尔伯特空间来描述它拥有的92个电子。

尽管抽象、繁复，电子毕竟还是可以逐一跟踪的“粒子”。它是既定的存在，既不会无中生有也不会平白无故地消失。光子则不同。光可以在划着一根火柴、拧开电灯开关时突然出现，也经常在被物体吸收中消失于无形。显然，为这样来去无踪的每一粒光子构造专门的波函数极不现实，更没必要。

薛定谔的方程和波函数却都是以个别的电子为出发点。当每颗电子所处的量子态及其演变均被准确描述后，整个系统的状态和变化也随之昭然若揭。这个思路沿袭了牛顿的经典力学传统，没有实质性区别。

然而，印度小伙子玻色早就意识到量子世界有着特殊的物理规律。微观的粒子彼此之间不可分辨。处于不同量子态中两个电子如果互相交换，不会引起系统状态任何变化。狄拉克早就发现，为了体现这一特性，薛定谔的波函数必须具备合适的对称性：两个玻色粒子坐标交换时波函数的数值完全不变（对称）；两个费米子坐标交换时波函数的数值也不变，但其正负号会颠倒（反对称）。（系统状态取决于波函数的绝对值平方，不受正负号变化的影响。）这样一来，多电子的波函数更是愈加复杂，无法直观地想象。

为了摆脱这个缺乏简洁、美感的困境，狄拉克灵机一动。既然系统的状态不因电子之间的交换而变，也就没有必要去追究哪一颗电子处于哪个量子态中。反过来，只要知道哪些量子态中有着电子——无论是哪颗电子——就已经完全了解系统的状态。

这样，系统状态的改变无非就是某个原来没有电子的态出现了电子，或者原来被占据的态失去了电子。因为电子的总数是一定的，一个电子消失的事件必然会同时伴随着另一个电子出现的事件。

这正是玻尔当年原子模型中一颗电子在不同能级之间的“跃迁”。电子这个自发、自主的运动曾经让从卢瑟福到爱因斯坦的物理学家纳闷：电子如何能够知道要从哪里跳到哪里？在狄拉克的眼里，这个物理过程其实只是电子在量子态中数目的变化，不再涉及电子的实际运动。

为了方便描述，狄拉克创造出一套新数学语言，用不同的算符分别表示电子在量子态中的“产生”和“湮没”。描述一个系统状态的不再是一个复杂的波函数，而是一连串的“产生”算符。它们从一个空空如也的“真空”中生成了电子，让它们处于相应的量子态中。系统状态的演化便也由后续的产生、湮没算符调整量子态中存在的电子数目来完成。

这样，他的算符语言不仅能新颖、简洁地描述电子，也能同样地描述无质量的光子。不同的只是光子是玻色子，不受泡利不相容原理限制。同一个量子态上最多只能有一颗电子，却可以有着任意数目的光子。光子的总数也不恒定，可以任意地产生、湮没。

由此，狄拉克统一了电子和光子的量子理论，不再需要花开两朵各表一枝。

他更可以在一个物理系统中同时描述电子和光子，以及它们之间的相互作用。电子在某个低能量态上湮没、而在某个较高能量态上产生时会伴随着光子的湮没。那便是过去所说的光子被电子吸收而使得电子向高能级跃迁的过程。反之亦然：电子在高能态上消失、低能态上出现时伴随着光子的产生，即光的发射。

狄拉克欣喜地看到这个新理论中十分自然地出现了爱因斯坦十年前只能凭空假设的电子与光子相互作用的三个途径：自发辐射、受激辐射和受激吸收。这说明他的新理论并不只是一次数学形式上的简化、优化，而是揭示了新的物理。他不仅证实了爱因斯坦当年的高瞻远瞩，还得以不做任何假设地计算出那每个过程发生之可能性。因此，他第一次完完全全地从原理出发推导出普朗克的黑体辐射定律——那朵在世纪初逼迫普朗克做出量子革命“绝望之举”的大乌云。

在索尔维会议上，狄拉克言简意赅的介绍没有引起众人对他新理论的注意。在与玻尔激辩之后，爱因斯坦又恢复了他安然端坐沉默不语的优雅。当年，他只是为了热平衡的需要不得不引进自发辐射的概念，还专门强调那是他的理论最大缺陷所在。这个典型的“上帝掷骰子”行为现在被狄拉克纳入了量子力学的正统，还给出了计算掷骰子结果的精确方式。这大概让爱因斯坦在内心中哭笑不得。

狄拉克在会议上所讲的其实是大半年之前他还在哥本哈根时就已经完成的理论。那时他在波尔研究所为时半年的访问正接近尾声，已经相继提出了量子力学的变换理论和费米-狄拉克统计，可谓硕果累累。但他那茕茕孑立、沉默寡言的性情和对数学语言的一往情深在很大程度上限制了他物理思想的传播。他的理论被当作纯粹的数学游戏而不被理解、重视，甚至不为人所广知。

识人无数的玻尔始终也没能真正接近这个“最奇葩”怪人。在哥本哈根，狄拉克是唯一不会被玻尔时常拉差充当他反复斟酌论文、讨论问题的听众和记录员的小字辈。玻尔不是没有尝试过，但在领教了狄拉克时不时冒出的尖酸回应后只好放弃了这个念头。

在狄拉克即将离开的1926年年底，玻尔邀请这位孤身在外的小青年到家里共度圣诞节。从小因为父亲专横跋扈而没有过家庭温暖的狄拉克非常感动。玻尔对事业和家庭的兼顾、严格又忠厚善良的品格在年轻的狄拉克心目中留下了深刻的印象。

1927年初，狄拉克离开哥本哈根，按原计划前往哥廷根访问半年。玻恩和约旦在那里完成海森堡的矩阵力学后，哥廷根成为仅次于哥本哈根的量子力学圣地，与玻尔研究所一样吸引着世界各地的青年才俊。狄拉克在那里与也刚到哥廷根、同样不合群的美国纨绔子弟奥本海默（Robert Oppenheimer）交上好朋友，经常一起出门远足。但除此之外，他依然独往独来，没有介入当地的朝气蓬勃。尤其是与在科研上走得最近的约旦，他只有着泛泛之交。

1927年初，玻恩（中坐者）在哥廷根家中与他研究组成员合影。狄拉克（右二站立者）自顾自地手不释卷。站立者左四是奥本海默。

约旦在变换理论上曾先于狄拉克拔得头筹。那时狄拉克还不知道约旦也在他和费米之前就提出了费米-狄拉克统计，只是因为玻恩的疏忽而痛失优先资格。同样精于数学的约旦在量子力学领域的研究与狄拉克始终亦步亦趋，却总是稍微走在前头。直到这个以算符为代表的新辐射理论，狄拉克才开始超越比他还更年轻两个月的约旦，第一次有了自己的首创性成果。

也只有约旦当即就领悟了狄拉克这套新语言背后的深层含义。

早在19世纪，法拉第提出电场和磁场的存在，分别作为那捉摸不透的超距电磁作用之媒介。麦克斯韦随后统一了这两个相互作用，以严谨的数学方程描述电磁场，并预测了电磁波。经过赫兹的实验证实，抽象的场得到普遍接受，成为物质存在的一种形态。电磁波是电磁场的波动，如同水中荡漾的水波或空气中振荡的声波。光也是这样的电磁波。

这个简单的图像却与爱因斯坦揭示的波粒二象性不合拍，因为那纯粹的波动中不存在粒子的踪影。在狄拉克的新理论里，场是决定量子态的物理背景。而粒子则是场的激发态，随着产生、湮没算符随时随地出现、消失。所以，光子既不是爱因斯坦那被鬼场牵引着的物理粒子，也不是德布罗意想象中导航波头的弄潮儿。光子只是电磁场的激发态。它们的存在和处于各个态中的数量分布表达着电磁场所处的状态。

因为电磁场、电磁波的存在早已是定论，狄拉克的这个描述也并非惊世骇俗。然而，他进一步指出电子与光子没有本质区别，同样地不过是一个潜在“电子场”的激发态。电子与光子一样可以随时随地产生、湮没，只是它们的总数保持守恒并服从泡利不相容原理。

可能出于这是在海森堡、薛定谔量子化过程之后进一步发展的考虑，狄拉克将这个新理论叫做“二次量子化（second quantization）”。这个名称其实不恰当，量子化并没有一次、二次之分。约旦更为敏锐地意识到狄拉克的创新在于将一直还在“波乎？粒子乎？”的怪圈中挣扎的量子力学推进到“量子场论（quantum field theory）”的新阶段。如同拉格朗日、哈密顿等人在一二百年前将牛顿的动力学改写成更具备数学规范的经典场论，约旦坚信狄拉克的新思路代表着量子理论的未来。

但在哥廷根，狄拉克和约旦都没能说服导师接受这一观点。已经人到中年的玻恩对他们这一激进思想兴趣缺缺。在索尔维会议上，狄拉克也没能让那些久经沙场的大师们领会他的眼光。他那套自己发明的抽象、怪异的算符语言在他们看来只是年轻人在耍弄数学游戏，不具备物理意义。（早年曾率先提出以波作为粒子的引导，却惨遭玻尔和克莱默劫持、异化为那篇臭名昭著BKS论文的斯莱特这时在剑桥也在狄拉克的导师福勒指导下做出了同样的结果。即便如此，斯莱特也没能理解狄拉克的数学形式。）

直到很多年后，狄拉克的新数学才逐渐被物理学界接受，成为量子力学的标准语言。

索尔维会议召开时，狄拉克已经结束了在哥廷根的访问，回到母校剑桥任教。玻尔已经有大半年没见过这个无法理喻的年轻人。在会上他好奇地询问狄拉克那时正在忙着啥。狄拉克回答：相对论量子力学。玻尔讶异地会问：克莱因不是已经解决这个问题了吗？

量子是研究微观世界的物理学。那里物体质量微小，引力、广义相对论都可以忽略不计。但索末菲早在玻尔刚提出最初的原子模型时就指出电子的运动速度相当快，狭义相对论效应不可忽视。由他推广的原子模型实现了量子力学与相对论的珠联璧合，完美地解释了氢原子光谱的精细结构。

从那时起，相对论——至少狭义相对论——与量子理论难解难分，齐头并进。当德布罗意提出物质波时，他的出发点也是狭义相对论，以至于他那个本来简单明了的概念变得复杂难懂。他的导师郎之万不得不求救于爱因斯坦。就连数学上得心应手的薛定谔也是在爱因斯坦的指点下才领会了德布罗意的思想。

因此，当薛定谔在滑雪场旅馆里为德布罗意的波构造波动方程时，他的出发点自然地包含了狭义相对论。不料，当他在外尔的帮助下得出方程的解时却始终未能重现氢原子的光谱。经过一番无果的努力，薛定谔只好诉诸于简单化，在方程中略去了相对论效应。这样，他一举获得了能准确计算氢原子光谱的薛定谔方程。在那之后他一连发表六篇论文，系统地阐述了他的波动理论及其与海森堡矩阵力学的等价性。然而他却没有想起也顺带那个包含相对论效应的波动方程。那对他来说那只是一次失败的尝试。

薛定谔的波动方程与矩阵力学一起掀起了新量子理论的浪潮。在那激动人心的时刻，很少人注意到这个新理论其实只能计算氢原子的基本光谱线，对谱线中的精细结构却无能为力，还不及十年前的索末菲原子模型。

因此，即使是在索尔维会议上信誓旦旦宣布量子力学已经胜利完成的海森堡和玻恩也不得不承认相对论是现有理论的最大欠缺之处。

就在索尔维会议之前，玻尔的前助手克莱因与当初在柏林大学通告爱因斯坦泡利证明了波动和矩阵力学等价的戈登一起发现了包括狭义相对论效应的波动方程形式。他们和玻尔都不知道那其实就是薛定谔早已写在笔记本中但从未公开发表的方程式。它依然无法推算出氢原子光谱的精细结构。

其实，相对论也并不是新量子力学的唯一缺陷。薛定谔在1925年年底与红颜知己上山滑雪时，他还不知道荷兰的古德斯密特和乌伦贝克正在说服爱因斯坦和玻尔接受电子有自旋的新概念。自然，无论是他的波动方程还是海森堡更早的矩阵中都没有自旋的存在。

与地球的自转相似，自旋显然是一个粒子才有的运动形式，似乎无法在非局域的波动中出现。其实，麦克斯韦电磁波不仅仅携带着能量和动量，也能传输角动量。这个“旋转”性质来自电磁场振动的不同模式，叫做“偏振（polarization）”。根据玻尔的对应原理，这种经典波动的角动量便可以对应于光子的自转。（如爱因斯坦在荷兰时对古德斯密特和乌伦贝克所言，自转只是一个量子态，并不是粒子真实的物理转动。因此不需要操心微小粒子的转动时会超越光速。）

然而，薛定谔用于描述电子的波动方程、波函数却不存在这样的角动量。因为电子的自旋只有两个分立的数值，泡利曾试图将它以矩阵的形式引入波动方程，构造出一个带有自旋矩阵的薛定谔方程。

受泡利的启发，狄拉克干脆把电子的波函数一分为二，成为有着分别描述两个自旋方向分量的矩阵。由此，他构造出一个有机地整合自旋和狭义相对论的新波动方程。它不仅简洁优美，还能够准确地计算出氢原子光谱的精细结构。新量子力学终于不再落后于索末菲那简单的旧量子模型。（薛定谔最初的相对论方程无法得出氢原子光谱便是因为它缺少了自转因素。那个方程被克莱因和戈登重新发现后被称作“克莱因-戈登方程”，后来被用来描述没有自转的基本粒子。）

1928年元旦，第五届索尔维会议结束两个月后，福勒将狄拉克的论文提交给英国王家学会。那时的剑桥依然是量子的荒蛮边陲。除了他这位前导师和达尔文，没有其他教授懂得量子力学。不显山不露水的狄拉克也没有声张，所以他的同事们对他的新突破一无所知。

但在海峡对面的欧洲大陆，他的论文立刻就引起广泛且巨大的反响。也在这个难题上埋头苦干的约旦看到后目瞪口呆，知道他再也无法与狄拉克比肩。海森堡五体投地，对人声称今后不再有与狄拉克竞争的必要。哥廷根的玻恩、哥本哈根的玻尔更是再一次对这个奇葩的年轻人刮目相看。

“狄拉克方程”不仅是狄拉克本人，也是1920年代量子力学登峰造极之作。它的出现标志着电子、光子运动和相互作用的完整描述——“量子电动力学（quantum electrodynamics；简称QED）”——的诞生。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿六）：杨的双缝实验

1803年，才30岁的杨在英国王家学会首次展示了光的波动性。他在窗帘紧闭的大厅里放进一小道阳光，然后在光束中插进一张窄窄的纸片。观众们可以看到纸片后面的光走的不是严格的直线，会出现在纸片遮挡着的阴影内。

杨随后改进了这个实验。他把那不好控制的纸片换成一块能够完全遮挡光线的硬板。这块挡光板上开有两条彼此平行、距离非常近的狭窄缝隙。阳光从狭缝中穿过后，两道分离的光束因为衍射扩展发生重叠。杨在那后面再放上一个屏幕，上面即鲜明地显示出彩虹般的图像。

如果用棱镜从阳光中分离出单一颜色的光束来做这个实验，屏幕上便不再有彩色，而是清晰的一条条明暗相间的条纹。

1807年英国教科书上描绘的双缝实验示意图。光束自上而下，经过两个狭缝后在最底下的屏幕上形成明暗相间的干涉条纹。

类似于荡漾水波中经常出现的破碎涟漪，这个实验中分别从两个缝隙中通过的光在重逢时有的地方互相增强变得明亮，有的地方则互为抵消而暗淡。这种干涉条纹的出现无以辩驳地否定了牛顿的微粒说，奠定光的波动性。

杨的这个双缝实验遂成为物理学史上登峰造极的经典。

不料，一个多世纪后，光又不再只是杨证明的波，却也不会是牛顿认定的微粒。它表现出的波粒二象性扑朔迷离，促使爱因斯坦和玻尔在索尔维会议上旧话重提，围绕双缝实验展开新一轮辩论。

在索尔维会议上，爱因斯坦在黑板上他用来演示泡泡悖论的示意图中再加上一面带有两个狭缝的挡板。他的假想试验于是摇身一变，成为杨的双缝设计。

在他的图中，光束在经过第一个狭缝时变成泡泡式的球面波，然后又穿过带有双缝的挡板在其后的屏幕上形成干涉条纹。但爱因斯坦更感兴趣的是以他主张的光子出发重新审视这一经典之作。

1927年爱因斯坦和玻尔在索尔维会议上讨论的双缝实验示意图。

这样，双缝实验其实是大量的光子分别穿过狭缝抵达屏幕。它们的着落点各不相同，每颗光子只会引发一瞬细微的闪亮。然而众多光子的集体效应却会导致屏幕上光亮分布的不平均：光子频繁惠顾的地方变得明亮，被冷落之处则昏暗依旧。那便是肉眼可见的干涉条纹。

光子之间没有相互作用。每颗光子的行为、路径是独立的，不受其它光子影响。因此，大量的光子是同时释放还是一颗接一颗地细水长流，最后的累积结果不会有差别。于是，爱因斯坦故伎重演，再度提请大家设想把光源的强度调到最低，每次只允许有一颗孤零零的光子通过。

因为光子是不可再分的最小单位，单独一颗光子从光源到屏幕只能通过那两条狭缝之一，不可能分身同时穿过两条。无论从哪条狭缝经过，光子都只经历了那一条狭缝。另外的那条狭缝是否存在、其通路是否刚好被阻挡，不应该影响到这颗光子的路径、运动。

另外的光子当然可能会走那另一条狭缝。但这些光子都是各自独往独来，没有机会互相联络、商量。于是，每颗光子的运动过程都是一个不具备双缝实验条件的独立事件。然而，当一颗又一颗光子如此这般地通过后，它们却会神奇地合作，在屏幕上展示出只有两条缝隙同时开放时才会有的干涉条纹。

爱因斯坦觉得这不可思议：光子总不能自己与自己发生干涉。这个匪夷所思的表现说明它与童年时的那个指南针一样，背后还有着神秘的力量在运作。也许是德布罗意的导航波在引路，也许是其它什么隐变量在操纵，现有的量子力学理论还没能完全解释这个现象，远非已经完备。

对来自爱因斯坦的这又一个挑战，玻尔早已成竹在胸。

索尔维会议开幕时，科莫湖会议才刚刚过去一个多月。在泡利、克莱因的协助下，玻尔的互补原理终于渐趋完善。杨这个经典的双缝实验正是互补原理的最好演绎：波与粒子的对立统一。

在玻尔的心目中，我们对微观世界的了解只局限于通过测量获得的信息。在爱因斯坦的这个实验中，我们只知道光子通过了第一个狭缝，知道光子最后到达了显示屏，却对光子在中间那块有着两条狭缝的挡板附近的行为一无所知，因为我们没有对它进行针对性的测量。

所以，玻尔认为爱因斯坦对单个光子从狭缝中通过的描述纯属主观臆测。没有测量，就不可能知道它从哪一个狭缝中穿过、如何穿过，甚至是否真的有“穿过”的过程。更无从回答光子如何能够知道它可能的路径中有着两条狭缝的选择。如果坚持要知道个中奥秘，就必须对光子的行径进行测量。

那正是弟子海森堡的拿手好戏。他就是在测量电子轨道的假想试验中发现了不确定原理。这时他自告奋勇地提议改用电子分析这个实验，因为探测单个电子的行径远比探测光子更为直观。电子的波动性已经在那年年初由戴维森的实验证实。至少在理论上，用电子束进行双缝实验也会获得与光同样的干涉条纹。

不过一年半之前，爱因斯坦还在提醒海森堡，电子在云室中会留下清晰无误的轨迹。海森堡便将计就计，假想在那两条狭缝背后都有着云室一般的过饱和蒸汽。这样，无论电子从哪一条缝穿过，都会在那里留下脚印，暴露目标。

海森堡当然也不再是当初面对爱因斯坦哑口无言的新手。他现在掌握着一桩得心应手的新武器。与他的显微镜假想试验一样，他指出电子在与云室蒸汽互动留下足迹的同时，自己的动量也因碰撞发生改变，偏离原来的路径。它们不会依然奔向屏幕上的既定目标，却会像失去准星的枪弹一样散落在靶点的周围。

电子与蒸汽中水分子的碰撞过程是随机的。在黑板上，海森堡用几个简单的运算就证明这样的结果是电子在屏幕上本应形成的干涉条纹被“抹平”了。加了云室的双缝实验不再呈现干涉条纹，也就无法演示波动性质。

这个充满戏剧性的转折相当出人意料。玻尔却得意地宣布这正是互补原理的彰显。

芝诺、德谟克里特等古希腊哲人的冥思苦想在亚里士多德（Aristotle）手中系统化，成为他称之为“物理学”的理论。这个辉煌的原始知识积累随即在进入中世纪的欧洲失传，直到一千多年后才被他们从阿拉伯人保存的译本中重新发现。在那之后，欧洲进入文艺复兴，开始用一种更为实在的目光观察世界。

伽利略（Galileo Galilei）多半没有像他学生声称的那样在比萨的斜塔上扔下一重一轻的两个大球，以它们的同时落地证明亚里士多德理论的错误。更大的可能是他曾经作为假想试验描述过这么一个场景。

亚里士多德直觉地认为越重的物体下落得越快，所以重球会比轻球先落地。伽利略设想如果把两个球用绳子拴在一起，如果它们下落速度不一致就会互相牵制。重球会拽着轻球，而轻球则会拉重球的后腿。这样，它们的下落速度会比重球慢而比轻球快。然而，两个栓在一起的球又构成一个整体，比单独的重球更重，应该下落得比重球还更快。

伽利略这个假想试验承继了古希腊哲人的思辩逻辑。两个用绳子拴在一起的球互相既具备可分离性又有着直接的接触。它们之间形成因果联系，是以改变彼此的下落速度，导致一个自相矛盾的结论。

虽然伽利略应该没有亲自爬上那座斜塔，把这个在逻辑上无懈可击的实验从假想转变为真实，他在斜塔下简陋的实验室中所做的一系列实验却奠定了人类思维的科学方法。

在万众瞩目中从斜塔上扔下两个球固然能引起轰动，在当时的条件下却很难取得准确的数据。伽利略知道这个实验中最难把握的是空气阻力的影响和对物体速度的测量。他采取了不同的设计，把物体的自由下落改为小球在长长斜面上的滚动。这样，他可以通过斜面的倾角控制滚动的快慢。当小球滚动速度比较小时，空气阻力可以忽略，也方便他用粗糙的工具测量滚动的距离和时间。

通过系统的测量，他不仅证实不同重量的小球在斜坡上滚下所需的时间相同，否定了亚里士多德先验的想象，还获得详细、精确的动力学数据。这些成果经牛顿发扬光大，成为经典动力学定律的基础。由此，伽利略的实际测量和牛顿的定量数学取代亚里士多德式的思辩，标志物理学的真正诞生。

大体与亚里士多德同时代的中国哲人荀子在《天论》中开宗明义：“天行有常，不为尧存，不为桀亡。”自然界是一个不以人类的思想、行为而变异的独立存在。这是一个历史悠久的朴素认识、不证自明的真理。

物理学正是研究这个大自然的科学。当天文学家第谷（Tycho Brahe）、开普勒（Johannes Kepler）在16世纪仔细地观测、记录太阳系诸星球的位置、轨迹时，他们小心翼翼地避免人为差错，但不会担心金星、水星等等会因为他们的观测而改变自己的轨道。

伽利略在用自制的望远镜仰望星空，发现一个人类肉眼从未曾看到过的“天外之天”时，他热情地邀请与他意见相左的哲学教授一起观察，试图以眼见为实改变他们的世界观。他知道望远镜内是客观的图像，不会因观察者的不同而变异。

同样，当英国的虎克、荷兰的惠更斯等人重复、验证伽利略的斜面滚球实验时，他们也无需顾虑自己并没有身在伽利略的意大利。恰恰相反，正是有着不同时间、不同地点、不同设计的检验才能令人信服地排除实验中可能存在的主观或偶然因素，得到真实、客观的结果。

二百多年以来，自伽利略起始的以系统、严格、可验证的实验为主的科学方法成为物理学不可动摇的基础。物理学家兢兢业业地运用着越来越精致的仪器、越来越奇妙的设计测量、记录大自然的形态和运动，从搜集的数据中分析出普遍的规律，整理为逻辑、定量的理论，然后又在进一步的实验中查证理论的预测。

这一切，都基于那个朴素的认识：客观的自然世界不会因为人类的观测而改变自己的行为、状态。

直到1927年，这个理所当然的理念遭受挑战。

海森堡发现，在观测电子时，用来“照明”的光子不可避免地会改变电子的轨迹，破坏那正在被观测的状态。有史以来第一次，物理学家突然意识到在大自然的面前，他们不再只是置身事外的被动性旁观者。他们在观测、记录的同时也在改变着这个世界。

在那年的索尔维会议上，爱因斯坦绞尽了脑汁，也没能设计出一个即使只是理论上能够摆脱这个困境的假想试验。无论他祭出怎样的奇技淫巧，均被海森堡、泡利等年轻人悉数破解。

玻尔对爱因斯坦的这份执着却难有同感。针对爱因斯坦情有所钟的双缝实验，玻尔指出，理解这个经典实验的关键正在于测量的过程。在量子世界里，测量不仅获取信息，也同时改变着实验的性质。

当一颗电子进入爱因斯坦的假想试验时，它在通过第一个狭缝时所处的位置可以基本确定。那时电子的波函数集中在狭缝所在，接近于δ函数。接着，这个波函数会随时间根据薛定谔方程演变。尽管薛定谔本人很不情愿，波函数还是逐渐扩散为爱因斯坦设想的泡泡，即范围越来越大的波包。它弥漫于空间各处，不再是一个粒子式的局域函数。

描述这个实验的薛定谔方程的势能场中包含有后间的遮挡板和那上面的两条平行狭缝。它决定了波函数在那挡板后面有着由这一构造决定的分布：电子在某些地方出现的几率比另一些地方大。如果将波函数描画出来，就能看到其中有着几率大小相间的分布，构成干涉条纹式的图案。

然而，如果按照爱因斯坦的建议用单个的电子做实验，在屏幕上看到的只会是一点闪亮，不是波函数中蕴藏着的几率发布。因为波函数只是一个抽象的数学概念，无法直接观测。

那个屏幕其实是一个测量仪器。正如爱因斯坦在泡泡悖论中的描述，电子与屏幕发生接触时会发生一个薛定谔方程中并不具备的突变：电子的波函数瞬间坍缩，成为仅在接触点有数值的δ函数——那之前有着干涉条纹式分布的波函数不复存在。δ函数与屏幕上的闪亮都在明确地表示，那一时刻电子只在那一个点上存在。

如果将波函数在那有着两条狭缝的挡板附近的几率分布描画出来，也能够清晰地看到电子在某时某刻出现在哪条狭缝中的几率。但那也不过代表了可能性，无法确定电子在狭缝中的实际行为。要落实电子的踪影，必须在狭缝所在的当地实施测量。而如同最后的屏幕，测量会造成波函数的坍缩。

海森堡在狭缝后面置放的云室就是这样的一个测量手段。

电子在云室中与水分子接触，造成后者电离而“暴露”位置的那一霎，自己的波函数也同时发生坍缩成为那一点上的δ函数，不再保留之前的状态。接着，电子继续前行，波函数再度“散开”，直到它再次遭遇水分子。因为云室中的超饱和水蒸气密度非常高，电子通过时会频繁地发生这样的碰撞，中间只有极其短暂的自由运动。这样，电子接连不断地发生碰撞、波函数坍缩，在云室中留下了一串足迹，即一条清晰的轨迹。云室中的电子没有机会展现波动性，表现得犹如纯粹的粒子。

玻尔解释道，云室与屏幕都是测量仪器。它们相对来说非常庞大，自身不具备量子性质，可以完全用经典物理描述、理解。我们无法直接接触微观的量子世界，只能通过这样的仪器作为中间媒介。宏观、经典的仪器与微观、量子的物体发生接触时，必然会导致后者的波函数坍缩，改变其既有的状态。

经典仪器的测量获得的也是经典的物理数据。被测量的光子、电子行为也就不是量子的波粒二象性，而是被转换成位置、速度或者干涉条纹等等物理量。如果我们测得了位置或速度，那是它们粒子性的表现。如果看到干涉条纹，就又是它们表现出了波动性。

双缝实验是杨为了展示光的波动性而设计，它会让光子、电子束在屏幕上呈现干涉条纹。然而，当海森堡在狭缝处装置云室时，他引入的是一个测量粒子性的仪器。这个举动彻底改变了实验的性质。于是，原来应该出现的干涉条纹消失了。

因此，玻尔指出杨的这个经典实验清楚地表明量子物体是表现波动还是粒子性质完全取决于测量仪器的选择。设计、实施该试验的物理学家不是单纯的旁观者,他们的取舍先验地决定了能够测量到的现象。这样，不同的实验结果看起来会互相矛盾：电子有时是粒子，有时却是波。但只有通过不同的实验观测到不同的结果，才能了解电子、光子等量子物体的全貌。这是粒子与波的互补特性。

当爱因斯坦坚持电子会从某一条狭缝中通过时，他已经选择了粒子的视角。对这个问题的回答必然导致干涉条纹的消失。反之，要以双缝实验观察电子的干涉条纹，就只能坚持电子的波动性，无视爱因斯坦的好奇心。

电子既会在云室中留下清晰的轨迹，也可以在双缝后的屏幕上展现鲜明的干涉条纹。这两个水火不容的表现都是电子的真面目。它究竟会以其中哪一个面目示人，却取决于观察者的选择。

是为互补原理。

当埃伦菲斯特在会议的黑板上写出上帝打乱人类的语言的圣经谶语时，他取笑的是在座的物理学家以德语、法语、英语大声争吵，却无法真正交流。玻尔则随之苦口婆心地解释，他们所面临的量子困境，其实也只是一个语言的障碍。他们必须学会同时使用粒子、波动这些自相矛盾的经典语言来对付微观的量子世界。

但玻尔同时也在强调，这并不是一个人类认识的局限，而是量子世界的本体。电子、光子以及其它一切微观世界只存在于我们通过测量而获取的或者粒子或者波动的数据。这些对立统一、“互补”的信息构成了量子世界的全部，背后不再有不可知的隐变量或更深一层的现实。因此，已经能够通过波函数、薛定谔方程描述、预测所有测量结果的量子力学是完备的，业已大功告成。

自然，玻尔这番哲学味十足的论辩没有能说服爱因斯坦。老一代的郎之万也觉得无所适从。他无可奈何地感慨这届群雄汇聚、畅所欲言的索尔维会议不仅未能统一思想，反而还把量子的困惑推向了极致。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿五）：深藏幕后的神秘力量

还只有四五岁时，爱因斯坦有次生病，父亲给了他一个指南针玩耍。小小的爱因斯坦立刻着了迷。

成年后，他多次回顾那次经历，显然印象深刻。他记得，无论他如何极力地调整摆布，那小玩意里的指针总是顽固地指着一个方向，丝毫不为他所动。他回忆说那时他曾因之浑身颤抖冷汗淋漓。

虽然还处于懵懵懂懂的年龄，爱因斯坦也明白那指南针不会有自主意识。在它倔犟行为的背后，肯定深藏有某种力量在推动。

在早期人类的眼里，自然界充满了不可捉摸的神秘。尤其是当惊天动地的风暴、地震、洪水、海啸突如其来时，他们无法理解，只能将之归因于超自然的神力。中国人创造了玉皇大帝王母娘娘，还有翻云覆雨的龙王。希腊人则有着海神波塞冬（Poseidon）。他性情暴躁，一发怒就会掀起滔天的灾难。

海神波塞冬。

希腊历史记载中最早的哲人泰勒斯（Thales）对这个“解释”很不满意。如果波塞冬只是在某个角落大吼一声，遥远的地面就会发生震动，这中间太缺乏现实的联系。泰勒斯觉得地震不可能凭空发生。他设想人类居住的陆地下面其实是海洋，地面只是漂浮在水面上的巨大板块。当海浪汹涌引起陆地颠簸时，上面的人们就会感觉到地震的发生。

也许波塞冬的确还是在掌管着这一切的发生。但无论怎么生气，也无法仅仅凭着意念引发大地的震动。他只能先在地下的海洋中掀起风浪，推动起那上面的陆地板块，才能造成地震。

泰勒斯没有进一步解释波塞冬如何能在海洋中兴风作浪。他的理论只是在波塞冬的情绪发泄和地震之间增加了一个海洋作为中继的过渡。这个听起来似乎换汤不换药的小伎俩却标志着理性思维的一大突破。

当神话中的波塞冬无论是以脑子里的愤怒闪念、撕心裂肺的咆哮还是手中钢叉的狂野挥舞都无法远距离地引发地震，而必须通过现实的海洋推动陆地时，至少地震的发生有了一个切实的起因：海洋的波浪摇撼大地，造成后者的晃动。

这是一个直截了当的因果关系，不再带有超自然的神迹、魔力。那地下的海洋存在与否、是不是地震的真正起因，都可以现实地检验。相比之下，波塞冬的情绪、行为却只是一个虚无缥缈无可捉摸，既不可能证实也无法证否的因素。

水能载舟亦能覆舟，是因为水与舟之间有着直接的接触。水因此可以推动航船以及大地摇晃。同样地，当看到一根树枝在空中晃动时，理性的人不会像禅师那样去揣测那只是“心动”，也不会怀疑那是千百里外的某个人施放了气功。也许一只鸟刚从那树枝上飞走，或者一丝微风正好吹过。鸟或风碰到树枝，使之摇曳。

在希腊哲人的心目中，只有这种发生在同一个地点、通过直接的接触起作用的原因和结果才能构成实实在在、可验证的因果关系。这是因果律的“局域性（locality）”。

爱因斯坦在1927年索尔维会议上再度提起他的泡泡悖论，描述一颗光子或电子击中荧光屏某个地点时，其波函数会发生突然的坍塌，从一个非常大的半球面均匀分布变成只在那一个点存在的δ函数。他的本意就是要强调被击中的那个点和半球面上的其它部位距离上可以远隔万里。那个点上所发生的撞击事件不应该瞬时地影响到其它地点的波函数行为。如是真是那样，就会违背了局域性，是一种不能接受的“超距作用（action at a distance）”。

相传早在公元前中国就出现了“司南”，作为能帮助人们辨识方向的指南针。泰勒斯所在的希腊还没有那样的工具。但他们也已经知道自然界存在有磁石，可以不通过接触便让铁屑移动。如果使劲地摩擦琥珀，它也能在一定距离上让人毛发尽竖。

显然，这都属于违反了局域性的因果联系。泰勒斯他们百思不得其解。但与童年的爱因斯坦一样，他们不相信那是超距作用。在磁石、琥珀的背后肯定还藏着有未知的因素在起作用。

这个神秘的幕后黑手迟至19世纪才终于被英国的法拉第（Michael Faraday）揭穿。他通过实验发现磁石的周围存在磁场、摩擦后带电的琥珀周围存在电场。电场和磁场弥漫于空间，像泰勒斯的地下海洋一样成为磁石与铁屑、琥珀与头发之间的中介。那肉眼看不见的磁场和电场通过接触推动了铁屑和头发，并非跨越空间的超距作用。

当麦克斯韦将法拉第的发现总结、提升为系统的电磁学理论时，他更揭示出这个相互作用不仅没有跨越空间距离，也不具备跨越时间的瞬时效果。电磁作用是通过以光速运行的电磁波传递，在不同地点之间的传播需要有一定的时间差。

少年时的爱因斯坦在中学里学习了电磁学的基本知识，得以解开了童年时的困惑：是地球周围存在着的地磁场在暗中操纵着他的指南针，迫使那指针顽固地指向南北两极。那就是他当初怀疑过的深藏着的力量。

然而，那时也已经有了另外的超距作用。为了解释日月星辰的运动和苹果的掉落，牛顿早就发明了万有引力：任何两个物体之间都存在有引力作用。这个引力超越了时间和空间的障碍，无论相隔多远都能够即时感应到，只是强度会随距离（的平方）减弱。

地球之所以在轨道上年复一年地公转，是因为有来自太阳的引力——尽管两者之间存在着长达1.5亿公里的虚空。

那也是一个违反局域性的因果关系。面对同时代的莱布尼兹（Gottfried Leibniz）等人的反复诘问，牛顿只能摊开双手耸耸肩，承认他无法自圆其说。虽然如此，他的学说在太阳系运动的描述、预测中久经考验屡试不爽，也不能不令人信服。

1905年，还在专利局打工的青年爱因斯坦发表了一个崭新的动力学理论，将光速是信息传播速度的最高极限提升为物理学的原理。但他深知那瞬时作用的万有引力恰恰违反了这个限制。所以，他只把这个新理论称作“狭义”相对论。又经过漫长十年的艰苦努力，他才得以完成“广义”的相对论。在这更进一步的理论中，万有引力不再是牛顿的超距、瞬时作用，而代之以空间的弯曲。在太阳附近，空间因为太阳质量的存在发生了弯曲，改变了地球的行径。地球公转的直接原因不是遥远的太阳，而是地球所在当地的空间曲率。

于是，爱因斯坦再一次打破超距作用的迷雾，恢复了具备局域性的因果关系。弯曲的空间像泰勒斯的地下海洋、法拉第的电磁场一样，为引力作用提供了直接的接触。

所以，当超距作用借助量子理论又一次死灰复燃时，爱因斯坦立即便有了警觉。在他的心目里，因果律的局域性至关重要。

当实验台上的指南针突然摇动时，科学家知道那是因为旁边的一根导线正好有电流经过。那又是因为导线连接着电池，其开关刚刚被打开。那开关又是因为他助手的手指正按着按钮……这一连串可以追溯、能够验证的局域行为是科学家能够解释指南针摇动的逻辑基础。假如指南针的摇动同时也可能是因为波塞冬在海底皱了眉头，地球上某人不小心发了气功，或者水星与火星的位置发生了“相冲”，那么这个实验结果就不可能有确定的解释。科学也会随之失去存在的价值。

因此，从1909年的泡泡悖论到1927年的波函数坍缩，爱因斯坦频繁地提请同僚们注意这个致命的缺陷，却始终不得要领。

在早先的十年里，爱因斯坦曾经是量子概念的独行者，没有人认同他的光子概念。这时，他又在群星璀璨的索尔维会议上发现自己依然形单影只，没有人理解他对超距作用的忧虑。

德布罗意还是在这次的索尔维会议上才第一次见到他的伯乐和偶像。但他很是灰心丧气，因为他的演讲被泡利、克莱默等人驳得体无完肤，而爱因斯坦却没能施以援手。会议结束后，他们一同乘车去巴黎。爱因斯坦在那里换车回柏林。在巴黎北站的站台上分手时，爱因斯坦热情地鼓励德布罗意：别失望，继续努力。你正在走的路是对的。

当爱因斯坦看到德布罗意在会上提出隐变量理论时，他不由啼笑皆非。与童年时看到指南针那不合情理的表现一样，爱因斯坦坚信量子世界中的超距作用背后隐藏有更深刻的物理机制，会像电磁场、空间弯曲一样提供合理的局域性解释，保证因果关系的完整。那便是量子力学中的隐变量。德布罗意的理论与他自己本来准备在会上发表的论文大同小异，走的是同一条路。

爱因斯坦却在会前撤回了论文，因为他发现了另一个让他无所适从的问题。

泰勒斯之后的希腊哲人们笃信因果关系是理解、解释世界的不二法宝。在没有上帝、神灵颐指气使的理性世界里，勒皮普斯（Leucippus）声称，“没有无缘无故的发生，一切都有其原因和必要”。

微风的吹拂是树枝晃动的原因，树枝不会也不能够自作主张让自己摇晃起来。作为因果关系，微风与树枝不仅需要有直接的接触，还必须是两个可以彼此分开的物体。假如世界万物均为同一个整体，不可分割，那就无从谈起谁能影响谁，谁能把谁推动。只有在具备可分离性（separability）的前提下才能言及因果关系。

那么，物体又是如何地可分呢？

与勒皮普斯同时代的芝诺（Zeno）最喜欢钻这种牛角尖。他尤其擅长假想试验，只是古代的希腊还没有那个概念。芝诺的假想试验经常导致逻辑上的矛盾，因此被归为哲学思辩中的悖论。

据说芝诺曾提出过几十则五花八门的悖论。他证明过奔跑速度最快的阿基里斯（Achilles）永远也追不上一只缓慢爬行着的乌龟，也论述过一支射出去的飞箭其实仍然处于静止状态。但他心目中最深刻、最有意义的却是所谓的无限可分悖论：将一个物体分成两半，然后再将其中的一半又分成两半……这个过程可以无穷无尽地进行下去，永远也不可能分完。因此，他认为物体其实是不可分的。

作为回应，勒皮普斯的学生德谟克利特（Democritus）干脆提出一个新的假设：物体并不是连续的无限可分，它们其实是由非常微小、肉眼不可见的“原子”组成。当芝诺一半一半地切分物体时，他分到原子的尺度就只能停止，不再能继续分下去。原子物质存在的最小单位。

最早提出原子论的德谟克里特。

在德谟克里特的眼里，世界由无数的原子组成。它们彼此分离，如小球一般在虚空中自由运动。当一颗原子撞到另一颗原子时会改变对方的轨迹，自己也会同时反弹。那便是世界万物运动、状态变化最基本的因果关系。

在希腊语中，“原子”的字面意思是“不可分割的”，也就是德谟克里特心目中的最基本粒子。这个2000多年前的概念一直延续至近代，成为道尔顿的现代化学和玻尔兹曼的统计力学的基础。（无独有偶，爱因斯坦在专利局通过统计运算发现布朗运动的规律，证实了原子的存在。那液体中的原子也就是花粉表面上无规律随机运动背后的隐变量。）

然而，随着汤姆森、卢瑟福的发现，现代的原子已经不再是不可分割的基本单位。它由原子核和电子组成。如芝诺的推测，原子核也还可以继续被分成质子、中子，乃至夸克。夸克和电子等才是德谟克里特想象中的不可再分的基本粒子。

德谟克里特原子模型所体现的逻辑观念也经受了历史的考验。在牛顿精确的数学表述下，世界万物的运动均有着内在的因果关系。回应着勒皮普斯的信念，拉普拉斯在拿破仑面前宣布，物理世界中并不需要假设上帝的存在。

20世纪初，当普朗克遭遇黑体辐射的紫外灾难时，他在绝望中提出了与德谟克里特一脉相承的思想：能量不能被无穷分割。它有着一个最小的、不再能分离的单位：能量子。

爱因斯坦还是在研究玻色那个奇怪的统计时开始意识到量子世界背后暗藏着更多的不同寻常。

玻色提出微观的粒子不可分辨，无论如何交换都不会改变整体的状态。爱因斯坦推广了这一想法，指出粒子在极低温时会发生玻色-爱因斯坦凝聚：几乎所有粒子会聚集在一起，处于同一个量子态，让整个系统的熵趋于零。

在这个完全有序的状态中，不再会有单独的粒子，只剩下一个天衣无缝的整体。德谟克里特为了避免芝诺悖论而发明的原子概念突然消失了。处在玻色-爱因斯坦凝聚态中的原子互相之间不再具备可分离性。

那时还没有薛定谔方程，还没有波函数的概念。也许与布朗运动类似，那只是一个宏观的统计现象，背后还另有着隐藏的规律。

但薛定谔波函数的出现并没能解决这个问题。恰恰相反，海森堡在计算氦原子光谱时发现氦原子的两个电子共享着同一个波函数。那不是一个简单的两个电子在三维空间的分布函数，而是一个抽象的、处于六维希尔伯特空间中的函数。

电子是费米子，不遵从玻色统计，也就不会凝聚到同一个量子态中。因为泡利的不相容原理，两个电子会自动地处于不同的量子态。然而，那希尔伯特空间的波函数却也将氦原子的两个电子紧密关联。它们不再有自己独立的几率分布，它们的状态、行为互为依存，息息相关。

这并不局限于氦原子。爱因斯坦在构造他的隐变量理论完毕后才发现他这个新理论中的波函数不具备可分离性。如果一个系统中包含有两个子系统，它们的波函数会永远地交织在一起，无论它们在现实中是否已经相隔天壤，鸡犬不闻。它们只能和谐相处，步调一致，无法独立地互为影响。这不再只是宏观的统计现象。微观、个体的量子过程可以不遵从可分离性，也在颠覆着因果关系的基础。

显然这很是荒唐。爱因斯坦无法化解，只好撤回了论文。在索尔维会议上，无论是德布罗意讲演隐变量，还是玻恩、海森堡鼓吹量子力学已经大功告成，爱因斯坦皆冷眼旁观缄口不言。他的内心里依然充满了疑虑，不确定再过几年会是谁能笑到最后。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿四）：女巫们的盛宴

当爱因斯坦在1911年收到新出现的索尔维会议邀请时，他还只是一个32岁的年轻人，刚刚加入被他称为“娼妓行会”的学术界。因为多年求职碰壁，他对占据学术高位的精英相当反感，曾满怀怨气地将他们贬为傻瓜、恶棍。索尔维会议的模式正是那些愚蠢的家伙在论资排辈过家家，更是让他哭笑不得。他既为自己能够栖身这个阶层欢欣鼓舞，同时也借用当时流行的说法，嘲讽那是个“女巫安息日（witches' sabbath）”举行的盛大宴会。

18年后，当洛伦兹在1927年筹备下一届会议时，48岁的爱因斯坦早已今非昔比，成为女巫中无可争议的最大巫婆。

索尔维的会议在1911和1913年办了两届后被第一次世界大战打断，直到战后的1921年才恢复。因为欧洲各国对战争发起者实行封锁，那届会议没有邀请德国、奥地利人参加，只为爱因斯坦开了个特例。爱因斯坦那年却因为去美国访问没有出席。1924年第四届会议时，他干脆拒绝了邀请，以抗议政治因素对学术交流的干扰。

索尔维已经在1922年去世。他生前对自己创办的这个新颖学术交流形式非常珍惜，每次都躬逢其盛。就在去世前一个月，他还以84岁高龄出席了新开张的第一届索尔维化学会议。去世后，他的后代薪火相传，继续资助着三年一度的盛会。

第五届索尔维物理会议在1927年举办，德高望重的洛伦兹依然担任会议主席。早在一年前，他专程拜访作为东道主的比利时国王，恳请能够解除对德国科学家的限制。柏林、哥廷根、慕尼黑、汉堡等地俨然是物理学中心，继续排除他们只会降低会议的份量。比利时在一战时曾是中立国，却遭到德国的野蛮入侵。在那场战争结束近十年、国际形势日渐宽松的环境下，国王宽宏大量地恩准了洛伦兹的请求。随后，德国也得到战后成立的国际联盟正式接纳，恢复了正常国际关系。

清除外交障碍后，洛伦兹邀请爱因斯坦加入作为“魔法部长办公室”的会议组织委员会。爱因斯坦欣然接受。会议的主题本来还是讨论过多次的“辐射与光量子理论”。但在筹备期间，洛伦兹感受到那两年新量子理论正突飞猛进，电子衍射实验又颠覆了既有的观念。他于是将主题改为“电子与光子”，并向波粒二象性的始作俑者爱因斯坦索取论文。爱因斯坦却在最后关头不得不撤了稿。

1927年正是量子物理新理论、新思想、新实验风起云涌的一年。即使是最顶级的法师，也对这横空出世的新巫术摸不着头脑。

当众女巫在10月的布鲁塞尔相聚时，他们多达29人，比前几届有所扩充。更显著的变化在于他们的年龄结构。洛伦兹、普朗克、居里夫人、郎之万几个五朝元老以苍苍的白发象征着会议的历史传承。德拜、爱因斯坦、玻尔、埃伦菲斯特、玻恩、薛定谔等是中坚一代。在他们身后，德布罗意、海森堡、泡利、狄拉克正激流勇进，开创着属于他们自己的新纪元。

出席第五届索尔维会议物理学家合影。1.普朗克、2.居里夫人、3.洛伦兹、4.爱因斯坦、5.郎之万、6.威尔逊、7.德拜、8.布拉格、9.克莱默、10.狄拉克、11.康普顿、12.德布罗意、13.玻恩、14.玻尔、15.埃伦菲斯特、16.薛定谔、17.泡利、18.海森堡、19.福勒。

当年32岁的爱因斯坦是第一届索尔维会议中最年轻的受邀者。这一次的泡利、海森堡和狄拉克却都还未及而立之年。出于人数和代表性的考虑，洛伦兹没有邀请索末菲和约旦。

一如既往，居里夫人是这群女巫中唯一的女性。

按照传统，他们集中在市中心最豪华的一间旅馆中住宿、进餐。在不远的公园附近有着索尔维资助建立的一系列科学、文化博物馆和研究所。这次的会议室设在生理研究所大楼内。每天早晨，他们在旅馆内共进早餐后便成群结队步行前往研究所开会。

10月24日，会议在这个星期一的早上10点正式开幕。索尔维的儿子致欢迎辞后，洛伦兹没有多言就邀请英国的布拉格上台，开始第一个讲座。当年仅25岁时就与父亲一起获得诺贝尔奖的布拉格这时已经人到中年。他综述了通过X射线衍射探测晶体结构的实验，引起热烈讨论。随后，上午的日程结束，大家休会享用午餐。

午饭后，来自美国的康普顿介绍了康普顿效应实验的新进展，随后又是一番热烈讨论。然后，这第一天的会议便结束了。精神十足的女巫们回到旅馆，那里为他们准备好了丰盛的晚餐。

第二天上午他们一齐到当地布鲁塞尔自由大学参加招待活动，下午才接着开会。在检阅了最新的实验结果后，他们这才进入“电子与光子”的理论探讨。首当其冲的是法国的德布罗意。

已经35岁的德布罗意不再是当年躲在房间里听他哥哥转述会场热闹的少年。不过他获得博士学位也才三年。当然那是相当不平凡的三年。他最早提出的所有粒子都具有波动性假说已经由薛定谔发展成系统的理论，并在年初刚被电子衍射实验证实。两年后，他还会因此获得诺贝尔奖。

但在这个群星灿烂的盛宴上，德布罗意还只是一个不知名的小巫。他所在的巴黎远离量子力学中心。他自己也疏于交往，过着与学术界近乎隔绝的日子。这次，他出乎意料地带来一个新的理论，终于为他三年前的波补上了物理意义。他认为量子的物体同时具备粒子和波动性，各有其责。犹如冲浪运动中的健将，粒子隐藏在波中，随着波的起伏运动。在会上，他通过一系列严谨的数学推导展示了薛定谔方程所描述的波是如何在引导着粒子。这个所谓的“导航波（pilot wave）”是表象，其中的粒子其实同时具有明确的位置和速度，与经典物理同样地遵从着严格的因果关系。只是它们被导航波遮掩，是我们无法直接观察到的隐藏变量，因此不违反海森堡的不确定原理。

这个有点离经叛道的声音立即引起争议。秉承玻尔互补原理的泡利、克莱默等人相继发难，一再指出德布罗意论据中的漏洞。没有经过大场面的德布罗意招架不住，只得把目光投向席间的爱因斯坦。爱因斯坦不仅当初曾是他物质波概念的知音，也一直研究着自己的鬼场、隐变量概念，是德布罗意唯一可希冀的救星。但德布罗意这次非常失望。爱因斯坦事不关己地端坐着，未吱一声。

第三天上午是会议的重头戏。收到洛伦兹的邀请后，玻恩和海森堡决定他们师徒联手，进行一场不多见的合作讲座。两人你方唱罢我登场，系统地回顾了新量子理论从矩阵力学到狄拉克和约旦变换理论、从不确定原理到波函数几率诠释的整个历史进程。最后，他们骄傲地宣布量子力学业已完备，其物理和数学的基本假设能够经受时间的考验。剩下的只是需要重新纳入狭义相对论效应。而那也已经有了实质进展，最终的完成不过只是时间问题。

他们所阐述的无疑是以玻尔为首的哥本哈根学派日益成熟的“主流”思想。听众席中的爱因斯坦依然微笑不语，只有狄拉克和玻尔发言做了一些补充。这个讲座成为会议上唯一没有引起广泛讨论而近乎冷场的日程。

那天下午是洛伦兹事先邀请的最后一个讲座，由薛定谔担纲。在与海森堡争执了两年多之后，薛定谔在上午的报告中惊讶地发现他的波动方程已经被哥本哈根那帮人接纳吸收，取代矩阵力学成为他们新学说的一部分，只是波函数被强加了一个几率波的诠释。自从拒绝玻尔的“劝降”，薛定谔与爱因斯坦、德布罗意一样，成为哥本哈根之外的边缘人。这一次，他到柏林就职后匆匆赶来开会，还没有什么新成果。他依然顽固地坚持着他的物质波概念，试图在理论上做出进一步的完善。

他这个与主旋律不和谐的论调自然未能引起共鸣。在玻尔、海森堡等人的连环抨击下，他与德布罗意一样也很快铩羽而归。

除了牛顿和伏特，1927年也是法国工程师菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）逝世的一百周年。菲涅尔是英国人杨的朋友和战友。他们曾一起埋葬牛顿的微粒说，建立起经典的波动光学。那个星期四，法国科学院在巴黎举办隆重的纪念活动。索尔维会议为此休会，方便大家前往参加。

作为安息日的盛宴，索尔维会议的日程安排一向悠闲轻松。洛伦兹在这届会议上更是匠心独运，力求减少正式的讲座，把最多的时间留给与会者自由发挥。为了让这些精怪的大脑无拘无束，会场外的自由讨论不做记录，任他们信马由缰。于是，会议中的精彩花絮只能从一些片断的回忆中攫取。

在埃伦菲斯特、海森堡等人的记忆中，他们最大的收获并不是来自会议室，而是旅馆里装修得富丽堂皇的餐厅。在咖啡和法式羊角面包的激励下，大会上一言不发的爱因斯坦却是每天早餐的大明星。

海森堡的不确定原理那时还是刚面世的新生事物。尤其是他那个基于显微镜的假想试验，对思想活跃、不轻易服气的物理学家是一个智力游戏般的挑战。无论是否已经在逻辑上接受这个结论，他们也都会情不自禁地去寻找那假想试验中的漏洞，或者挖空心思地构造另外的假想试验试图同时测量位置和速度，一举击溃这个原理的蛮横。爱因斯坦也乐在其中。

在早晨的餐桌上，爱因斯坦会饶有兴趣地提出一个新的设计，似乎能够挫败不确定原理的限制。玻尔坐在对面，聚精会神地倾听着。他们的谈话会延续到去开会的路上，两人亲密地边走边聊。他们的身后伴随着兴致勃勃地旁听着的海森堡、泡利和埃伦菲斯特。

这是玻尔的第一次索尔维会议。在以原子模型一举成名后，他在1921年就荣获邀请，却因为大病一场未能赴会。1924年，他声援爱因斯坦，也为促进学术交流的自由抵制了那年的会议。当他终于在这个会场现身时，他的声望早已今非昔比。尤其是在会议主题的“光子与电子”领域，他的地位与爱因斯坦相比其实还有过之而无不及。

与爱因斯坦不同，玻尔不是单枪匹马的新巫婆。他率领着一个实力越来越强大、以哥本哈根为号召的女巫团伙。在与导师旷日持久的激烈争论之后，海森堡业已浪子回头，皈依了他其实依然不那么理解的玻尔思想。作为不确定原理的始作佣者，海森堡对爱因斯坦的挑战尤为关注。无论是午餐还是会议休息的间隙，他都会与泡利凑在一起，反复推敲、试探爱因斯坦的逻辑。等到大家又回到旅馆共进晚餐时，玻尔已经胸有成竹，以他不紧不慢的语调向爱因斯坦转述手下小巫的发现，维护魔法的正统。

爱因斯坦锲而不舍，第二天一早又会在餐桌上拿出一个新的假想试验。于是海森堡、泡利、玻尔等开始他们新的一天。如是反复。这泾渭分明的两个阵营你攻我守，竟比会上的讨论更引人注目。

几天下来，玻尔的团伙成功地阻击了爱因斯坦多方位的挑衅，在这场游击战中占了上风。

与他在餐桌上的表现形成鲜明对照，爱因斯坦在连续三天的会议中保持着笑而不语的超然姿态。他其实也没闲着，只是经常像小学生那样与朋友在下面传递条子聊天。当玻恩和海森堡宣布量子力学已经完成时，埃伦菲斯特看着爱因斯坦的表情，递条子说：“别乐！炼狱里已经为量子教授保留了特别位置，他们会被罚在那里每天听10小时的经典物理讲座。”爱因斯坦心情愉快地写条子回应：“我只是在笑他们的天真。鬼知道几年后谁能笑到最后？”

参加菲涅尔纪念活动回来后，会议在星期五下午恢复举行。日程上已经不再有事先安排的讲座，剩下的一天半完全是自由讨论时间。洛伦兹简要地回顾了前几天已经涉及的量子世界因果关系、不确定性、随机性等问题，邀请玻尔做个总结。玻尔当仁不让，借机会陈述了量子力学的真谛：互补原理。

他解释说，其实并没有一个客观的量子世界，存在的只是我们实验观测结果的集合。光子或电子只是在我们观察时或者像波或者像粒子，或者有位置或者有速度。这些看起来自相矛盾。它们其实正是互相补充，一起构成抽象的量子力学描述。我们没在观察的时候，光子、电子既不是粒子也不是波，更不具备位置、速度等性质——它们并不存在。

在经典的统计理论中，我们只是因为无法同时掌握微观世界所有原子、分子的位置和速度，只能通过它们的统计分布来理解宏观性质。那是人类认识层面（epistemic）的局限。量子的世界并非如此。诸如波粒二象性、不确定原理等等不是认识的局限，而是本体（ontological）性质。通过不同的观测手段获取那些貌似矛盾的信息，将它们互补式地综合，才能够、也的确可以完整地描述这个世界。

玻尔的这番哲学论断顿时引起激烈反应。屋子里德语、法语、英语此起彼伏，连熟稔这三种语言、几天来纵横其间得心应手的洛伦兹也应接不暇。在一片混乱中，埃伦菲斯特独自走到台前，在黑板上写下一句圣经中的谶语：“上帝在那里打乱了人类的语言（……让他们不能明白彼此的意思【，也就无法建造巴比伦塔（Tower of Babel）】）。”

在会心的哄笑中，洛伦兹瞥见爱因斯坦举起了手，立即像看到了救星。全场也随之寂静无声，全部的目光都汇聚在缓缓走上讲台的爱因斯坦身上。

还是在会议上第一次开口的爱因斯坦谦逊地表示他上来发言实属非常的冒昧，因为他还没能对量子力学的本质有过深刻的思考。但他对玻尔等人认为量子力学已经是一个完整的理论颇有怀疑，有点想法要提醒大家注意。

接着，他在黑板上描画了一个简单的示意图。

爱因斯坦在索尔维会议上描画的假想实验示意图。电子或光子束从下方通过一个非常小的缝隙，最终落在半圆形的成像屏的某处。

无论是电子还是光子，它们经过一个非常小的孔洞时都会因为其波动性发生衍射，在洞的另一边形成球面波继续前进。设想远处有一个半球形的屏幕。它们到达屏幕时会体现出粒子性，只能“击中”屏幕上某一个点。假想这个实验中只有一颗光子或电子。按照波函数的几率解释，在它击中屏幕之前，那整个屏幕上每个点被击中的几率都是一样的。然而，就在它击中屏幕的那一刹那，整个系统的物理性质却会发生剧烈的变异：粒子在被击中的那个点以百分之百的几率出现，而其它所有点出现粒子的几率全变成了零。

如果用数学的语言描述，在粒子抵达屏幕之前，它的波函数是一个均匀分布的球形。而在击中屏幕那一瞬间，这个波函数却变成了狄拉克的δ函数：只在一个点上有数值，其它地方处处为零。

爱因斯坦指出，薛定谔的波动方程只描述了波函数随时间的平稳演变，其中并不存在这样一个莫名其妙的骤然变异。这个波函数从大范围的均匀分布到只存在于一个点的“坍缩（collapse）”过程既没有相应的物理机制也不具备严格的数学推演。因此，现有的量子力学不可能已经完备。

即使假设量子力学中的确存在这样一种未知的机制，能够协调空间各个点波函数数值的突然变化，爱因斯坦认为那样的结果必然违背狭义相对论。因为这个协调过程不需要时间，各个点之间任何信息交流都会是在瞬时完成，不受光速的限制。

这其实就是爱因斯坦八年前就已经提出过的“泡泡悖论”。这些年来，他以鬼场、隐变量等方式反复尝试，一直无法摆脱这个怪圈而自圆其说，却只眼睁睁地看着玻恩那大同小异的几率波概念得到广泛接受。这时，他不得不站出来大呼一声：且慢。

显然，爱因斯坦这番言语与那些天的主旋律大相径庭。海森堡、泡利等年轻一代还是第一次听到这么一个悖论，不禁瞠目。尤其是量子力学如果与已经被完全接受的狭义相对论相违，更会是一场灾难。他们立即辩解波函数只是一个抽象概念，不是可测量的物理量。其坍缩也许并不涉及真实信息的传播，不会违反相对论。

在又一轮的混乱中，玻尔再度站起来回应。他同样谦逊地致歉，表示并没听明白爱因斯坦想表达的是什么意思，只是也来分享一下自己的看法。

无论有意与否，玻尔大概并非过于自谦。他似乎的确没有明白爱因斯坦的主张，只是把这个悖论也当作那几天他已经习惯了的餐桌挑战，论证起这个假想试验不会违反不确定原理。出乎意料，爱因斯坦也没有坚持初衷，倒兴趣盎然地与玻尔你来我往，仔细研究起假想试验的各个技术细节。他们逐步将黑板上的试验“仪器”推广得越来越精巧复杂，直争得风生水起，莫衷一是。

身为爱因斯坦挚友的埃伦菲斯特看得忍无可忍，当众指责爱因斯坦固执地给量子力学挑刺的行为与十几年前萊纳德、斯塔克那些人攻击他的相对论如出一辙，只是一意孤行的胡搅蛮缠。泡利听闻此言喜出望外，感叹总算有人说出了他们小年轻想说而不敢说的大实话。

成功地主持了1927年的索尔维会议后，洛伦兹在三个月后去世。虽然他晚年对包括爱因斯坦在内的量子新生代给予了极大的同情和支持，他自己没能在这个新的前沿做出实质性的贡献。他的去世标志着最后一代经典物理大师的退场。

岁月沧桑，正在事业、个人生活中春风得意的爱因斯坦在他曾鄙夷的学术界地位也正在发生着微妙的变化。

索尔维会议期间，在忙着与玻尔辩论量子问题时，他还在旅馆里邂逅一位协助接待工作的当地志愿者。那是一位牧师，名叫勒梅特（Georges Lemaitre）。在爱因斯坦独傲群雄的广义相对论领域，勒梅特也对爱因斯坦在宇宙模型中人为地引入宇宙常数提出质疑，认为宇宙其实应该在膨胀中。已经读过勒梅特论文的爱因斯坦颇为不屑，当面指斥勒梅特“你的数学没问题，但你的物理直觉糟糕透顶。”（勒梅特关于宇宙膨胀、“大爆炸”起源的预测后来被证实，详见《宇宙膨胀背后的故事（之九）：一个天主教牧师的全新宇宙观》。）

勒梅特也是只比泡利、海森堡大几岁的年轻人。爱因斯坦也许还没能意识到，在他们那下一代人眼里，他已经或正在蜕变成自己年轻时看不起的“恶棍、傻瓜”型学术权威，一个不通情理的老巫婆。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿三）：爱因斯坦的泡泡

希特勒的啤酒馆政变失败时，德国正在进入第一次世界大战后的黄金时代。来自美国的贷款遏止了失控的通货膨胀，国际封锁逐步被解除。终于松上一口气的德国社会开始相对平静、稳定的经济发展，反犹太的浪潮随之消退。

爱因斯坦也进入了他自己的黄金年代。

在百废待兴的战后，爱因斯坦因为广义相对论的辉煌和诺贝尔奖成为国家英雄、国际明星乃至全世界最引人注目的科学家。为了他即将到来的50大寿，柏林市决定赠送他一间郊区的度假别墅。这一友好举措却在市议会和官僚的扯皮中成为烫手山芋。烦不胜烦的爱因斯坦不得不发表声明拒绝了这份厚礼，自己掏钱买地修建了一幢中意的度假屋。

1920年代后期，爱因斯坦（左四）参加一战后的国际联盟（League of Nations）知识界国际合作委员会会议。左一是洛伦兹。

风流倜傥、事业有成的爱因斯坦当然也不浪费他成熟中年人的魅力。与艾尔莎再婚没多久，他就为一个好朋友的侄女、23岁的贝蒂（Betty Neumann）神魂颠倒，利用职权雇她担任依然不存在的理论物理研究所的秘书，方便共度爱河。在情书里，爱因斯坦兴致勃勃地憧憬将来远赴美国的纽约工作，带上贝蒂与艾尔莎一起过妻妾同堂的日子。收到贝蒂理智的回信后，爱因斯坦不禁自嘲地夸赞她居然比自己这个老数学家更能体会三角几何的难度。

他与贝蒂的浪漫只延续了一年有余。在柏林的花花世界，爱因斯坦不乏猎艳机会。他的情人中既有青春无邪的姑娘，也有上层社会的贵妇、社交名嫒甚至影剧明星。在相对开放的社会环境中，他无需躲藏，经常与不同的情人公开出入剧院、场馆。甚至有时他出国学术访问时，陪伴的也不是艾尔莎而是某个情妇。

除了在太过分的情形下发过几次火之外，艾尔莎对丈夫的风流采取了容忍和许可的态度。她崇拜爱因斯坦以及他的成就和知名度，也热爱这些为她自己带来的出头露面机会。所以她照单全收，在得以贴身陪伴世界名人的同时也接受了种种让她难堪的境遇。

那个年代的爱因斯坦的确可以志得意满。他独立创建的广义相对论不仅获得爱丁顿的观测验证，还已经被他应用于整个宇宙，通过引入一个“宇宙常数”项建立起人类有史以来第一个定量的宇宙模型【参阅《宇宙膨胀背后的故事（之一）：爱因斯坦无中生有的宇宙常数》】。他的眼光还更远大，正倾全副心力于统一场论。他时不时宣布取得重大进展，在新闻媒体上造成轰动，却也不得不一次次地承认放的是哑炮。

在这些轰轰烈烈中，他心里最放不下的还是量子。光子——他曾经孤军奋战十多年而不被理解的概念——终于成为实验证实的存在。量子力学也蓬勃地发展成一门崭新的学科。但在海森堡、薛定谔以及玻尔等人的手里，这个所谓的新量子理论却演变为一个离家多年的孩子，让爱因斯坦觉得既亲切又陌生，更不可捉摸。

归根结蒂，物理学是一门研究自然界因果规律的科学。

牛顿首先定量地阐述了这个朴素的定律：物体会永远地保持静止或匀速运动。如果这个状态发生变化，必定是外在原因作用的结果。它表现出的加速度会与那外力的大小成正比，与自身的质量成反比。

外力导致物体运动状态的改变。这是物理学中最基础、最直接的因果关系。

牛顿的经典动力学让“万古如长夜”的世界突然变得明朗可知，还可以预测。经过一个世纪的实践，法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）总结道，我们今天的宇宙完全是它过去状态的结果，也会是未来宇宙状态的原因。他豪迈且自信地宣告，只要能完整地掌握宇宙万物在今天这个时刻的位置、速度，以及它们之间相互作用，就能毫无差错地回溯历史，更能毫无疑问地预测将来。

传说法国皇帝拿破仑（Napoleon Bonaparte）听了这番宏论后好奇地问，既然世界如此有律可循，那上帝会是怎样的存在，起什么作用？拉普拉斯干脆利落地回答：“我从来都不需要假设上帝的存在。”

拉普拉斯的“科学决定论”是他之后物理学家乃至所有科学家的信念。自然界遵从着确定的物理定则。任何运动、变故的发生和走向都有着可被认识的原因，引发可被预测的后果。既不需要上帝随心所欲的指手划脚，也不存在捉摸不定的随机因素。

直到20世纪的前夜。

居里夫妇认为新发现的放射性现象是“一个神秘的谜，一个深奥的惊愕”，因为放射性元素的衰变似乎是完全自发，没有外在的原因。当然，那也许只是一个物理学家尚未解开的谜，其原因暂时还没有被发现。

20年后，海森堡提出了更深刻的质疑。在那篇发表不确定原理的论文中，他指出科学决定论在量子世界中已经无法适用。由于位置、速度等最基本的物理量不可能同时被精确地掌握，也就谈不上决定性地预测未来。

海森堡基于他的粒子观念理解不确定原理，因此秉承着牛顿动力学的传统，把位置、速度（动量）看作描述物体运动不可或缺的物理量。玻尔劝他也应该改换视角，从波动的角度再作分析。海森堡嗤之以鼻。虽然他至少在计算过程中已经很不情愿地放弃他那繁复的矩阵而采用了简捷的波动方程，他依然固执地拒绝作为物理图像的波。

玻尔的提醒却极富深意。薛定谔的波动方程与牛顿方程一样，是描述系统随时间演变的微分方程，具备着同样确定的因果关系。它所不同的仅仅是描述系统状态的不再是位置和速度，而是波函数。只要能确定某一时刻的波函数，就可以像拉普拉斯设想的那样，根据薛定谔方程上溯历史展望未来，精确地预测将来任何时刻的波函数。

然而，这是否就意味着量子的系统也会像经典物理一样地遵从因果定律呢？

玻恩是在研究两个粒子碰撞的过程中提出波函数的几率诠释的。他说，如果两个粒子迎头相撞，它们各自会飞向任何方向。薛定谔的波动方程能够推算出碰撞之后的波函数，却只能给出粒子飞向某个方向的几率，无法直接预测粒子一定会飞向哪个方向。

于是，如果想知道在某个方向上能不能观测到被撞飞的粒子，只靠薛定谔方程中的因果律是不够的。那还必须扔个硬币、骰子碰碰运气——需要劳驾那个拉普拉斯不需要的上帝。爱因斯坦无法接受这样的反动。他当即写信向玻恩表示异议：上帝不会掷骰子。

爱因斯坦对随机运动并不陌生，他早已浸淫其中20多年。

早在大学时，爱因斯坦就对麦克斯韦、玻尔兹曼的统计理论非常着迷，还因为课堂教学没有这方面的内容与韦伯等教授闹翻，影响了毕业后的前程。在1905那个奇迹年，他在光电效应后发表的第二篇论文便是用统计理论解释了布朗运动。

统计是一个与牛顿动力学完全不同的研究手法。在19世纪后期，越来越多的证据表明化学家心目中的原子、分子是真实的存在，日常的固体、液体、气体物质其实是由肉眼看不见、数以10²³计的原子分子微粒构成。显然，谁也不可能同时跟踪这其中每个微粒的位置和速度，然后根据它们之间相互作用来进行动力学运算。

麦克斯韦认识到也完全没有那个必要。在这大样本中，具体每个微粒的运动、因果关系对整个系统的宏观物理性质无关紧要。它们可以被当作各自进行无规律的随机运动，在相互碰撞中达到热平衡。他运用统计手段可以计算出系统温度、压力、密度等宏观可测物理量之间的关系。同样地，爱因斯坦后来推导出花粉表现出的布朗运动规律，被实验严格证实。

随后，爱因斯坦又故伎重演，通过统计手段计算了光的压强，发现其中同时包含着作为波动的电磁波和作为粒子的光子成分，第一个揭示了波粒二象性。

当初出茅庐的爱因斯坦在1909年的萨尔兹堡会议上发表这一成果时，在场的行家里手都一脸懵懂。那时候，普朗克的能量子还只是光被吸收、发射时的最小能量单位，不具实质物理意义。尤其是光在没有与物质相互作用时绝对不会呈现任何量子性，是完全遵从麦克斯韦方程传播的电磁波。因此，爱因斯坦那空腔中的光不应该蕴含任何粒子性质。

爱因斯坦早有准备。他在讲解中祭出自己久经考验的法宝：假想试验。他请大家想象能把阴极射线管的热度调得无限地低，以至于只有单独的一粒电子能从作为阴极的灯丝中逸出。这粒电子会直直地向阳极跑去，击中那里荧光屏上的某个点。这是一个极其平常的粒子运动，没有人会为它费脑筋。

他又请大家想象把一个光源的能量也调得无比地低，让它也只发出单一的普朗克能量子。如果光的确是普朗克相信的电磁波，那么所发的光是一个球面波，如同一个膨胀中的肥皂泡泡同时向四面八方均匀地“散开”。然而，当它在某处被吸收时，这个泡泡所有的全部能量却又要突然集中在那一个点上——因为它只能作为整个的能量子被吸收。

爱因斯坦“泡泡悖论”示意图。最上边（a）描绘的是一颗电子打中靶子；（b）是一个原子发光，形成球面波；（c）原子发出的光在某处被吸收，释放出电子。这时“球面波”中所有的能量会突然集中在那个靶子所在的一个点上。

光的能量在传播时像泡泡似地分散，在被吸收时却又魔术般地集中在一个点。这显然说不通。爱因斯坦总结，如果光在发射、传播、吸收的整个过程中都是一颗与电子一样的粒子，就合情合理了。

在1909年，爱因斯坦这个直观的“泡泡悖论”没有被萨尔兹堡的物理学家接受，甚至没能引起注意。但那之后，他却始终无法忘怀这个简单的假想试验，多少年来反复思索，竟逐渐从中发现量子理论的软肋。

1917年，爱因斯坦在玻尔原子模型基础上提出量子辐射理论，定义了自发辐射、受激辐射和受激吸收这三个原子与光相互作用的机制，成功地推导出黑体辐射的普朗克定律。通过这个模型，他发现原子每次只能往一个方向发射一颗光子，不可能产生球形的波或“泡泡”，否则原子与电磁场无法达到热平衡。现实中的球面波只是非常多的原子随机向各个方向发射光子的统计效果。这个结果让他确信光子的存在，虽然他的先见依然没有得到物理学界认可。

原子在某一个点发出光子，光子与电子一样直线运动，到达另一个点被另一个原子吸收。这个过程正符合他用泡泡悖论演示的情景。但它却也带来了新的问题。他的光子只是粒子，没有波动，既不符合波粒二象性也与一百多年的干涉、衍射实验观察相违。于是，爱因斯坦不得不设想也许另外还存在一个服从麦克斯韦方程的“鬼场”，以波动的形式传播。

可是当他试图构造这个鬼场的具体模式时，他总会不可避免地重新落入泡泡悖论的陷阱：点光源的鬼场必然会以球形波的方式弥散，而粒子却又只能在一个地点现身。几番尝试之后，他不得不放弃了这个念头。

他没有想到，这个逻辑上无法成立的鬼场居然会在玻恩那里死而复生，摇身一变成为波函数的几率诠释。

作为一个函数，薛定谔的波函数在空间每一个坐标点都有着一定的数值，可大可小。玻恩解释说这个大小决定了粒子在该点出现的几率。当波函数的形状随时间依照波动方程变化时，粒子在各点出现的几率也随之变化。那便是对应于经典力学的量子动力学行为。

波函数不仅是粒子所处位置的几率度量。它同时也包含粒子的速度以及其它经典物理量信息。速度或动量便来自波函数随空间变化的频率。如果波函数中只具备单一的频率，那么粒子的速度就可以完全确定。这样的波函数是标准的周期函数，说明该粒子在空间任何地点都可能出现。这样粒子的位置便无法确定。反之，如果粒子只存在于空间的一个点，那么其波函数看起来会相当突兀。它只在那个点上有数值，其余地方都是零。狄拉克为这个数学上并不成立的函数赋予了正式的名字，叫做“δ函数”。δ函数经过傅立叶分解后会有无限多的频率成分，也就是粒子的速度完全不可确定。

在这两个极端之间，波函数和它的傅立叶分解式都会呈现一定的波包形态。这时，粒子在一定范围的位置上都有出现的可能，也会有着一定数值范围的速度。那就是说它的位置和速度同时存在着不确定性。这正是海森堡不确定原理在波函数、波动力学中的表现。

因此，即使通过薛定谔方程可以完全确定地计算波函数随时间的演变，也并不意味着可以确定波函数所描述的粒子在任何时刻的位置、速度。波函数中所蕴含的因果关系只会在几率、统计的意义中体现。

当爱因斯坦采用统计方法计算布朗运动、光压强时，他和其他所有物理学家一样并不认为这个方法所依赖的随机运动会违背拉普拉斯的决定性。那只是在面对大样本数据时采用的一个数学捷径，专门对付无法全面掌握的微观细节。如果技术高度发达，人类有能力同时测量系统中全部原子、分子的位置和速度，应该就可以舍弃统计平均，回归牛顿那遵循严格因果律的动力学，不带任何随机因素地准确预测未来。

但玻恩诠释中波函数代表的几率却不是来自大样本数据中的平均值，而是单一粒子在薛定谔方程描述下的行为。那不是因为技术限制采取的权宜之计，而是量子世界的本质表现。

爱因斯坦对此却也似曾相识。他十几年前的辐射理论便充满了类似的随机。原子的自发辐射与放射性元素衰变同样，是一个没有原因的行为。原子似乎可以自主地选择在某个时刻突然向某个随机的方向发射出光子，或α、β粒子。于是他不得不在论文结尾特意指出“这个理论最薄弱的所在，是它把辐射的时机和方向都归结于‘机会’。”

当年轻的玻尔在1920年带着丹麦特产奶酪到柏林的公寓拜访爱因斯坦时，两人那第一次见面的交谈就纠缠于这样的随机、自发现象。玻尔虽然对爱因斯坦的辐射理论很是钦佩，却还远远没有接受光子的存在，更没能对爱因斯坦的忧虑产生共鸣。

玻尔的原子模型同样地充满了随机性。电子在轨道之间的跃迁也是一个没有外在原因的自发行为：电子自己在决定着什么时候离开所在的轨道，选择另一个轨道跳跃过去。玻尔不觉得这会是大问题。他的原子只是一个“唯象”的模型，可以用来解释实验观测，但并不是真正的物理规律。

海森堡的矩阵和薛定谔的波动正是玻尔模型所需要的更深层理论架构。然而，这两个等价的理论也没能消除玻尔模型中的随机性，反倒还在数学上严格地奠定了海森堡的不确定原理。随机性在这样的量子理论中无可避免。

爱因斯坦认为这恰恰暴露了那些理论的致命缺陷。当新量子理论问世时，他曾直觉地认为海森堡的矩阵力学不可信，但对薛定谔的波动方程充满了期望。意外地得知二者等价后，爱因斯坦不得不重新审视波动力学，尤其是玻恩的几率波诠释。他坚信一个完整的理论必须具备严格的因果关系，不能容忍其中含有随机因素。

1927年不仅是伏特逝世100周年，也是牛顿去世的200周年。那年3月，爱因斯坦在《自然》杂志上发表纪念文章明确指出：“牛顿的微分方法只是在量子理论中才显得力不从心。的确，连严格的因果关系也不灵了。但这还不是最后的结论。希望牛顿方法的精神能帮助我们重新将物理的实在与牛顿学说中最深刻的特征——严格的因果律——合二为一。”

那年，当玻尔埋头撰写他的互补原理时，爱因斯坦也有了新的突破。5月5日，他在柏林普鲁士科学院会议上宣读了题为《薛定谔波动力学能完全地还是只能在统计意义上确定系统的运动？》的论文，指出薛定谔波函数中的随机性只是一个表面现象：所谓的新量子理论本身也只不过是一个比玻尔模型稍深一层的唯象模型。在它们背后还有着更深一层的物理规律在决定着量子世界的运作。这个具备严格因果关系的“隐变量（hidden variable）”只是因为未曾暴露才使得量子力学表现出没有缘由的随机特色。

他的新理论完美地解决了这一难题。

然而好景不长，爱因斯坦在5月21日就紧急撤回了这篇论文，之后再没有正式发表。当洛伦兹来催促他为即将召开的重要会议提交论文时，爱因斯坦只能道歉连连，声称自己早已远离量子领域，实在无以奉献。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿二）：玻尔的互补

1923年，爱因斯坦为了躲避当时德国日益严重的反犹太情绪乘邮轮到亚洲远航，错过了诺贝尔奖典礼。归来后，他到瑞典补做了领奖演说，并顺路去哥本哈根访问玻尔。那时，玻尔正忙着与克莱默、斯莱特折腾那篇BKS论文，最后一次试图维护光子的不存在。海森堡在慕尼黑侥幸通过博士答辩，前往哥廷根开启科研生涯。泡利则完成在哥本哈根的工作，转去汉堡大学任职。薛定谔才到苏黎士大学担任教授不久，而狄拉克还是刚刚来到剑桥的研究生。

在那个新量子力学诞生的前夜。他们都顾不上留意那年11月初在慕尼黑一间啤酒馆中开始的一个不大不小的事件。成立不久的“国家社会主义德国工人党”组织了一次约两千人的示威游行，在市中心与警察发生暴力冲突，造成多人死亡。

第一次世界大战之后的德国——尤其是慕尼黑所在的巴伐利亚地区——经历了连年“城头变幻大王旗”的动乱期，武装政变几乎是家常便饭。两天后，煽动“啤酒馆政变”的一个34岁年轻人被捕，以叛国罪判了五年刑。

仅仅一年后，他便获得释放。届时，爱因斯坦在推广玻色的统计和德布罗意的波，引起了薛定谔的注意。泡利正在发现不相容原理。古德斯密特和乌伦贝克揭示了电子有自旋。

在近一个世纪后的今天，发动啤酒馆示威的政党那冠冕堂皇的大名已经没几个人能认识。取而代之的是它耳熟能详的简称：纳粹。

那个当时默默无名的年轻领袖便是希特勒（Adolf Hitler）。

希特勒未遂的转变是试图效仿意大利墨索里尼（Benito Mussolini）的成功。一年前，墨索里尼的“国家法西斯党”组织了三万黑衫军进军罗马示威，以实力迫使国王任命他为总理，成功地掌握了国家领导权。

五年后的1927年是意大利物理学家、发明电池的伏特（Alessandro Volta；作为纪念，电压的单位以他命名）逝世100周年。墨索里尼借此机会不惜重金举行盛大纪念活动，提升国家自豪感。其中之一是在伏特出生、生活的家乡科莫湖举办国际会议，邀请世界各地著名物理学家共囊盛举。

来自14个国家的61名物理学家参加了这一盛会，包括普朗克、卢瑟福、洛伦兹、玻尔、劳厄、康普顿等12个诺贝尔奖获得者。另外还有爱丁顿、索末菲、玻恩等名家，以及少壮一代的德布罗意、海森堡、泡利等。还有可以算作东道主的费米。

泡利、海森堡和费米（从左到右）在科莫湖。

在琳琅满目的与会者名单中，唯独不见爱因斯坦。

26年前爱因斯坦正是在科莫湖与他当时的女友玛丽奇共享浪漫、导致她未婚先孕。他对这个旅游胜地情有独钟，后来还曾携全家陪同居里夫人一家在那里登山远足。但时过境迁，爱因斯坦倒不是因为往事不堪回首，而是不满墨索里尼实施的法西斯政策。他不愿意同流合污，独自抵制了这场轰轰烈烈的庆祝活动。

波乎？粒子乎？这是玻尔一个人躲在挪威的雪山中也无法逃避的问题。

自从新量子力学的诞生，玻尔就一直看着坚持粒子立场的海森堡和坚持波动的薛定谔针锋相对，几近势不两立。他自己的态度颇为中庸，却也落得两头不讨好。在试图说服薛定谔放弃物质波失败后，他与海森堡的亲密关系又在日复一日的争执中出现裂痕。

玻尔认定海森堡和薛定谔的争执只是他们在坚持各自的偏见。两人的理论已经被证明在数学上等价，分歧只在量子世界中物质本性的观念上：波还是粒子。

这也是一个无法调和的矛盾。粒子是局域性的存在，在任何时刻只能处于某一个地点。波则反之，像池塘中的水波可以在同一时刻覆盖整个水面，不局限于地域。无论是光子还是电子，它们或者会是弥漫无形的波或者会是一颗晶莹的粒子，二者只能取其一。可是实验证据却表明它们不可思议地同时既是粒子又是波。于是海森堡和薛定谔各执一词，谁也没法说服对方。

逃离研究所的杂事和海森堡的固执后，玻尔在宁静的雪坡上思路豁然开朗。他意识到其实并没有哪个实验发现光子、电子同时是粒子和波。只是有的实验看到它们像粒子，有的则看到它们像波。

如果像一百多年前的杨那样用光束去观察衍射、干涉，就会看到光的波动性。戴维森用电子束做了类似的实验，也同样地观察到了电子的波动性。在这一类实验中，却看不到光或电子的粒子性。

而如果将光束照射金属，测量它“打下”的电子时，这样的光电效应、康普顿散射实验所看到的光和电子却又都只是纯粹的粒子，没有一点波动迹象。

因此并没有证据表明它们既是粒子又是波。它们的波粒二象性只是在不同观察手段中的表现。

盲人摸象是一个几乎尽人皆知的古印度寓言。故事里几个盲人通过触摸了解大象的模样。摸到脑袋的说大象长得像石头，摸到象腿的认为像柱子，摸到尾巴却觉得像绳子……他们对自己的“观测”都非常自信，并认定其他人或者没摸对或者就是在蓄意撒谎。这样，他们争执不休，谁也不服谁。

玻尔领悟到人类眼中的量子世界与这个寓言如出一辙。当我们进行散射实验时，看到的是“大象脑袋”，于是觉得它像个粒子；而在做衍射实验时，看到的却是“大象尾巴”，便觉得它像波。正如大象不可能同时既像石头又像绳子，光子、电子也不可能同时既是粒子又是波。我们因此觉得不可思议，却没有意识到这些实验都只是看到了大象的一个局部。

在寓言的另外版本中，摸象的不是盲人。他们视力正常，只是在黑暗中摸索，结果与盲人无异。但后来当灯点亮时，他们都得以看到大象的真面目，于是认识到自身经历的局限。

客观的量子世界却没有为人类准备这样一个皆大欢喜的结局。玻尔认为我们无法点亮一盏灯，全方位地看清大象的真实形状。我们能做到的只能与那些盲人一样，有时摸到大象的脑袋，有时摸到大象的尾巴，却没有办法同时摸到脑袋、尾巴以及整个身躯。

在这样的情况下，人类所能做的不是被动地落入寓言的陷阱不可自拔，如海森堡、薛定谔那样不依不饶地要争出个你是我非。而是要认识到实验观测的局限性，互相合作，综合不同的意见。电子、光子以及其它一切量子世界的物质既不是粒子也不是波，它们只是在一定的观测条件下表现如同粒子，在另外的观测中又会表现得像波。这两个互为矛盾的概念其实相辅相成，不可或缺。

玻尔把这个对立统一的思想叫做“互补（complementarity）原理”。

兴致勃勃的玻尔回到他的研究所时，立刻得知留在那里的海森堡也有了突破性的新发现。

海森堡从粒子观念出发，得出其位置和动量不可能同时准确地确定的离奇结论。玻尔倒没有觉得这很奇葩。因为如果从波动的角度来看，粒子作为一个有一定局域性的波包，不可能同时具备确定的频率（动量）和位置。那是一个经典波动理论中已经熟知的现象。他建议海森堡同时兼顾波动说的视角，即刻引起弟子的反感。

但更令海森堡不满的是玻尔的进一步分析。海森堡的发现来源于量子力学中的乘法不对易性，这样的不对易并不只局限于位置和动量，还有时间和能量。它们所揭示的是一组组新的矛盾，无法同时准确地把握。但在玻尔看来，它们也正是需要同时兼顾，才能“互补”地描述、理解粒子的运动。

与粒子和波那一对矛盾不同，位置与动量的矛盾并不是完全的非此即彼、水火不容。前者有如明眼人在黑暗中摸象，摸到脑袋的绝对摸不到尾巴；后者却有着一定的交集，可以点起昏暗的油灯同时看到脑袋和尾巴的模糊外貌。但也仅此而已。如果他们凑近去看清楚脑袋，就无法看到尾巴。反之亦然。那大象的脑袋和尾巴——位置和动量——永远不会同时真切地呈现。海森堡以数学推导而出的那个由普朗克常数决定的极限相当于油灯所能提供的亮度上限。在那不够明亮的照明下，同时看到脑袋和尾巴的清晰度被限制。

那也就是位置与动量、时间与能量这一类既对立又互补的矛盾双方最可能和谐并存的极限所在。

这便是玻尔向海森堡提议的“更深入、敏锐的分析”。他要求海森堡撤回他已送出的论文，一起将这些尚待成熟的思想深化、扩展为更一般的互补原理。

处于重大发现亢奋中的海森堡完全没能听进导师的言语，只觉得被当头浇了一桶凉水。玻尔一回来就不由分说地给他挑了错，还企图把他的新发现贬值为玻尔自己思想中的一个特例。他实在无法接受玻尔的这番指手划脚，两人因此闹了个不欢而散，及至互不理睬。

玻尔最早的学生、助手克莱因那时正好回研究所工作。无可奈何的玻尔只好向他求救，临时代理海森堡的职责。早在哥本哈根久经考验的克莱默听到风声，赶紧嘱咐克莱因要小心翼翼，不要自不量力地卷入这番强强之争。

可怜的克莱因再度陷入他已经熟悉的无穷循环。每天，他在研究所里随身陪伴在玻尔左右，兢兢业业地记录他不断嘟囔出的语句。第二天一早，玻尔又会指令他丢弃记下的那一切，再次从头开始。夏天到了，玻尔携全家离开城市去海滨度假，自然也带上了克莱因。整个假期，玻尔都在与克莱因关上门反复推敲。一向热忱支持丈夫的玛格丽特惨遭“遗弃”。她只能暗自神伤，独自带着五个儿子享受这个家庭假日。

玻尔没有太多的时间。他早已决定要在即将来临的科莫湖伏特纪念会上发表他的新思想，并提交了一个振聋发聩的题目：《量子理论的基础问题》。

传统上，海森堡的发现在中文教科书里被称作“测不准原理”。这在现代被正式改为更准确的翻译：“不确定原理”。“不确定”这个用词也来自玻尔。虽然海森堡拒绝了导师的指令，抢先发表了自己的论文。他还是在后加的尾注中感谢了玻尔的更正、指导，包括这一术语。

中文翻译的偏差却也并非空穴来风。海森堡那篇长达26页的论文给人印象最深的还是他对用高能光子观测电子轨迹假想试验的全面、细致分析（那也正是玻尔给他指出其中纰漏之所在）。尽管他随后又提供了数学推导，证明位置和动量之不能同时确定来自它们的不对易性，是量子力学的本性，当时很多物理学家也都误解了他的发现是一种“测不准”的技术性缺陷。

海森堡相信他的发现揭示了量子力学又一个独特的本质。如果位置、动量乃至轨迹这些经典的概念无法被严格定义，它们只能被完全舍弃。量子是一个不同的世界，我们习以为常的语言不再适合，只能代之以随矩阵代数、波动方程，乃至狄拉克正在搭建的新架构形成的抽象但严谨的数学语言。

玻尔对这个激进的革命性理念深不以为然，觉得过于草率、肤浅，也违背了他几年来一直强调的“对应原理”：量子的世界必须在一定条件下与经典的世界对应，能够天衣无缝地回归经典物理。这当然也包括位置、动量等那些在经典物理中举足轻重的概念。

而且，即使是量子力学也不能只是抽象的数学模型，必须接受实验的检验。玻尔指出所有实验能测量的物理量都是位置、动量这样的经典概念。那些矩阵、波函数等新的量子“语言”，恰恰无法在实验中直接探测。

物理学是实验科学。但玻尔和海森堡都开始意识到实验测量在量子力学中似乎在扮演新的角色。在海森堡的假想试验里，要看到一个电子的所在，必须用光子去探测，那同时就会把电子“击飞”，改变了它的位置。这个测量本身在干扰被测量的系统，实施测量的物理学家也就不再只是一个局外的观察者。

玻尔还更进了一步。在他的互补原理中，测量手段的选择会直接影响到可能测量到的结果。如果一个物理学家做光电效应、康普顿散射那样的实验，他会看到光子、电子像粒子。如果他偏偏要去做衍射实验，他又只会看到它们如同波动。正如寓言中那些不明就里的人，他们如果去摸了大象的头就不可能摸到绳一般的尾巴——实验的设计先验地选择了实验的结果。

这简直匪夷所思。在他们那场情绪化的激烈争论中，玻尔和海森堡都没有意识到他们正在打开量子力学又一个潘多拉的魔盒。

那年夏天，泡利从汉堡赶来访问，试图调解玻尔与海森堡的矛盾。他也没能解开两人之间的死结，但私下里，海森堡开始向师兄承认玻尔可能更为正确。同时，爱因斯坦一年前对海森堡的忠告兑现了：海森堡没有因为担任玻尔的助手错过他的教授机会。莱比锡大学的席位依然还在等着他。当海森堡离开哥本哈根去莱比锡走马上任时，他还不到26岁，依然成为德国最年轻的正教授。

在距离上彻底摆脱玻尔的咄咄逼人后，海森堡才得以冷静地反思那过去的几个月。不久，他给玻尔写了一封忏悔长信，为自己过于急躁诚挚地道歉。他们亲密的师徒关系得以逐渐恢复。

当科莫湖会议在九月份开幕时，玻尔的论文已经不知道修改了多少遍，却依然未能定稿。好在因为纪念伏特的成就，会议前几天日程只是涉及电和与电有关的物理实验新进展、新发明，无关量子理论。玻尔一有机会就与克莱因还有来参加会议的达尔文、泡利一起反复斟酌。这时，他原来那个《量子理论的基础问题》大标题已经被悄然“降格”为《量子假设和原子理论的近期进展》。

参加科莫湖会议的物理学家们。

量子理论只在会议的最后一天才露面。那天安排了众多的专家发言，每人只有20分钟时间。洛伦兹宣读了他为古德斯密特和乌伦贝克做的演算，以经典物理证明电子自旋概念之不成立。那是他学术生涯的最后一篇论文。

不善言辞的玻尔在那区区20分钟内究竟讲了些什么没有确切的记录。可以肯定的是当时没有引起什么回响。对他的思路最熟悉的玻恩和海森堡在他之后做了简短发言，赞扬玻尔的新创见。其他听众则或者以为玻尔在重复他一贯老生常谈的哲学思辩，或者干脆就觉得他不知所云。

除了爱因斯坦，曾经在哥本哈根饱受玻尔煎熬但没有归顺的薛定谔也不在那会场上。那个夏天他与妻子安妮在美国巡回讲学，赢得那里几所大学的青睐。他一一谢绝了优厚的聘请，因为他正在等待着一个更好的消息。

那两年，柏林的普朗克一直在积极寻觅退休后的继承人。他最中意的是索末菲或玻恩。索末菲也已年届花甲，不打算再离开慕尼黑。泡利、海森堡等下一代虽然锋芒毕露，他们尚且年轻，还不足担当普朗克的席位。冉冉上升的中年人薛定谔遂成为最佳人选。

薛定谔为终于能与他最钦佩的学术领路人爱因斯坦在同一个学府中并肩作战而欢欣鼓舞，立即接受了聘请。在忙于新旧职务交替之际，他没能来科莫湖赴会。

会议结束后，玻尔、克莱因和泡利都没有急着回家。他们留在这个旅游胜地，又花了一个星期马不停蹄地继续撰写、修改玻尔的论文，终于将他那繁杂的思绪付诸文字。一个月后，又一个学术盛会将在布鲁塞尔召开。玻尔可以再度推出他的互补原理。

届时，他还会面对着爱因斯坦和薛定谔。

（待续）

量子纠缠背后的故事（廿一）：海森堡的不确定

1925年4月的一天，美国一家不起眼的西部电力公司实验室里发生了一次意外事故。一个储存液态空气的罐子爆炸，损坏了戴维森（Clinton Davisson）正准备做实验用的镍片。戴维森不得不将镍片重新加热去锈。当他重启实验，用电子束轰击这些处理过的镍片时，意外地看到了与以前不同的散射结果。他不明白究竟，只是兢兢业业地收集了数据写成论文发表。

三个月后，他越洋过海到牛津参加英国科学促进会的学术会议，非常惊奇地发现他这篇论文在那里引发了关注。作为实验室职员，戴维森还从没听说过德布罗意，更对电子可能是波的奇怪想法一无所知。

德布罗意一直在寻求实际验证他的波动假说。他经常像小时候一样跑到哥哥的实验室，鼓动他们用电子束代替X射线观测衍射现象。当初把他带入量子物理的比他大17岁的哥哥已经是巴黎首屈一指的X射线专家。他没有把弟弟的恳求当回事，因为他们有着太多更为重要的实验。

爱因斯坦在推广德布罗意波的论文中也对实验物理学家发出呼吁，才引起了更广泛的注意。戴维森在牛津听说他那个偶然的实验可能已经发现了电子束的衍射时才如梦初醒。他急忙赶回实验室，与助手革末（Lester Germer）一起重新进行系统的验证。

1927年1月，他们发表论文证实电子束通过金属内部晶格形成的“狭缝”时会发生衍射。因此，与光束一样，电子束也是一种波动。

在实验中发现电子衍射现象的戴维森（左）和革末。

戴维森和革末的结果直接证实了德布罗意的波动思想，促使德布罗意在1929年荣获诺贝尔奖。（他哥哥后来接替了他们导师郎之万在法兰西学院的教授席位，自己也几次获得诺贝尔奖提名。）

就在戴维森发现电子衍射的那一年，他所在的公司改组，变成隶属于美国电话电报公司的贝尔实验室。1937年，戴维森成为这个默默无名新实验室的第一个诺贝尔奖获得者。

与他分享这一殊荣的却不是革末，而是剑桥新一代的汤姆森（George Thomson）——卡文迪许实验室老主任汤姆森爵士的儿子。他在牛津的会议上听到关于戴维森实验的讨论后自己用不同的设计也验证了电子的衍射。相隔31年，汤姆森父子分别以发现作为粒子的电子和作为波的电子被载入史册。

1803年，杨在英国王家学会上展示光的衍射和干涉，宣告了牛顿微粒说的破产：光是波。一百年后，爱因斯坦在光电效应的解释中再度复活了光的粒子性，其后由康普顿的实验证实。

汤姆森爵士发现的电子在阴极射线管里以及卢瑟福的β衰变中显然是个粒子。然而，戴维森、革末和他自己的儿子却揭示电子束同样会发生衍射，也是波。

波乎？粒子乎？这不再只是理论、哲学的思辩。在新量子理论方兴未艾的年头，旧量子理论鼻祖爱因斯坦和玻尔都在为此伤透脑筋。无论是光还是电子，比较明显的答案是它们既是波又是粒子，即所谓的“波粒二象性（wave-particle duality）”。

然而，这又如何才能够避免自相矛盾？

爱因斯坦在这个问题上已经有了十多年的纠结。早在刚刚离开专利局的1909年，他在萨尔兹堡的德国科学界年会上以对电磁波压强的统计分析揭示光既含有波又有粒子的成分，并通过固体比热理论提出量子是一个普适的概念，同样适用于电子。

那是一个异常超前的思想。洛伦兹就很是不解，写信质疑：量子的能量与频率成正比，粒子只有在周期运动时才会有频率。金属中自由电子做直线运动，不存在频率的概念，如何能用量子描述？

爱因斯坦当时自然也没有好办法，但他已经坚信电子的运动会服从与光子同样的量子规律。在那之后十年里，他一直试图在麦克斯韦方程中引入普朗克常数，使之量子化，但一无所获。

十年后，德布罗意将频率与粒子动能直接相联的新思想和薛定谔方程的出现既证实了他的直觉，也终于让他明白自己所走的死胡同。薛定谔关注的是有质量的粒子，普朗克常数可以“自然”地出现在他的方程中。而光子没有质量，普朗克常数因而在麦克斯韦方程中会在方程两边互相抵消而不出现。因此，麦克斯韦方程其实并不需要量子化。

当然他也不是一事无成。无论是德布罗意还是薛定谔，他们的发现都直接来源于爱因斯坦的前期努力。薛定谔在他的波动力学论文中特别感谢了“爱因斯坦简短但极富远见的指导”，尤其是爱因斯坦当初补充索末菲原子模型的一篇论文对他的启发。

可能出于这一渊源，爱因斯坦一开始就没有对海森堡的矩阵力学有好感，认为他下了一个不可信的“大鸭蛋”。而当薛定谔发表波动方程后，他却立即写信祝贺，赞许道：“我确信你以你对量子条件的描述已经取得了一个决定性的进步。我也同样地确信那个海森堡-玻恩途径是一条歪路。”

爱因斯坦没有预料到这两个力学的分歧却只在肤浅的表面。在薛定谔证明它们其实是等价的同一个理论后，爱因斯坦没有因此消除对矩阵力学的疑虑，他反而随之对波动力学也产生了怀疑。

玻尔对随着新量子理论而出现的波粒二象性却没有同样的思想准备，骤然间老革命遇到了新问题。他曾极力坚持光只是波的传统观念，顽固地拒绝接受光子的概念，直到他的BKS论文被康普顿后续实验否定。电子的衍射更迫使他面对波和粒子共存这个棘手的难解之谜。

在“劝降”薛定谔失败后，他把几乎所有时间和注意力都倾注于自己身边的海森堡。他们在研究所展开了没日没夜、无休无止的争辩。

在海森堡的眼里，玻尔依旧坚持经典的物理概念，尤其是电子运动的位置和速度——经典物理中物体运动最关键的两个变量、动力学方程的基础。然而，在新量子力学中，它们已经退居了二线，让位于不明就里的波函数或矩阵。

海森堡认定位置、速度与电子的轨道、跃迁一样，都只是经典物理的残余，在量子力学中不再有位置：它们都不是实际的可观测量。

终于，两个亲密无间的师徒在旷日持久的辩论中变得不再能忍受对方的存在。

1927年2月，玻尔独自离开研究所到挪威的大山中滑雪。那本来是他们计划好要一起欢度的假期，但玻尔临时改变了主意。海森堡不仅没有介意，反而大松一口气，有了属于自己的自由和清净。

伴随着玻尔的离去，海森堡脑海里被玻尔灌满的位置、速度乱麻也逐渐消退，代之以重新浮现的是近一年前与爱因斯坦那番谈话。

1911年在卡文迪许实验室的年终晚宴上，卢瑟福眉飞色舞的一番讲话强烈地感染了年轻的玻尔，促使他离开老气横秋的汤姆森而转投在曼切斯特的卢瑟福。其实，那晚卢瑟福滔滔不绝的并不是他自己实验室的进展，而恰恰是汤姆森麾下的又一个新突破。

卡文迪许实验室里并不都是原子物理学家。年轻的威尔逊（Charles Wilson）研究的是气象。他观察自然界多姿多彩的云雾，希望能在实验室里重现、研究它们的形成。他设计了一个精巧的箱子，在里面装满过饱和的水蒸气。当他突然拉动活塞急速降低箱子里的气压时，可以看见水蒸气瞬时凝结成云雾。

云雾由微小的水珠组成。水蒸气是在箱子里残留的细小微尘辅助下凝结成水珠的。威尔逊仔细地清洁他的箱子，排除里面所有杂质，但他仍然能够看到云雾的形成，其中还有一条条貌似随机的线条出现。

实验室里的物理学家意识到那是因为总有宇宙射线在穿过那个箱子，它们的动能使水分子发生电离，代替尘埃帮助水珠凝结。那些细线正是射线这样留下的足迹。

这样，威尔逊无意之中发明了一个实时观察高速粒子运动的工具。卢瑟福等人如获至宝。他们不仅用它探测宇宙射线，还第一次能够直接看到放射性原子所发出的α、β粒子的踪迹。把这个被命名为“云室（cloud chamber）”的箱子置放于电场、磁场中，他们还可以测量带电粒子在电磁场中的加速、拐弯。甚至，他们还可以发现粒子在相互碰撞的过程。

云室照片一例，显示各种高速粒子的轨迹。

十多年后，当海森堡在爱因斯坦的公寓里信心十足地解释电子的轨道如何不可观测时，爱因斯坦反问：你没看到过云室中拍摄的照片吗（β粒子就是电子）？

爱因斯坦已经快50岁了，早已不是过去以马赫的逻辑实证思想开创相对论的那个小青年。成熟后的他认识到客观世界是既已的存在，并不需要人类去实证。倒是人类自己的眼光有着相当的局限性。面对与他当初一样年轻的海森堡再度举起物理定律只能包含可观测量的大旗，他轻松地回以一个笑话不能重复两次的调侃。

显然，爱因斯坦早已深思熟虑过。他提醒海森堡，把光谱线的频率、光强当作可观测量其实也只是一厢情愿。原子发出的光经过大气传播、棱镜折射等过程最终在照相底片或视网膜上成像后才成为所谓的观测。海森堡之所以能把这样得到数据看作可观测量，不过是他不加怀疑地接受了麦克斯韦的经典电磁理论，确信那一连串过程没有实质性地改变原子所发的光的属性。

其实，那些光谱线也并不比在云室中看到的电子轨迹更为真实、可靠。

所以，爱因斯坦完全出乎海森堡意料地指出：物理学并不是实验的观测决定理论，反而是理论在指导你观测——正如麦克斯韦的理论引导物理学家测量光谱线。

虽然没有完全被说服，海森堡不得不承认爱因斯坦言之有理。在没有玻尔的两个星期中，他苦苦地回味着那一番富有哲理的谈话。

一天晚上，烦躁的海森堡走上街头，像狄拉克一样在哥本哈根漫无目的地游走。他的思绪在寒冷的夜风中逐渐变得清晰。

爱因斯坦对光谱线观测的那一番剖析同样适用于云室的照片。云室里一条条的直线和曲线只是一连串不连续的小水珠。它们因为电子或其它粒子的经过而出现，却远远不是电子的轨迹。那中间隔着有太多的物理过程。

观察电子的轨道，还需要更为直接、精确的手段。而爱因斯坦和玻尔难以忘怀的其实是同一个问题：如何测量、描述电子的位置和速度。

“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗？”维恩教授在答辩时那句轻蔑的挖苦是海森堡挥之不去的梦魇。他时常还会不自主地回忆起那个场景，一次次默默地回应。

显微镜的确是实验室中很普通的仪器。用它可以观察做布朗运动的花粉、生物体的细胞等微小的物体。照射它们的光经过棱镜放大、聚焦后，肉眼看不见的细节会变得一览无余。然而，无论显微镜做得如何精致，它的分辨率最终会取决于照射光束的波长。要想看到细微的结构，必须用波长比它更小的光来照射。

如果要直接观察到电子的轨迹，海森堡想到，就只能用波长最小、频率也就最大的光——至少需要康普顿做实验时用的X、γ射线。

在他与爱因斯坦那一席长谈时，康普顿的研究又有了新的进展。康普顿效应不再仅仅是用光照射晶体中电子时测得的统计结果。康普顿还在云室中直接观察到一个光子和一个电子碰撞所留下的印记。他拍摄的照片清晰地显示了电子被光子击中后的反弹，无可辩驳地证明了光子的存在。1927年底，威尔逊和康普顿分享了诺贝尔奖。

海森堡突然醒悟。如果使用波长非常短的γ光去照射电子，那就不是传统意义上的显微镜：所用的光不再只是背景工具，而是直接干预电子运动的因素。它会像康普顿观察到的那样以单个光子与电子发生碰撞，将一定的动量、能量传递给电子。如果要看到云室照片那样的电子轨迹，就必须持续地用一个又一个光子去“照射”。但这样得到的数据并不是电子本来的轨迹，而只是电子在遭到一次又一次撞击后所偏离、扭曲了的轨迹。所以，电子自身的轨道依然无法观测。

但是，问题还更为严重。

当一个光子与电子发生碰撞时，利用康普顿的能量、动量守恒方程可以通过对光子碰撞前后的测量结果推算出电子在碰撞时的位置和速度。这个测量也有着同样的局限：对电子位置测定的精确度不可能小于光子的波长。

如果在想像中用波长无限小的光子去“照射”，便可以精确地找到电子的位置。但波长无限小也意味着光子的频率、能量和动量都是无穷大。这样强劲的光子会一下子把电子击飞而自身动量不受影响，也就无法测量到电子的速度。

要非常精确地测量到电子的速度，只能用频率极低的光子“温柔”地触碰电子。那样的光子波长就会非常大，无法测量到电子的准确位置。

在哥本哈根寒夜的街头，海森堡意识到玻尔那难以忘怀的位置和速度在量子力学中犹如鱼和熊掌，不可兼得。所能做到的只有折中策略：用一定频率、波长的光子与电子碰撞，同时获取电子的位置、速度数据。这两个数据都不会完全准确，各自带有一定程度的不确定性。

为了回应爱因斯坦的质问，年轻的海森堡发明了一个逻辑实证式假想试验。那正是爱因斯坦的拿手好戏。但他的思绪还没有终止。

泡利和狄拉克等人一直都在向海森堡抱怨，从他的矩阵力学开始的那个不对易乘法规律让量子力学变得不可捉摸。因为在数学上等价，不对易性也同样地出现在薛定谔的波动力学中。狄拉克揭示那是普遍的量子规律，是经典力学通过泊松括号走向量子化的台阶。但他们却也相继发现，这个乘法的不对易性不只是数学上的别扭，而有着真切的物理效应：因为位置和动量——也就是速度——相乘时不对易，量子力学无法同时描述这两个最基本的物理量。

如果先计算好粒子的位置，它的动量就会变得捉摸不定。反之亦然。在数学形式上，这其实是不对易乘法的直接推论。在物理上，这样的结果显然极其荒唐。纵是泡利、狄拉克，也没能破解这一怪诞的谜团。

海森堡恍然大悟，那正是他的假想试验在理论中的表现。从大街上回到住所后，他像在北海那个荒岛上那样又一次沉浸于严谨的数学推演。很快，他利用便捷的波动方程证明了一个匪夷所思的结论：同时测量粒子的位置和动量时的精度会有一个无法超越的总下限。这个极限直接来自不对易关系，完全由普朗克常数决定。因此，这是一个量子世界特有的新规律。

正如爱因斯坦所言，是理论在决定着什么是可观测量。

这是他又一个重大发现。海森堡不敢懈怠，立即写好了论文。他知道如果玻尔回来后介入，论文肯定会在他的反复修改中变得支离破碎面目全非，甚至不知道要等到何时才能面世。为了避免重蹈斯莱特的覆辙，海森堡壮起胆子，抢在玻尔回来之前私自将论文寄出。

玻尔度假回来后为助手的这一新发现欢欣鼓舞。他立刻指出了论文中的一点纰漏。正如海森堡所料，玻尔也批评论文没有能清楚、深入地阐述这个发现的本质和意义。他让海森堡立即撤回稿件，由他们共同修改后再重新递交。

早有预感的海森堡依然难以承受这心理压力，眼里不禁涌出了泪水。但他还是没有退让，倔犟地拒绝了玻尔的“无理”要求。在那之后，两人关系近乎破裂。他们整天在同一个研究所里，抬头不见低头见，却互相躲避，几乎不再交谈。

海森堡不确定原理论文封面。这是美国著名化学家鲍林（Linus Pauling）保存的印件，右上角有他的批注：“玻恩在哥廷根给我的”。

海森堡违背师愿一意孤行发表的论文长达26页。他在校对之后加了一个尾注，感谢玻尔在论文完成后提出的“更深入、敏锐的分析”和指正。在这个脚注中，他也许是在无意中也提到了玻尔与他辩论时所用的语言。

因为这是一个经典物理中不存在的新现象，海森堡没能把握如何定义。在论文中，他随意地使用了“不精确（inexactness）”、“无法确定（indeterminacy）”等词汇描述对粒子位置、动量测量时会出现的僵局。在后加的脚注中，他采用了玻尔的用词：“不确定（uncertainty）”

那一时刻的海森堡年轻气盛，正处于科学生涯的巅峰。他没有听从玻尔的规劝，也无法听进导师正迫不及待地要表达的观点。他压根没有想到玻尔独自在挪威的大山里滑雪时并没有闲着，也产生了他自己关于量子力学的新思想。

（待续）

量子纠缠背后的故事（二十）：狄拉克的变换

1926年也是量子力学不寻常的一年。

那年年初，玻恩在他正在访问中的美国波士顿收到来自英国剑桥的一篇论文，为海森堡的矩阵理论提出一个新颖的视角。他觉得非常地意外，因为那时他与约旦、海森堡合著的“三人论文”尚未问世，应该还没有人能明白那怪异的矩阵力学。那篇论文的作者是剑桥的研究生狄拉克，一个从未没听说过的名字。

自从玻尔谢绝卢瑟福的聘请后，剑桥不再拥有一流的量子理论学家，淡出了由海峡对面慕尼黑、哥廷根和哥本哈根金三角主宰的新天地。海森堡完成第一篇矩阵论文后曾到剑桥短暂访问，他没有在讲座上提及自己这个新发现。也不知道狄拉克是否与他碰过面。

狄拉克出生于英国西南的海滨城市。他父亲却是瑞士人，在当地中学教法语。作为第一代移民，父亲极为苛刻，强迫孩子们只能以法语与他交谈，稍有差错就会受到严厉的惩罚。在能够以法语会话之前，狄拉克和他哥哥、妹妹只能与母亲一起像仆人似地躲在厨房里吃饭。

聪明的狄拉克是三个孩子中最先学会法语的，因此被恩准上桌子与父亲一起进餐。但既为了避免犯错被惩戒也是作为抗议，他在餐桌上绝口不说一句话。

父亲的专横对孩子们造成了极大的心理伤害。他们几乎在与世隔绝中长大，家里从来没有客人，自己也没有朋友。后来，狄拉克的哥哥在25岁时自杀。那时狄拉克已经是剑桥的研究生，正处于事业起飞的前夜。

因为家境贫寒，他们兄弟俩中学毕业时都在当地大学修习实用的工程专业。然而事与愿违，他们毕业时遭遇第一次世界大战后的经济萧条，没能找到体面的工作。狄拉克又回学校从头开始学习应用数学。那精确、简练的数学语言立刻让他折服，从此一生追求如何用数学——也只用数学——描述自然界。爱丁顿日食测量证明广义相对论的轰动效应也把他的注意力吸引到物理领域。

他的努力终于得到回报，赢得一项奖学金去剑桥攻读博士学位。

孤独中长大的狄拉克不具备基本的社交能力。在剑桥，他过着独往独来、规律得如同机器人的生活。星期一到星期六是他学习的日子。他每天按时起床，步行到学校用功。晚饭再出去散步。星期天，他带上午餐到郊外四处游走。那是他放松大脑，不再思考学业的一天。

1927年，在乡间漫步的狄拉克。

英国大学的传统是学生以自学为主，由导师提供一定的指点。狄拉克因此在剑桥如鱼得水，学业急速长进。他的导师是卢瑟福的女婿、物理教授福勒（Ralph Fowler）。

福勒也是剑桥唯一能勉强跟上量子理论蓬勃发展的理论家，曾在海森堡来访时私下谈论过他的新进展。应福勒的要求，海森堡拿到论文的校样后就给他寄了一份。福勒又随手将它转寄给度假中的狄拉克，让他这个沉默寡言却聪明绝顶的学生先睹为快。

狄拉克读了后没觉得海森堡那复杂的数学背后有什么实际意义。直到十来天后的一个星期天，他照常在野外暴走、不应该考虑科学问题时，脑子里突然不听话地浮现起论文中不起眼的一小段。

海森堡坐在海岛巨石上等待日出时意识到他刚刚发明的列表计算有个毛病：两个表相乘的结果与它们的顺序有关。在普通代数中，加法和乘法是“对易”的：2加3等于3加2；2乘3也等于3乘2。减法和除法不对易：2减3不等于3减2。在他的新法则里，两个列表相乘时如果彼此交换顺序却会有不同结果，违反了乘法的对易性。

他直觉十分荒唐，只好在论文中很不好意思地指出那可能会是新理论的隐患。

狄拉克在他的数学研究中早已见到过不对易的乘法，不觉得会是个问题。但他不知道那也正是剑桥前辈凯利发明的矩阵代数的一个特征。他更不知道玻恩和约旦已经发现海森堡的矩阵力学中，代表位置与动量的矩阵相乘时不对易。它们不同顺序的乘积之差正好与普朗克常数成正比，说明那是一个经典物理中不存在的量子现象。

狄拉克只是隐隐觉得这个位置与动量乘法的非对易关系似曾相识，却想不起来在哪里见过。那天晚上，他破天荒地烦躁，一夜无眠。好不容易挨到早晨图书馆开门，他冲进去查阅经典力学的大部头著作，果然找到有一种叫做“泊松括号（Poisson bracket）”的数学构造。它在形式上与海森堡的不对易性颇为相像。

牛顿的动力学以“力”为中心。在普通物理中，力通常被定义为“物体之间的相互作用”。那其实是一句没有意义的空话——力也是一个看不见摸不着的假想概念。牛顿之后，一些数学家试图将他的动力学脱胎换骨，代之以更严谨的数学描述。在欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和哈密顿（William Hamilton）等人长达一个世纪的持续努力中，经典力学终于被彻底改写，有了更具普遍意义的数学形式。

在这个新的表述中，力被势能取代。物理体系及行为由其动能和势能所组成的“拉格朗日量”或“哈密顿量”描述。薛定谔构造的波动方程便采用了含有哈密顿量的形式。

泊松括号是法国数学家泊松（Simeon Poisson）在这个体系中发明的一个表达方式，用以构造所谓的“正则坐标（canonical coordinates）”。它其实与海森堡的非对易乘法没有关系。

但狄拉克却敏锐地看出其中一个奇异的联系：海森堡的矩阵力学与哈密顿式的经典力学并没有太大差异。如果将经典力学中的泊松括号重新定义为含有普朗克常数的数值，就可以直接“量子化”为海森堡的力学。

这样，狄拉克在经典物理和量子物理之间架起一座桥梁，也终于为玻尔那喋喋不休却捉摸不定的对应原理提供了一个数学基础。

与他的风格相符，狄拉克据此而作的博士论文有着言简意赅的标题：《量子力学》。那是有史以来第一部以量子力学为题材的学位论文——量子力学这时还未满周岁。

顺利赢得博士学位后，狄拉克又获得一份奖学金。在福勒的建议下，他决定留洋深造，到正在成为量子力学圣地的哥本哈根和哥廷根镀金。

1926年10月1日，玻尔在火车站接到了应邀来访的薛定谔。这还是他们俩的第一次见面。玻尔却没有心思客套，一碰头就忍不住向薛定谔发出一连串的诘问。

曾几何时，玻尔的原子模型揭开了量子理论的序幕。十年之后，他的电子轨道、量子跃迁等新概念已经被海森堡、薛定谔更新的理论撕扯得支离破碎，被不客气地划入“旧量子理论”。取而代之的“新量子理论”便是矩阵、波动以及狄拉克那还没人看懂的新力学体系。

虽然薛定谔已经证明了矩阵与波动力学在数学上等价，他和海森堡的分歧不仅没有消失，反而日益尖锐。在收到海森堡怨气满腹的来信后，玻尔邀请薛定谔来面谈，期盼能达成共识，将苏黎士的这位游侠也纳入自己的金三角阵营。

在自然科学中，物理学是最数学化的精确科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦电磁学，乃至爱因斯坦相对论，它们都已各自的方程式引领风骚。只要有了需要的方程，加之必要的边界条件，一切相关的物理问题均可迎刃而解。

薛定谔正是这样听从德拜的建议为德布罗意的波动找到了方程式。但他没料到这却带来更大的麻烦。如何理解那作为方程主体的波函数在物理学家中莫衷一是。可能是物理学史上第一次，严谨的数学语言不足以描述物理现象，需要外加辅助性的“诠释”。

薛定谔不能认同玻恩的几率诠释。他坚持波函数就是粒子的实在分布，运动是连续的波动过程而不存在所谓的量子跃迁。在哥本哈根的那几天里，玻尔日日夜夜地跟随在他旁边，就这个问题没完没了地“讯问”。终于，薛定谔病倒卧床不起。玻尔夫人玛格丽特精心照料，为他端汤送水。玻尔却还是固执地坐在床头，一个劲地探寻：“可是，薛定谔，你不可能真的会认为……”

当薛定谔终于逃离这个鸿门宴时，他身心俱疲，却依然固执己见没有归顺。

作为玻尔助手的海森堡明智地在这场争论中置身事外，只在近距离旁观、记录。他在内心里对玻尔立场不坚定、在与薛定谔的波动说眉来眼去颇有微词。但这时他也已经找到一个击溃薛定谔的利器。那却正是薛定谔的波函数。

就在薛定谔到来之前不久，海森堡也抽空研究了波动方程。他成功地计算出有两个电子的氦原子光谱。那是自玻尔推出原子模型以来一直未能解决、曾经让泡利在博士论文中束手无策的大难题，也是新量子理论的第一个重大突破。

海森堡也因此切身体会到波动方程在实际运算上的绝对优势，不得不承认自己的矩阵在这方面望尘莫及。

但同时，他发现氦原子那两个电子的波函数非同一般。

按照薛定谔那具备直观优势的图像，两个电子的波函数与一个电子的波函数不会有太大区别。它们是电子在三维空间的分布。具有两个电子的波函数无非是质量、电荷的总和会是一个电子的两倍，在形状上则会同时显现两个分立的波包。

然而，海森堡用来解决氦原子的波函数却没有那么直观。它是一个在六维空间中的分布：两个电子各有自己的三维空间。他也很容易地看出，这个结构可以直接推广到更多电子的原子，只是波函数所占据的空间维数会随之增多。铀原子有着92个电子，它的波函数就会有多达276个的空间维数。

这听起来似乎匪夷所思，但对已经精通微分方程的理论物理学家却并不突兀。在拉格朗日、哈密顿推广后的力学体系中，这样的抽象数学空间业已司空见惯。况且，数学家希尔伯特也在几乎同步地提供相应的数学工具——这个多维空间后来就被物理学家命名为“希尔伯特空间”。

虽然这样的空间只是一个数学上的便利。但它也显示波函数并不是薛定谔心目中的物质分布，倒是与玻恩的诠释相当合拍：波函数是电子各自在三维空间中出现的几率。众多的电子各有各的几率分布，互相分离但并不完全独立。它们在同一个波函数下依照薛定谔方程随时间、空间演变，其几率既各自为政又相互关联同步。

狄拉克正是在这个激情四溢的时刻来到哥本哈根。他在市区租住了一个房间，每天形单影只地按时上下班。傍晚，他喜欢随便找一趟公车搭乘到终点站，然后自己循原路步行回家，宁静地领略这个陌生都市的夜晚。星期天，他依然故我地独自在郊外暴走。

玻尔已经见识过太多在他研究所来来往往、性情迥异的年轻人。瘦长、孤僻的狄拉克是他唯一无法吃透的角色。他把狄拉克称作“最奇葩的人”。当玻尔察觉狄拉克对话时只用“是”、“不”两个单词时，他和人打赌看谁能迫使狄拉克说出第三个词汇。经过一番努力，狄拉克终于不得不回应出一个“不在乎”。

狄拉克与玻尔正好处于两个极端。玻尔的论文几乎没有数学公式，喜欢以冗长的句子没完没了地绕圈。狄拉克巴不得整篇论文完全以数学方程示人，根绝日常语言的污染。即便是在讨论时，他也惜语如金，力求以最简短、最准确的词句解释。如果有人不理解，他也只能原封不动地再重复一遍——他已经不可能再找到更好的表达方式。（多年后，他的名字在剑桥成为一个计量单位：一个“狄拉克”是每小时说一个单词的语速。）

玻尔经常被自己正阐述中的复杂语句搞糊涂，会习惯性地抱怨不知道应该如何结尾。狄拉克会冷冰冰来上一句：我们从小就学会了，如果你不知道怎样收尾，就不应该急着开口说话。

在玻尔的眼皮底下，几乎从不开口说话的狄拉克成绩斐然。

延续他博士论文中对矩阵力学的重新表述，狄拉克进一步推出更具一般性的“变换理论（transformation theory）”，为新生的量子力学提供了一个完备的数学根基。

在他的理论中，量子力学是代表量子态的矢量在多维希尔伯特空间中旋转的行为规律。如果在这个空间中选取不同的正则坐标，就会出现不同的“表象（picture）”。这些表象中既有着薛定谔的波动方程也有海森堡的矩阵代数。那两个理论不仅互相等价，而且都只是这个更普遍的变换理论的特定表现形式。

狄拉克第一次完整地统一了量子力学。

他还在论文的引言中开宗明义地指出：在这个变换理论中，波和粒子有着完美的和谐。以粒子为出发点的表象经过一个哈密顿变换后就能自然地成为波动性的表象。

于是，海森堡与薛定谔那势不两立的原则性观点冲突看起来也不过是过眼云烟。

美中不足，狄拉克没能独享这一构建量子力学根基的荣誉。几乎同时，玻恩的助手、同样精于数学的约旦也独立发表了同样内容的论文。

在新一代的弄潮儿中，1900年出生的泡利最为年长。海森堡比他师哥小一岁，而狄拉克和约旦又都是1902年出生。在1926年这个不凡的年份中，他们以25岁上下的青春岁月都相继进入了学术成就蓬勃而出的灿烂年华。

玻恩在1925年底去美国讲学之际，约旦交给他一篇自己刚刚完成的论文，请导师审阅后在他担任编辑的《物理学杂志》发表。玻恩随手把稿件放进行李箱，准备在旅途中阅读。不料直到大半年后他才又在箱底发现这篇被遗忘的文稿。

那正是量子力学日新月异的几个月。这一次，是狄拉克独立发表了同样内容的论文，导致约旦那被耽误的稿件不再具备发表意义。

1920年代的约旦。

爱因斯坦在完成玻色-爱因斯坦统计后没有意识到他的这个新量子统计——尤其是玻色-爱因斯坦凝聚——与泡利随后提出的不相容原理矛盾。爱因斯坦统计中的粒子会在低温时同时凝聚到能量最低的态。泡利却指出电子互不相容，不可能有两个电子同时占据同一个量子态。

海森堡在构造氦原子的波函数时发现如果将其中的两个电子互为交换，波函数的数值会改变正负号。正是这样的“反对称”可以阻止两个电子进入同一个量子态，满足泡利不相容原理。狄拉克随后做了推广，指出量子的粒子其实有着迥然不同的两类。在波函数中交换时不发生改变——即完全对称——的是遵从玻色-爱因斯坦统计的“玻色子”，它们的自旋量子数是整数。而包括电子在内还有另一类粒子。它们的自旋量子数是半整数，在波函数中交换时呈现反对称。它们不遵从玻色-爱因斯坦统计，需要另一个完全不同的统计规律。

虽然狄拉克因为玻恩的疏忽抢了约旦的先机，他也还没能成为这个新统计规律的创始者。在他之前，意大利的费米（Enrico Fermi）发表了同样的想法。

费米也是一个1901年出生的年轻人。他也曾经是玻恩的学生，但在人才济济的哥廷根自惭形秽，急流勇退。荷兰的埃伦菲斯特听说后，嘱咐学生乌伦贝克去探望。两个年轻人因此成为好朋友。乌伦贝克劝费米一定要见过和蔼慈祥的埃伦菲斯特后再决定是否放弃物理生涯。费米于是加入埃伦菲斯特的研究组，在那里重整旗鼓，最终成长为一代宗师。

1924年埃伦菲斯特（右三）与他的学生合影。左二是古德斯密特，右一为费米。右二是最先提出电子自旋的克勒尼希。左三廷贝亨（Jan Tinbergen）后来成为第一届诺贝尔经济学奖获得者。

尽管费米的论文相当粗糙，并没有细致地分析波函数中的对称性，狄拉克还是尊重费米的优先。他们的新发现于是被称作“费米-狄拉克统计”。相应的粒子叫做“费米子”。

约旦甚是失落。他在自己的专著中将之冠名为“泡利统计”。

沸腾年代中的海森堡也有着自己的烦恼。在哥本哈根担任玻尔的助手本来是他的梦想成真。随着时间的推移，他却感到这个职务有着难以摆脱的负担。

玻尔研究所扩建后，玻尔一家搬出原来主楼里的寓所，改居隔壁新楼中的所长套间。他们原来的卧室则成为助手的客房。与来访的薛定谔一样，住在所内的海森堡感觉玻尔在这里如影随形，无所不在。他无法像狄拉克那样每天按时上下班，因为玻尔会随时出现在他的办公室或寓所，几小时几小时地连续讨论如何诠释量子理论。他们常常如此争辩到深夜，甚至通宵达旦。

在这紧张的工作节奏中，海森堡最渴望的是能有一点自己静心思考的时间（他能够在哥本哈根解决氦原子光谱也还是因为那时玻尔得了重流感，有两个月没上班）。因为他始终无法忘怀在柏林与爱因斯坦的那一席交谈。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十九）：玻恩的几率波

海森堡非常地郁闷。

1926年应该是属于他的年份。他发现矩阵力学的第一篇论文在1925年9月问世。1926年2月，他与玻恩、约旦合作的“三人论文”发表，为以矩阵形式出现的量子力学拉开了序幕。一时间，世界各地的物理学家都一头钻进数学图书馆，急切地寻找任何可能与矩阵——从未听说过的怪物——有关的资料，祈望不要输在这条新的起跑线上。

1920年代中期的海森堡。

师兄泡利不仅最早见到从海岛上归来的海森堡，也是他第一篇论文的第一个读者。在多年用量子数拼凑原子光谱而凄苦忧伤、恨不得去当小丑演员后，泡利为量子领域终于有了数学的秩序欢欣鼓舞，感到生活又有了希望。但他还是很矛盾，唯恐这个新理论被玻恩用繁琐的数学糟蹋。海森堡看他患得患失，出言奚落，要他也拿出点自己的东西。泡利受刺激后埋头苦干了一个月，用师弟的矩阵力学完整地计算出氢原子的光谱。

在那之前，海森堡的矩阵还只是一个针对假想谐振子的简单模型。泡利的计算将其提升为解决现实问题的理论，验证了它的实用性和潜力。他在1925年11月完成这一壮举，论文在1926年3月发表。

仅仅十天后，薛定谔的论文横空出世，颠覆了海森堡的世界。

“嘿，你刚开始的时候知道会做出这么多有意思的东西吗？”14岁的依西（Itha Junger）天真地问薛定谔。她和双胞胎姐姐因为代数不及格一起被留级。安妮提议让薛定谔为她们辅导。依西自然地成为薛定谔的情色猎物，同时数学上也大有长进。

薛定谔圣诞节假期中发现他的方程之后，在1926年间创造力大爆发，六个月接连发表六篇论文，独立奠定了他称之为“波动力学”的新量子力学。他不无得意地向依西炫耀这辉煌的战果，并把小姑娘的问话录入这些论文结集出版的前言中。

薛定谔1926年初发表的波动力学系列论文之一。

两个世纪以前，牛顿为了能够准确地表述动力学发明了一个新的数学语言：微积分。物理学从那时开始正式成为系统、定量的科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦方程组，或者海森堡博士论文所研究的湍流，理论物理学家的职业生涯与微分方程难解难分。相应的数学工具也随之日新月异。

在雪山旅馆里，薛定谔只带了20年前出版的一本微分方程教科书。在终于构造出符合德布罗意关系的波动方程之后，他一时也没能求解出氢原子问题，要等到下山后在外尔的帮助下才成功。

随后，他们发现数学家希尔伯特等人已经对这类微分方程做了系统研究，刚刚出版了一本新教材。如果薛定谔当时有那新版本，氢原子问题在山上就可以迎刃而解。尽管如此，他和外尔也不过只花了两三天时间便自己找出了答案。毕竟，微分方程已经成为他们的“母语”。

在1926年3月问世的第一篇论文里，薛定谔以极其简短的笔调推出他的波动方程。与他为自己浪漫生活记录详尽的日记相反，他的科研笔记散乱无章，只有少量存世。如果忽略他所走过的弯路而以事后诸葛亮的眼光分析，他的发现过程相当简单：传统的经典波动方程是一个二次微分方程。按照德布罗意关系将其中的频率参数换成动能，然后再把动能拆解为总能量与势能之差，就可以得到薛定谔方程的数学形式。

与经典的波动一样，这样的微分方程和它的解都是连续的，没有分立的“量子”、“跃迁”概念。但薛定谔毫无困难地找出了两者的对应关系。

经典波动方程在特定的边界条件下会出现琴弦上驻波那样的解。希尔伯特把它们叫做“本征态（eigenstate）”。它们由一定的“本征值（eigenvalue）”标记。薛定谔方程也一样。它的本征态正是德布罗意所猜想的驻波，但更为丰富，是三维空间中的分布。这些本征态分布正好集中在玻尔轨道的附近，有着同样的能级。它们也自然地有着三个不同的本征值，正是那已经熟悉的量子数。

在经典的波动中，如果两个频率相近的波相遇，它们之间的干涉作用会产生一个新的频率：“拍频（beat）”。这个频率是那两个频率之差，正好满足了玻尔轨道“跃迁”的能量关系。但它们不像“跃迁”那样具备无法理解的瞬时、断裂，而是与经典物理无异的自然、连续过程。

这样，薛定谔的新方程同时为玻尔的轨道和德布罗意的驻波提供了坚实的数学基础。但他既不需要玻尔那些无中生有的规则，也不用像海森堡那样人为地构造不连续的表格。量子的不连续性以本征态、本征值的方式在连续的方程中自然涌现，无需任何先验的注入。

为了用可观测的光谱参数表述原子模型，海森堡在不知情中重新发明了矩阵代数。这对物理学家是一门新的语言，如同拗口、难懂的外语。几个月下来，只有泡利有能力用矩阵求解出最基本、最简单的氢原子，其他人都未能有所建树。

泡利对薛定谔论文的第一反应非常负面。如同他把玻尔认可自旋称为“哥本哈根邪说”，他把薛定谔方程叫做“苏黎士的迷信”。但同时他也不由倒吸一口冷气：他自己使足浑身解数，花一个月时间才求解了氢原子。如果采用薛定谔的方法，那不过是轻松的举手之劳。

当然最神奇的是两个方法所得出的结果完全一致。

他们的导师索末菲、玻恩立场也在动摇。索末菲最初看到薛定谔的论文时直觉那完全是一派胡言，但很快改口说矩阵力学虽然是真理在手，却过于复杂并且抽象得可怕。薛定谔的到来是一个救星：波动提供了数学的便利和直观的图像。

刚刚发现电子自旋的乌伦贝克直接地表达了他们下一代的心声：“薛定谔方程来得正是时候。我们不再需要学习那莫名其妙的矩阵数学了。”

海森堡看到他预期的灿烂尚未开放就已经被薛定谔突如其来的乌云遮掩。随着泡利、索末菲、玻恩相继“倒戈”，他有着一种众叛亲离的悲凉。

当然，海森堡的名望也在急剧地上升。那年4月他得到邀请去柏林讲学。虽然新生的量子力学集中于索末菲的慕尼黑、玻恩的哥廷根和玻尔的哥本哈根所构成的“金三角”，海森堡觉得真正的物理中心还是在柏林。当他走上那里的讲台，看到第一排依次就座的爱因斯坦、普朗克、能斯特、劳厄——四位诺贝尔奖获得者——他真切地体验到自己正在迈进精英的行列。

他的演讲十分顺利。爱因斯坦随后热情地邀请他回家晚餐。他们一起走过柏林的大街时，爱因斯坦友善地询问海森堡的生活、学业及工作，气氛相当融洽。

等他们在爱因斯坦的公寓中坐定之后，爱因斯坦才突然发问：“你真的觉得电子的轨道不存在？”

海森堡早就在等待这一时刻。他胸有成竹地解释，“是的，你没法实际地观测电子的轨道运动……”爱因斯坦当然清楚他的来路，更直截了当地问道，“难道物理学中只能存在可以观测的物理量吗？”海森堡这下子倒真觉得诧异。他不解地反问，“难道那不就是你创立相对论时的基本思想吗？”

爱因斯坦狡黠地一笑，答曰，“也许是吧。但同一个笑话是不能重复讲两遍的。”

海森堡满心以为爱因斯坦会赞许他同样基于逻辑实证的矩阵力学。他不知道爱因斯坦半年前从玻恩那里获悉这个新发现时就一直持怀疑态度。他在给埃伦菲斯特的信中表示：“海森堡下了一个量子大鸭蛋。哥廷根那些人相信这个东西，我却不信。”

几个星期后，柏林的物理师生济济一堂，又一次听取了关于矩阵、波动最新进展的报告。主持讨论会的爱因斯坦有点烦，他最后总结：“我们一直都没有精确的量子力学。现在突然之间有了两个。你们都会同意这两个理论互不相容。哪个会是对的？也许没一个是正确的。”

不料，他话音刚落，席中的戈登（Walter Gordon）站起来报告：他刚从苏黎士回来，听说泡利已经证明了这两个理论其实是同一个。

访问柏林时，海森堡正面临一个选择。

他本来已经准备好再度去丹麦，担任玻尔的助手并同时在哥本哈根大学兼任讲师。莱比锡大学却突然给他发来教授聘书。年仅25岁就能够担任正教授在德国属于闻所未闻，是一个极其难得的机会。海森堡有点难以取舍，便询问爱因斯坦的意见。

曾经为敲开学术界大门历尽坎坷的爱因斯坦不假思索地回答：去跟玻尔干吧，你不会后悔的。他深信海森堡是一颗正冉冉升起的新星，以后不会缺乏莱比锡那样的机会。海森堡听从了爱因斯坦的建议。

薛定谔也在忙于四处讲学。7月，他来到慕尼黑。德国物理学会的地方分会恰好也在那里聚会。已经在哥本哈根任职的海森堡特意赶回来参加。薛定谔的讲演吸引了满屋子的听众。结束时，后排的海森堡又忍不住提问：你这个波动理论如何能解释光电效应、康普顿散射？

这时的海森堡已经有了博士学位，不再是四年前当众质问玻尔的那个大学生。但他毕竟还只是助手、讲师，比苏黎士大学正教授差了几个级别。依然对海森堡看不惯的维恩教授忍无可忍，站出来痛斥海森堡没有礼貌。

维恩也是薛定谔的老朋友。薛定谔还在滑雪营地中琢磨他的方程时就一直与维恩通信报告进展。这时维恩信心十足也越俎代庖地向全场听众宣布，毋庸置疑，薛定谔教授肯定很快会找出办法来的。他转头又忠告海森堡：年轻人，你要明白我们现在再也不需要那莫名其妙的量子跃迁了。

在老权威面前，海森堡无计可施。在场的索末菲也没有出手辩护，让海森堡颇为失落。他只好给玻尔写信告了一状。玻尔阅后，即刻发信邀请薛定谔到哥本哈根一叙。

对海森堡来说，薛定谔是一大威胁。这并不是因为后者抢了他的风头：波动方程在数学计算上远远比他的矩阵简洁实用。海森堡最忌讳的还是薛定谔物理观念上的反动。

正如爱因斯坦所担忧，这两个几乎同时冒出来的新量子力学彼此水火不相容。它们重新点燃了物理学家在粒子与波之间持久的争执。海森堡的诘问打中了要害：薛定谔的确没法解释光电效应和康普顿散射，因为那是很明确的粒子行为。在爱因斯坦以光是粒子成功解释光电效应的四分之一世纪之后，薛定谔的电子是波却又在重蹈过去的覆辙。

海森堡的矩阵描述的是粒子的运动，出发点是分立、量子化的能级；薛定谔的方程却只有连续的波，作为本征值的能级之出现只是数学上的巧合。海森堡坚持可观测量，薛定谔却反其道而行之，跟着德布罗意采用了一个看不见摸不着、甚至无法解释的波。

在海森堡看来，这一切完全没有物理意义。薛定谔则反唇相讥，指出矩阵繁复隐晦，不具备波动方程简单明了的直观物理图像。

不过，这新一轮的粒子与波争议与以往不同。双方不再停留在思辩层面，各自都有了精确、完备的数学工具。这为他们貌似势不两立的分歧提供了一个切实的可比性。

连爱因斯坦都没有料到，这个原则性的立场之争只延续了区区几个星期。泡利率先声称他从数学上证明了矩阵和波动力学其实完全等价，不分彼此。与他许多发现一样，泡利只是在口头、书信中与朋友做了交流，懒得写论文正式发表。还是薛定谔几乎同时做出了自己的证明，发表于他那年第三篇论文：《关于海森堡-玻恩-约旦与我自己的量子力学之间的关系》，论证了二者的严格等价。

粒子乎？波乎？它们竟然在两个鸡同鸭讲的数学语言中殊途同归。

1925年12月，玻恩在完成他与海森堡、约旦合作的三人论文后启程去美国进行为期五个月的讲学访问。在那期间，他集中精力用矩阵力学计算两个粒子的碰撞过程。虽然有着雄厚的数学功底，他也没能取得进展。回到德国后，他看到薛定谔的论文极为震惊，立即确认那是更为优越的数学工具。但从粒子碰撞的实例中，他意识到那波的概念亟需澄清：到底是什么在波动？

1920年代中期的玻恩和他的儿子。

物理学家早已熟悉了两种不同的波。一是日常所见的水波、声波。它们是所处媒介的脉动：水或空气分子小尺度协调一致的振荡在大尺度上形成波动。波动的幅度便是分子振动的强度。另一种是电磁波。在以太被爱因斯坦的狭义相对论摒弃之后，电磁波没有媒介，是电磁场自身的振荡。电磁波的幅度是相应电磁场的强度。

德布罗意没有明确说明过他那伴随着粒子的波是什么。相应地，薛定谔干脆把他方程中描述振幅的变量直接称作“波函数（wave function）”——不管是什么波。

但薛定谔自己并无怀疑。他认定这个波是实实在在的，为电子或其它任何有质量的粒子提供了一个直观图像：它们不是只处于空间一个地点的粒子，其质量、电荷都同时弥漫于一个范围。波函数描述了它们的空间分布。

为了回应海森堡的质问，薛定谔试图把波函数的分布限制得非常狭窄，可以近似于粒子。这样的波在经典理论中也有例证，即“波包（wave packet）”或“孤立子（soliton）”。无奈，他的量子方程与经典波动方程一样，让这类局域性的波不稳定，随时间会很快耗散变为宽广的分布。显然，电子并没有表现出这样的行为。

玻恩对粒子的孤立特性深信不疑。在哥廷根他办公室的隔壁，因为探测到水银原子能量不连续而刚刚获得诺贝尔奖的弗兰克每天都在实验室里忙活。他的盖革计数器在不断地鸣叫，每个声响都意味着一颗粒子的抵达。他不是在计量什么波函数的分布。

通过对粒子碰撞的演算，玻恩清楚地看到薛定谔的物质波无法自圆其说。当一个粒子遭遇障碍时，它对应的波会像池子里的水波遇到石头一样在石头周围蔓延开来。能够被盖革计数器一个个计数的粒子不可能这样地“散开”。玻恩因此确信必须彻底扬弃薛定谔引以为傲的物理图像，只保留他那有效的数学形式。

在与爱因斯坦的频繁通信中，玻恩早就熟悉他这个老朋友曾提出的“鬼场”概念。为了给光子赋予波动性质，爱因斯坦曾设想作为粒子的光子是在一个鬼场的导引下运动，它在空间某个地点出现的几率取决于鬼场在该点的强度。

玻恩意识到薛定谔的波其实就是爱因斯坦的鬼场。它不是薛定谔所认为的物质、电荷在空间的分布，而只是标记粒子在某个地点出现的几率。这个几率随时间、地点的变化便是薛定谔方程所揭示的量子力学规律。

粒子相撞时，它们相应的波函数会同时向四面八方扩散。那不是粒子本身的发散，而只是这个粒子有着向各个方向飞离的可能性。玻恩于是指出，在量子力学里，我们不再能确切知道一个粒子碰撞后会往哪个方向飞，而只能计算它飞向某个方向的概率。

当粒子以一定几率“出现”在某个地点时，它依然会是一个完整的粒子，可以被盖革计数器捕捉、记录。它也会像经典的粒子一样再度碰撞，因此会出现海森堡所忧虑的光电效应和康普顿散射。

这样，在量子世界里，粒子的运动不再有确定的行为、结果。它们都取决于概率。

1926年年底，玻恩发表了他这个基于几率的波函数诠释，为量子力学天翻地覆的那一年划上句号。他特别指出这个想法源自爱因斯坦。

爱因斯坦却没有领情。他给玻恩写信曰：“量子力学的确洋洋大观。但我内心里有个声音在告诉我这还不是一个确实的答案。这个理论说了很多，却还没有让我们更接近那个‘老家伙【意指上帝】’的秘密。无论如何，我确信‘祂’不会掷骰子。”

（待续）

量子纠缠背后的故事（十八）：薛定谔的方程

爱因斯坦意外地收到玻色寄来的论文时即刻回了一张明信片，表示赞赏和祝贺。这张明信片在遥远的印度引起轰动，一夜之间改变了玻色的地位。他不仅得到大学永久教职，还获得一份政府奖学金去欧洲进修两年。

当他到德国领事馆申请签证时，官员只看了一眼爱因斯坦签名的明信片就盖了章。

然而，他却没有直接去柏林。

玻色完全没有意识到那篇论文中的重大突破。他自己更倾心的是随后不久又寄出的第二篇论文。这篇新论文试图纠正爱因斯坦的辐射理论，将原子所有辐射都归于自发辐射，摈弃“不必要”的受激辐射。

爱因斯坦照样好心肠地为他翻译、投递了这篇论文。但在译者按中，他言简意赅地指出了其中论点荒谬之处。玻色随后收到爱因斯坦更详细的私信，即刻心凉了半截，不敢贸然去面见大师。他逗留在巴黎，声称需要能在那里学一点实用的X射线技术。他曾经申请去居里夫人的实验室，但因为法语不过关而未被她接受。

等他一年后再度鼓足勇气来到柏林时，爱因斯坦早已独自完成了有关玻色-爱因斯坦统计、凝聚的三篇系列论文。他指示玻色研究海森堡新发表的矩阵力学，看看如何在这个新理论中运用他们的新统计方法。玻色尽了努力，但一无所获。回到印度后，他成为当地知名教授，但余生不再有科研成果问世。

虽然冠有爱因斯坦的大名，他们的量子统计理论没有引起物理学界的注意。一个例外是爱因斯坦收到他曾经短暂任职过的苏黎士大学的薛定谔（Erwin Schrodinger）教授来信，提醒他犯了一个低级的统计错误。

薛定谔第一次见到爱因斯坦时还是在1913年。那年爱因斯坦来到在薛定谔的出生地维也纳，在学术会议上做了关于引力的主题演讲（就是在那次会议上，他第一次得知玻尔的原子模型）。薛定谔当时26岁，已经获得博士学位三年，在为一名教授担任助手。

1914年时的青年薛定谔。

他父亲是大学毕业生，为生计放弃自己的科学梦而承继了家庭的小企业。薛定谔小时候在母亲和大姨、小姨的呵护、教导中长大。还没有识字时他就开始每天记日记：由他口授，母亲或阿姨忠实地记录。

他上的是维也纳历史最悠久的中学，那里最著名的毕业生便是声名远扬的玻尔兹曼。当薛定谔以优异成绩毕业进入维也纳大学时，他一心向往的是跟随玻尔兹曼学物理。然而，玻尔兹曼恰恰就在他入学前自杀了。不到19岁的薛定谔为之心碎。

在大学里，他出类拔萃，成为校园内人人皆知的“那个薛定谔”。临时请来接替玻尔兹曼的是哈森诺尔（Friedrich Hasenohrl），玻尔兹曼当年的学生。他只比大学新生年长十来岁，正是朝气蓬勃。哈森诺尔上课时从来不备课也不靠记忆，总是现场推演，以此解释物理学中的逻辑关系。他还经常邀请学生到家里聚餐或去野外滑雪，很快成为薛定谔心目中的偶像。

在大学期间和毕业之后，薛定谔喜欢的是做物理实验。1910年，他在哈森诺尔指导下以绝缘体在潮湿空气中导电性能的测量获得博士学位。

当他还在大学里争取职位时，第一次世界大战爆发。薛定谔和哈森诺尔都应征入伍，开赴意大利前线。薛定谔担任炮兵中尉。他的部队在战争初期与意大利人有过一次激烈的遭遇战。薛定谔因为“面对敌方猛烈炮火时表现出无畏、沉着的指挥能力”赢得嘉奖。

在那之后，他随奥匈帝国的军队四处驻防，没有再经历真正的战事。后来，他更被抽调到后方的军事学院，为防空部队讲授气候科学。

他钟爱的导师哈森诺尔没有那么幸运。他在战场上负伤痊愈后又坚持重上前线，在冲锋中被手榴弹炸死，享年40岁。

为期四年的战争对薛定谔的最大威胁却还是无聊。在战场和驻地无穷无尽的空暇中，他只能一个人冥思苦想物理和哲学问题。战争结束后，他将那时记下的大量笔记陆续整理成论文发表。

漂泊多年后，薛定谔终于在苏黎士大学赢得教授席位，那正是当初为爱因斯坦设立的位置。在1913年远距离聆听爱因斯坦的演讲后，薛定谔1924年9月在奥地利小镇因斯布鲁克的一次会议上再次见到爱因斯坦。这一次，他们有了单独的接触和交谈，开始朋友情谊。1925年2月，薛定谔在看到爱因斯坦运用玻色统计于理想气体的论文时，写信提醒文中的计数方式有问题。

爱因斯坦很快回了信，好脾气地回应：“你的非难不是没有道理，但我在论文中并没有犯错。”他特意在信中列出表格，细致地解释量子统计与经典统计的区别。

1925年2月28日爱因斯坦给薛定谔的信，用表格解释量子统计与经典统计的不同。

如果我们同时投掷两枚硬币，会有四种可能结果：两个正面、两个反面、硬币甲正面硬币乙反面、甲反面乙正面。它们以同样的机会出现。所以，两枚硬币都是正面或反面的几率各是1/4，而一正一反的几率会是2/4，或者1/2。

爱因斯坦在信中解释，如果那不是经典世界的硬币，而是量子世界的粒子——比如用电子自旋方向的上下作为正反面——那么根据玻色的洞见，这两个粒子互相不可分辨，不存在甲乙之分。这样，前面那甲正乙反与甲反乙正也无法区别，是同一个状态。于是，两枚硬币的结果便只有三种可能：都是正面、反面或一正一反。它们出现的几率分别是1/3。

这是量子世界与经典世界截然不同的一个表现。在经典世界里，无论我们把两枚硬币做得多么没有差别，它们依然会是两个不同的硬币。量子世界的粒子却天生没有自己的身份、彼此不可分辨而导致统计结果完全不同。

薛定谔看信后如醍醐灌顶，心悦诚服。他回信感激爱因斯坦的指导，坦承自己阅读玻色论文时没能看出其中新意，只是在爱因斯坦这个新统计理论中才意识到暗藏的颠覆性创新。

薛定谔比爱因斯坦小八岁，比玻恩小五岁，比玻尔则只小两岁。在萌芽中的量子领域，他属于这“上一代”。虽然在年龄上都已经过了创新的黄金年代，薛定谔在成就上显然还无法与他们为伍。

与他们以及更大一点的索末菲相比，薛定谔其实与爱因斯坦最为相像。自听了爱因斯坦的演讲之后，薛定谔的科研紧跟着爱因斯坦的足迹，涵盖了相对论、统计、辐射以及量子理论等诸多方面。也正因为如此，他是极个别仔细研究了爱因斯坦量子统计论文的物理学家之一。

而他的科研风格也与爱因斯坦相近：他习惯于单枪匹马，几乎没有学生、助手或合作者。

在十多年的努力中，薛定谔发表了相当多的论文，逐渐在学术界建立不大不小的声誉，赢得教授席位。但他的成果一直局限于在已有的理论框架上添砖加瓦，没有自己的创见、突破。这正是他与爱因斯坦等大师级教授的差距所在。

早在1909年，爱因斯坦发现了光同时具备波和粒子的双重特性。那时，他对遵从普朗克定律的电磁波进行统计分析，发现它的压强来自两个组成部分：一个是波一个是粒子。

这个现象在经典统计中从未出现过，因此他认为那是光的独特之处。

在玻色近乎无意地提出光的新量子统计后，爱因斯坦将其推广到所有遵从量子规律的粒子。他又故伎重施，对量子理想气体按照新的统计方式进行分析，赫然发现其压强也同样地来自两个成分：波和粒子。

于是，爱因斯坦宣布，不仅是光，所有的粒子其实都同时兼备着波和粒子的特性。他号召实验物理学家立即寻找、验证这一现象：如果让粒子束通过一条窄缝，应该能看到与光类似的衍射。

幸运女神正是在那一时刻眷顾了德布罗意：他的博士论文由郎之万转寄给因为“鬼场”和玻色统计已经有着足够思想、心理准备的爱因斯坦。那篇另外没有一个人能够读懂的论文在爱因斯坦眼里就只有一个精髓：所有粒子都伴随着某种波动，其频率由粒子的能量、动量决定。

正是德布罗意揭示的这个简单关系让爱因斯坦恍然大悟，明白了他自己统计分析背后的涵义。他因此称赞德布罗意“终于揭开了一个巨大面纱的一角”，并同时告诉洛伦兹他也已经发现支持德布罗意设想的证据。

在实验物理学家能够做出反应之前，薛定谔又是第一个注意到爱因斯坦这篇论文以及其脚注中提到的德布罗意。他好不容易才寻求到一份德布罗意的论文，马上又陷入那以法语表述的一团乱麻不可自拔。不得已，他再次给爱因斯坦写信求救。爱因斯坦诲人不倦，又一再回信帮助薛定谔理清德布罗意的思想。

也许就是出于对爱因斯坦的深信不疑，薛定谔与众不同地立即接受了波动概念。他很快发表一篇论文，用波动的假设推导了量子气体的统计性质，证实爱因斯坦已有的结论。那是他又一个锦上添花式的贡献。

爱因斯坦离开苏黎士已经11年了。苏黎士大学专门为他设置的那个副教授席位已经升格为正教授，正由薛定谔占据。隔壁，爱因斯坦曾经学习、工作过的苏黎士理工学院经历了大规模的扩展和提升，业已成为首屈一指的学府。那里有已经成名的德拜，还有希尔伯特的学生、正与爱因斯坦一起研究统一场论的理论家外尔（Hermann Weyl）。

两个学校关系紧密。物理学家每两星期举行一次共同讲座，交流探讨新进展。因为涉猎广泛，薛定谔经常是主讲者。1925年11月底，他着重讲解了德布罗意的波。

德拜听后觉得不可思议。他记起当初在索末菲手下学习时，导师曾谆谆教诲，处理波动现象必须有一个波动方程。没有方程而像德布罗意那样空口白话地谈论波，只是小孩子在玩游戏。

几个星期后，薛定谔在新年里又一次主讲。他开门见山地宣布，上次德拜提议我们应该有波动方程。那好吧，我已经找到了一个方程。

那过去的几星期是传统的圣诞假期。薛定谔收拾了他的笔记、书籍，扛上器械，到附近的高山滑雪胜地度假。与他相伴的不是他的妻子，而是听了他召唤专程从维也纳赶来的一位红颜知己。

这是薛定谔与爱因斯坦的又一共同点：他们的身边永远簇拥着众多年轻的女性朋友。

薛定谔从小英俊潇洒学业优秀，自青葱年代就很有女孩子缘分。大学毕业后，他有了第一个谈婚论嫁的女友，一个从小一起长大的小妹妹。他们两家是好朋友，但有一点贵族血统的女方父母却看不起只是小企业主的薛定谔父亲。薛定谔那时也只是贫匮的助教，前景渺茫，不具经济实力。为了能够养家糊口，薛定谔计划放弃科学，到父亲的工场中打工，准备接班。

那正是他父亲当年所做的选择。饱经世态炎凉的老父不愿意看到儿子重蹈覆辙，阻止了他的莽撞。在那场无疾而终的初恋之后，薛定谔从军、任教，日记中长达八年没有再出现一个浪漫性质的女性。

1920年，32岁的薛定谔与23岁的安妮（Annemarie Bertel）结婚。安妮也出身于中下层家庭，没有接受过正规教育。她对风流倜傥学识渊博的薛定谔无限崇拜，心甘情愿地做了贤妻。

1920年，薛定谔和安妮的结婚照。

那时战争已经结束，薛定谔为了前途离开奥地利，在德国几所大学中转战，寻找职业提升的机会。直到1921年赢得苏黎士大学席位后，他们才有了一时的稳定。那时，他也已经彻底放弃做实验，成为一个纯粹的理论学家。

他们的小家庭却一直处于动荡之中。薛定谔发现他们俩相敬如宾，非常合得来，却在性生活上不协调。安妮一直没能怀孕，也让渴望有个儿子的薛定谔非常失望。他们几次临近离婚，又都理智地悬崖勒马。最后，他们采纳“开放婚姻”：两人都自由、公开地拥有情人，同时友好地维系着婚姻和家庭。

在天主教盛行的维也纳、苏黎士，离婚是比婚外情更大得多的丑闻。尤其在知识分子精英阶层，婚外情甚至是前卫、浪漫的时尚。虽然并非主流，他们的选择也不失为明智。

沿袭他从小养成的习惯，薛定谔一直写有详细的日记，包括他与每一位女性的的浪漫经历和结局。他曾自豪地宣布，他所有的女朋友都是百分之百地愿意与他共度终生的伴侣。

然而，偏偏他1925年年底的日记没能保存下来。那个圣诞节在滑雪场与他朝夕共处的女友姓名身份于是成为科学史上不解之谜。

同样也无法知道他在山上那两个星期里究竟滑了几次雪，又有多少时间在春宵良度。唯一可以确定的是当他下山时，背包里的笔记本里已经有了一个崭新的方程式：描述德布罗意波的“薛定谔方程”。

1925年12月薛定谔笔记本中第一次出现波动方程。右边有他描画的波形。

薛定谔在苏黎士最好的朋友，也是他夫人安妮情人的外尔（外尔自己的夫人那时正与他们圈子里的另一位物理学家有着浪漫关系）戏谑：薛定谔是在“人生末期的一次色情爆发”中做出了他一辈子最重要的发现。那年，薛定谔已经38岁。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十七）：海森堡的矩阵

海森堡万万没想到他会在毕业时栽一个大跟斗。

索末菲从美国讲学回来后，海森堡也从哥廷根回到慕尼黑。虽然他在哥廷根的时间并不长，也已经足以让那里的玻恩给爱因斯坦写信报告：“海森堡绝对是与泡利同等的天才。”索末菲当然深有同感。他安排只上了三年大学的海森堡直接提交博士论文——正与泡利一样。

海森堡最突出的科研成果是在反常塞曼效应的解释中引进半量子数，曾引起广泛争议。为避免不必要的麻烦，索末菲建议海森堡另起炉灶，做一项流体力学的湍流研究作为学位项目。

湍流属于已经成熟的经典物理，只是繁复的数学计算使其成为难题。这对海森堡来说自然不是问题，他很快完成了论文。那是1923年7月，他也只有21岁。

四年前，曾在柏林大学与普朗克一起研究黑体辐射的维恩来到了慕尼黑。他理所当然地是海森堡答辩委员会的成员之一。已经年届花甲的维恩对他在这里次于索末菲的地位颇为不满，也对物理学越来越倾向于索末菲式的理论研究、忽视他所钟情的实验牢骚满腹。偏偏那年海森堡还选修了维恩的实验课却屡屡旷课，丝毫没当回事。维恩一直在等待机会，给索末菲和他的得意门生一点好看。

海森堡的答辩在下午五点举行。他信心十足，有条不紊地对答如流。突然，维恩问起一个与湍流不相干的实验设计问题。海森堡没有准备，不禁张口结舌，说不出个所以然。老练的维恩随即连续发问，逐步降低问题的难度，试探学生的知识底线。海森堡疲于应付，漏洞百出。旁边的索末菲屡次插话，问一些理论问题试图缓解局面，但无法扭转维恩的一意孤行。

不久，维恩以戏剧性的口吻问道：“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗？”年轻的海森堡已经丢盔卸甲，无以为答。

在随后的评议中，维恩坚持海森堡的物理基础知识欠缺，打出罕见的零分。索末菲针锋相对地给了个满分。陷入夹缝的另外两位教授只好明哲保身，给了及格分数。平均下来，海森堡还是以勉强及格的成绩赢得博士学位。

从教室里狼狈逃出后，海森堡当晚就离开了慕尼黑，跑到哥廷根去找玻恩诉苦。厚道的玻恩安慰海森堡，并保证不会因此撤回已经给了他的助手职位。

经此突然打击，曾经在阿尔卑斯山中劳筋骨苦心志的海森堡万念俱灰。他给父亲写信，悲愤地宣告他的物理生涯已然终结。然后，他与早年的童子军伙伴们再度聚集，远赴芬兰远足，在大自然中又重新寻回勇气和信心。

1924年3月，在哥廷根给玻恩当助手的海森堡利用假期第一次来到哥本哈根。他渴望再一次当面请教玻尔，理清他越来越强烈的疑惑。时间治愈了他论文答辩的心理伤痕，却还无法消除他对量子理论的迷茫。

1924年，海森堡在哥廷根讲学。

玻尔的原子模型已经问世十年了，在氢原子、氦离子的光谱上成功之后裹足不前，似乎已经穷途末路。泡利的氢分子离子只是那些年无数失败中的一例。即使在那少有的成功背后，这个模型也只能给出光谱线的频率，无法计算谱线的强度。更糟糕地，它预测的谱线也并不完全与实验相符：在准确预测观察到的谱线同时，也经常会预测出一些不存在的“多余”谱线。

这说明玻尔的原子模型其实存在重大的缺陷。海森堡不得不怀疑那些少有的成功不过是瞎猫撞上了死老鼠，并不是真实的物理。

他在波尔研究所的客房里住了几天，一直没能见到玻尔。终于，玻尔突然出现在他的门口，二话不说告诉他收拾行李，第二天一早出远门。

接下来，这两个身体强壮、酷爱野外生活的师徒长途背包远足，在三天里徒步了大约160公里。玻尔带着海森堡领略了丹麦北部的山野风光，包括传说中哈姆雷特王子（Prince Hamlet）的宫殿。

玻尔解释道，这个才开张不久的研究所已经容纳不下越来越多的来访者。他已经买下旁边的地皮，正在筹建新楼以扩展。这些繁忙的事物占据了他太多的时间精力，只有这样逃出来才可能有时间思考。

在那几个难得的日子里，他们没有怎么谈论量子、物理，而是老朋友似地交流各自的成长经历，尤其是战争对生活所造成的影响。这对海森堡又是一次出乎意料的人生体验。他感受到玻尔与他熟悉的那些传统德国教授迥然不同，是一个真真切切的性情中人。

他决定接受邀请，半年后来哥本哈根接替泡利的职位。

回到哥廷根，海森堡终于第一次见到了他心目中的偶像爱因斯坦。

两年前，海森堡曾经在莱比锡的科学院年会上扑空，没能见到这位世界著名的物理学家。这一次，已经恢复正常活动的爱因斯坦来到哥廷根讲学。年轻的海森堡又一次得以单独与大师在街头漫步。

那正是玻尔的BKS论文问世不久的日子。刚从哥本哈根访问回来而对玻尔无限崇拜的海森堡迫切地想知道爱因斯坦的看法。虽然早已有了思想准备，他还是为爱因斯坦所表达的反对态度而震惊。他第一次切身领略，即使是最顶级的物理大师，他们之间也会有着尖锐的原则性分歧。

那年秋季，玻恩跟随着索末菲的脚步去美国讲学。落空的助手海森堡在玻尔的协助下争取到一笔资助，前往哥本哈根任职。

玻尔研究所的年轻人也正处于与海森堡相似的彷徨迷茫之中。BKS论文遭到了物理学界几乎一致的反对。德布罗意把电子看作波动的新思想同样地引起非议。虽然他的驻波模式为玻尔原子模型中的允许轨道提供了依据，玻尔等人却无法理解、接受电子的轨道运动如何能与虚无缥缈的波联系起来。

在一片思想混乱中，玻尔迫切期望能有新的突破。在他的指导下，克莱默正在尝试一个新的途径，他邀请海森堡协助。

在那篇BKS论文里，玻尔和克莱默——以及旁观的斯莱特——不仅放弃了传统的能量、动量守恒，还舍弃了玻尔模型的精髓：电子的轨道跃迁。十年前，玻尔做出他最精彩的突破：电子发出、吸收辐射的频率与其自身运动的频率无关，只取决于跃迁前后轨道的能量差。那是爱因斯坦不曾想象出的神来之笔。但也正因为这一“无关”，他的模型只能计算辐射的频率，无从推导谱线的强度。

他们于是重新想象原子内部是一系列谐振子。它们的频率与发射、吸收的辐射相同而共振，由此计算康普顿效应中辐射与电子的相互作用。这样，十年后的玻尔又回到了整整四分之一世纪以前普朗克计算黑体辐射的老路。

那BKS论文没有一个方程式，只是洋洋洒洒地论辩。为这个框架填补数学内涵便是克莱默的任务。按照玻尔的对应原理，电子如果是在非常高能量的轨道上运行，其行为会等同于经典物理。在那里，电子轨道自身的频率与其作为谐振子吸收、发射辐射的频率趋于一致。

玻尔原始模型中的电子轨道是圆形，只有单一的周期和频率。经过索末菲推广后，轨道变成椭圆，频率不再单一。这个问题在数学上很容易处理，可以应用所谓的“傅立叶变换（Fourier transform）”。克莱默和海森堡如此这般，将高能量轨道上电子的位置、动量随时间的变化处理成不同频率组成部分的叠加，试图从中找到不同频率的相对强度来对应于光谱线的强度。

他们获得了成功。不过那成功依然于事无补。这个变换只适用于能量非常高的轨道，无法相应地用于低能量的轨道。而那才是真正需要解释的量子世界。

那年年底，海森堡收到泡利来信，通告他刚刚作出的重大突破。他看到这位向来偏爱严谨数学推导、厌恶形而上学式夸夸其谈的师兄居然捡起了他丢下的第四个量子数，并无中生有地提出不相容原理不禁莞尔，立即回信调侃了一番。也许量子世界如此诡异，连泡利也无法洁身自好。

与师兄相比，海森堡对他在哥本哈根的进展很不满意。他没能找到消除量子理论疑惑的灵丹妙药，只能带着依然的满腹狐疑在1925年5月返回哥廷根。

倒是玻尔不知如何看到了一线曙光。他宣布：“现在一切都在海森堡的手里了，他得为我们找出一条摆脱困境的途径。”

回到哥廷根后，海森堡患上严重的季节性花粉过敏。他的整个脑袋红肿得不成人形，眼睛也睁不开。于是他不得不向玻恩请了两个星期假，自己带上几本书和一大叠演算纸乘火车到德国的最北端，然后搭船上了北海中的一座小岛。

那是一个面积不过2.6平方公里的荒岛，上面只有几间简陋营房供度假者使用。对海森堡来说，这个岛的优势正在于它的光秃：没有花粉。

在海风的吹拂下，他的症状逐渐消退，脑袋开始清醒。他整天在岛上徒步攀爬，阅读、背诵歌德（Johann von Goethe）的经典诗篇，间或也思考他的物理。

从牛顿开始，物理学家对物体运动的描述集中于位置和速度。只要知道物体在某一个时刻的位置和速度，牛顿定律就可以通过其受力环境准确地计算它在将来任何时刻的位置和速度。玻尔的原子模型也是一样：电子在某一时刻会出现在特定轨道上的某一位置，有着某个特定的速度。

然而，与牛顿所熟悉的物体不同，从来没有人真正看到过电子，甚至原子。泡利的教父马赫曾经因此断然否决原子的存在，因为这个存在无法实证。如果原子的存在尚且存疑，何况其内部的电子轨道？

泡利在那篇被爱因斯坦赞誉“对科学思想心领神会”的相对论综述中，曾为相对论的思想起源赋于逻辑实证的阐述。他以比爱因斯坦更为熟稔的笔触回顾了爱因斯坦如何通过一系列“假想试验”论证了牛顿绝对空间、绝对时间之不可能存在、引力与加速的无法区分，从而建立相对论的新理念。泡利在文中总结道：“在物理上，对实验中无法观测的物理量的讨论是毫无意义的……那些只会是假想概念，没有物理意义。”

从小就对哲学深感兴趣的海森堡对师兄的逻辑实证描述并不陌生。在这个小岛上，他突然领悟电子的轨道，以及它的位置和速度其实都是“实验中无法观测的物理量”。对于原子来说，实验中可以观测的物理量只有光谱：那一条条光谱线的频率和强度。除此之外，一切有关原子的描述都只是“假想概念”。

于是，他意识到必须整个地颠倒玻尔的原子模型：不能从假想的电子轨道出发计算光谱线，而应该是通过光谱的物理变量来推算电子的运动。其实，克莱默已经无意识地走上了这条路。在他们针对高能量状态的计算中，电子“轨道”经过傅立叶变换分解为不同频率的成分，那正是用光谱变量来描述电子的位置和速度。其结果是电子的位置和速度分别是两个数学多项式：各个频率成分的叠加。

在具备量子特性的低能量状态中，电子的轨道运动本身不再对应于辐射的频率。因此同样的做法无法适用。海森堡明白了那只是他们拘泥于轨道这个假想概念的结果。如果电子的轨道并不存在，电子的运动依然可以通过光谱变量推算。在低能量状态中，电子既不会像玻尔想象的在固定的轨道上运转，也不会在两个轨道之间“跃迁”。电子只是按照所有可能存在的谱线变量所决定的模式运动。

为了找出所有可能辐射频率的组合，海森堡发现他不再能用傅立叶变换后出现的简单多项式，而必须制作出一个表格。那是一种生活中很常见的表格。有些地图上会看到有大城市之间的距离表；在体育新闻中，循环赛各队之间比赛的比分也常常以这样的表格来展示。表格中的行和列分别是城市或球队，表中则列出它们之间的距离、比分等各种数值。

京沪高铁主要站点距离列表示意图。

海森堡制作的表格类似于城市的距离表。不同的是每一个“城市”代表原子的一个能级，城市之间的距离就是能级之间的能量差，也就是辐射的频率。这个列表可以非常大，因为电子的能级可以有无穷多个。他同时也可以另外做一个相同的列表，其中的数值不再是辐射的频率而是强度，也就是爱因斯坦辐射理论中的那个吸收或发射的可能性。

然后，海森堡仿造傅立叶变换的多项式以这些列表构造出电子位置、速度的表达方式，以及相应的物理规律。这时他需要用这些列表做代数运算，于是他不得不摸索出一套如何将两个表相加、相乘的法则。他费了好一番功夫才理清了这些头绪，发现这个新体系居然既有着逻辑上的自洽，也符合着物理的能量守恒。

这时已经是凌晨三点。他无法入睡，干脆跑到室外的海边，在黑暗中攀登上一块高高的、延伸到海面上的巨石，坐着等待日出。他并不明白自己刚刚发现了什么，但他知道“事情已经发生了（something has happened）”。

十来天后，海森堡终于下了岛。他在回程中特意先去了一趟汉堡，征求师兄的意见。泡利听了他一番语无伦次的描述，罕见地未能当机立断地指出其中谬误，只催促他赶紧写出论文发表。这给了海森堡莫大的信心。

又费了一番功夫，海森堡写出了论文初稿。虽然他对玻尔无比尊敬，他一时没敢向玻尔透露这一进展。在哥本哈根与克莱默合作的那几个月里，他已经领教过玻尔对论文大刀阔斧、反复无常的修改套路。为避免那样的命运，海森堡将论文就近交给了玻恩。然后，他自己启程前往英国剑桥履行早就计划好的学术访问，顺便又与童子军小伙伴们相聚，在英吉利海峡沿岸远足。

玻恩果然不假思索地就把论文转交给《物理学杂志》发表。但他放心不下海森堡的那个列表，尤其是他为列表发明的运算法则。熟谙数学的玻恩总觉得那一套似曾相识。直到他七月中去参加德国物理学会的年会时，他才想起来那是多年前还在学数学时见到过的“矩阵（matrix）”。

海森堡式的列表在古代就有过雏形。半个世纪前，剑桥的著名数学家凯利（Arthur Cayley）为其赋予严格数学定义，称之为矩阵并发展了相应的代数。海森堡自己琢磨出来的那些运算规则正是凯利矩阵代数的一部分。在那之前，矩阵代数只是数学的一个隐晦的分支，还从来没有过任何实际意义，故也不为人所知。

玻恩在会上找到泡利，提出一起将海森堡的新理论用凯利的数学规范化。不料泡利竟一口回绝。酷爱数学严谨的泡利这次居然声称他师弟的工作是一幅精彩的物理图像，容不得玻恩用某个纯数学体系糟蹋。

玻恩回家后只好向他的新助手约旦(Pascual Jordan）求教。约旦刚刚得到博士学位，却也是一位精通数学的鬼才。他们恶补了一番矩阵代数，将海森堡在小岛上的粗糙思想以完整的数学方式表达出来。海森堡度假回来后立刻也加入了这一行列。

1925年9月，海森堡自己的论文率先问世。两个月后，玻恩和约旦发表了他们充实海森堡数学基础的论文。1926年2月，玻恩、约旦和海森堡联名发表“三人论文”，一举奠定所谓的“矩阵力学”。

也在那同一时期，玻恩和海森堡相继开始使用一个新名词：“量子力学”。它标志着一个有别于牛顿力学的新力学体系的诞生。

（待续）