量子纠缠背后的故事（十八）：薛定谔的方程

爱因斯坦意外地收到玻色寄来的论文时即刻回了一张明信片，表示赞赏和祝贺。这张明信片在遥远的印度引起轰动，一夜之间改变了玻色的地位。他不仅得到大学永久教职，还获得一份政府奖学金去欧洲进修两年。

当他到德国领事馆申请签证时，官员只看了一眼爱因斯坦签名的明信片就盖了章。

然而，他却没有直接去柏林。

玻色完全没有意识到那篇论文中的重大突破。他自己更倾心的是随后不久又寄出的第二篇论文。这篇新论文试图纠正爱因斯坦的辐射理论，将原子所有辐射都归于自发辐射，摈弃“不必要”的受激辐射。

爱因斯坦照样好心肠地为他翻译、投递了这篇论文。但在译者按中，他言简意赅地指出了其中论点荒谬之处。玻色随后收到爱因斯坦更详细的私信，即刻心凉了半截，不敢贸然去面见大师。他逗留在巴黎，声称需要能在那里学一点实用的X射线技术。他曾经申请去居里夫人的实验室，但因为法语不过关而未被她接受。

等他一年后再度鼓足勇气来到柏林时，爱因斯坦早已独自完成了有关玻色-爱因斯坦统计、凝聚的三篇系列论文。他指示玻色研究海森堡新发表的矩阵力学，看看如何在这个新理论中运用他们的新统计方法。玻色尽了努力，但一无所获。回到印度后，他成为当地知名教授，但余生不再有科研成果问世。

虽然冠有爱因斯坦的大名，他们的量子统计理论没有引起物理学界的注意。一个例外是爱因斯坦收到他曾经短暂任职过的苏黎士大学的薛定谔（Erwin Schrodinger）教授来信，提醒他犯了一个低级的统计错误。

薛定谔第一次见到爱因斯坦时还是在1913年。那年爱因斯坦来到在薛定谔的出生地维也纳，在学术会议上做了关于引力的主题演讲（就是在那次会议上，他第一次得知玻尔的原子模型）。薛定谔当时26岁，已经获得博士学位三年，在为一名教授担任助手。

1914年时的青年薛定谔。

他父亲是大学毕业生，为生计放弃自己的科学梦而承继了家庭的小企业。薛定谔小时候在母亲和大姨、小姨的呵护、教导中长大。还没有识字时他就开始每天记日记：由他口授，母亲或阿姨忠实地记录。

他上的是维也纳历史最悠久的中学，那里最著名的毕业生便是声名远扬的玻尔兹曼。当薛定谔以优异成绩毕业进入维也纳大学时，他一心向往的是跟随玻尔兹曼学物理。然而，玻尔兹曼恰恰就在他入学前自杀了。不到19岁的薛定谔为之心碎。

在大学里，他出类拔萃，成为校园内人人皆知的“那个薛定谔”。临时请来接替玻尔兹曼的是哈森诺尔（Friedrich Hasenohrl），玻尔兹曼当年的学生。他只比大学新生年长十来岁，正是朝气蓬勃。哈森诺尔上课时从来不备课也不靠记忆，总是现场推演，以此解释物理学中的逻辑关系。他还经常邀请学生到家里聚餐或去野外滑雪，很快成为薛定谔心目中的偶像。

在大学期间和毕业之后，薛定谔喜欢的是做物理实验。1910年，他在哈森诺尔指导下以绝缘体在潮湿空气中导电性能的测量获得博士学位。

当他还在大学里争取职位时，第一次世界大战爆发。薛定谔和哈森诺尔都应征入伍，开赴意大利前线。薛定谔担任炮兵中尉。他的部队在战争初期与意大利人有过一次激烈的遭遇战。薛定谔因为“面对敌方猛烈炮火时表现出无畏、沉着的指挥能力”赢得嘉奖。

在那之后，他随奥匈帝国的军队四处驻防，没有再经历真正的战事。后来，他更被抽调到后方的军事学院，为防空部队讲授气候科学。

他钟爱的导师哈森诺尔没有那么幸运。他在战场上负伤痊愈后又坚持重上前线，在冲锋中被手榴弹炸死，享年40岁。

为期四年的战争对薛定谔的最大威胁却还是无聊。在战场和驻地无穷无尽的空暇中，他只能一个人冥思苦想物理和哲学问题。战争结束后，他将那时记下的大量笔记陆续整理成论文发表。

漂泊多年后，薛定谔终于在苏黎士大学赢得教授席位，那正是当初为爱因斯坦设立的位置。在1913年远距离聆听爱因斯坦的演讲后，薛定谔1924年9月在奥地利小镇因斯布鲁克的一次会议上再次见到爱因斯坦。这一次，他们有了单独的接触和交谈，开始朋友情谊。1925年2月，薛定谔在看到爱因斯坦运用玻色统计于理想气体的论文时，写信提醒文中的计数方式有问题。

爱因斯坦很快回了信，好脾气地回应：“你的非难不是没有道理，但我在论文中并没有犯错。”他特意在信中列出表格，细致地解释量子统计与经典统计的区别。

1925年2月28日爱因斯坦给薛定谔的信，用表格解释量子统计与经典统计的不同。

如果我们同时投掷两枚硬币，会有四种可能结果：两个正面、两个反面、硬币甲正面硬币乙反面、甲反面乙正面。它们以同样的机会出现。所以，两枚硬币都是正面或反面的几率各是1/4，而一正一反的几率会是2/4，或者1/2。

爱因斯坦在信中解释，如果那不是经典世界的硬币，而是量子世界的粒子——比如用电子自旋方向的上下作为正反面——那么根据玻色的洞见，这两个粒子互相不可分辨，不存在甲乙之分。这样，前面那甲正乙反与甲反乙正也无法区别，是同一个状态。于是，两枚硬币的结果便只有三种可能：都是正面、反面或一正一反。它们出现的几率分别是1/3。

这是量子世界与经典世界截然不同的一个表现。在经典世界里，无论我们把两枚硬币做得多么没有差别，它们依然会是两个不同的硬币。量子世界的粒子却天生没有自己的身份、彼此不可分辨而导致统计结果完全不同。

薛定谔看信后如醍醐灌顶，心悦诚服。他回信感激爱因斯坦的指导，坦承自己阅读玻色论文时没能看出其中新意，只是在爱因斯坦这个新统计理论中才意识到暗藏的颠覆性创新。

薛定谔比爱因斯坦小八岁，比玻恩小五岁，比玻尔则只小两岁。在萌芽中的量子领域，他属于这“上一代”。虽然在年龄上都已经过了创新的黄金年代，薛定谔在成就上显然还无法与他们为伍。

与他们以及更大一点的索末菲相比，薛定谔其实与爱因斯坦最为相像。自听了爱因斯坦的演讲之后，薛定谔的科研紧跟着爱因斯坦的足迹，涵盖了相对论、统计、辐射以及量子理论等诸多方面。也正因为如此，他是极个别仔细研究了爱因斯坦量子统计论文的物理学家之一。

而他的科研风格也与爱因斯坦相近：他习惯于单枪匹马，几乎没有学生、助手或合作者。

在十多年的努力中，薛定谔发表了相当多的论文，逐渐在学术界建立不大不小的声誉，赢得教授席位。但他的成果一直局限于在已有的理论框架上添砖加瓦，没有自己的创见、突破。这正是他与爱因斯坦等大师级教授的差距所在。

早在1909年，爱因斯坦发现了光同时具备波和粒子的双重特性。那时，他对遵从普朗克定律的电磁波进行统计分析，发现它的压强来自两个组成部分：一个是波一个是粒子。

这个现象在经典统计中从未出现过，因此他认为那是光的独特之处。

在玻色近乎无意地提出光的新量子统计后，爱因斯坦将其推广到所有遵从量子规律的粒子。他又故伎重施，对量子理想气体按照新的统计方式进行分析，赫然发现其压强也同样地来自两个成分：波和粒子。

于是，爱因斯坦宣布，不仅是光，所有的粒子其实都同时兼备着波和粒子的特性。他号召实验物理学家立即寻找、验证这一现象：如果让粒子束通过一条窄缝，应该能看到与光类似的衍射。

幸运女神正是在那一时刻眷顾了德布罗意：他的博士论文由郎之万转寄给因为“鬼场”和玻色统计已经有着足够思想、心理准备的爱因斯坦。那篇另外没有一个人能够读懂的论文在爱因斯坦眼里就只有一个精髓：所有粒子都伴随着某种波动，其频率由粒子的能量、动量决定。

正是德布罗意揭示的这个简单关系让爱因斯坦恍然大悟，明白了他自己统计分析背后的涵义。他因此称赞德布罗意“终于揭开了一个巨大面纱的一角”，并同时告诉洛伦兹他也已经发现支持德布罗意设想的证据。

在实验物理学家能够做出反应之前，薛定谔又是第一个注意到爱因斯坦这篇论文以及其脚注中提到的德布罗意。他好不容易才寻求到一份德布罗意的论文，马上又陷入那以法语表述的一团乱麻不可自拔。不得已，他再次给爱因斯坦写信求救。爱因斯坦诲人不倦，又一再回信帮助薛定谔理清德布罗意的思想。

也许就是出于对爱因斯坦的深信不疑，薛定谔与众不同地立即接受了波动概念。他很快发表一篇论文，用波动的假设推导了量子气体的统计性质，证实爱因斯坦已有的结论。那是他又一个锦上添花式的贡献。

爱因斯坦离开苏黎士已经11年了。苏黎士大学专门为他设置的那个副教授席位已经升格为正教授，正由薛定谔占据。隔壁，爱因斯坦曾经学习、工作过的苏黎士理工学院经历了大规模的扩展和提升，业已成为首屈一指的学府。那里有已经成名的德拜，还有希尔伯特的学生、正与爱因斯坦一起研究统一场论的理论家外尔（Hermann Weyl）。

两个学校关系紧密。物理学家每两星期举行一次共同讲座，交流探讨新进展。因为涉猎广泛，薛定谔经常是主讲者。1925年11月底，他着重讲解了德布罗意的波。

德拜听后觉得不可思议。他记起当初在索末菲手下学习时，导师曾谆谆教诲，处理波动现象必须有一个波动方程。没有方程而像德布罗意那样空口白话地谈论波，只是小孩子在玩游戏。

几个星期后，薛定谔在新年里又一次主讲。他开门见山地宣布，上次德拜提议我们应该有波动方程。那好吧，我已经找到了一个方程。

那过去的几星期是传统的圣诞假期。薛定谔收拾了他的笔记、书籍，扛上器械，到附近的高山滑雪胜地度假。与他相伴的不是他的妻子，而是听了他召唤专程从维也纳赶来的一位红颜知己。

这是薛定谔与爱因斯坦的又一共同点：他们的身边永远簇拥着众多年轻的女性朋友。

薛定谔从小英俊潇洒学业优秀，自青葱年代就很有女孩子缘分。大学毕业后，他有了第一个谈婚论嫁的女友，一个从小一起长大的小妹妹。他们两家是好朋友，但有一点贵族血统的女方父母却看不起只是小企业主的薛定谔父亲。薛定谔那时也只是贫匮的助教，前景渺茫，不具经济实力。为了能够养家糊口，薛定谔计划放弃科学，到父亲的工场中打工，准备接班。

那正是他父亲当年所做的选择。饱经世态炎凉的老父不愿意看到儿子重蹈覆辙，阻止了他的莽撞。在那场无疾而终的初恋之后，薛定谔从军、任教，日记中长达八年没有再出现一个浪漫性质的女性。

1920年，32岁的薛定谔与23岁的安妮（Annemarie Bertel）结婚。安妮也出身于中下层家庭，没有接受过正规教育。她对风流倜傥学识渊博的薛定谔无限崇拜，心甘情愿地做了贤妻。

1920年，薛定谔和安妮的结婚照。

那时战争已经结束，薛定谔为了前途离开奥地利，在德国几所大学中转战，寻找职业提升的机会。直到1921年赢得苏黎士大学席位后，他们才有了一时的稳定。那时，他也已经彻底放弃做实验，成为一个纯粹的理论学家。

他们的小家庭却一直处于动荡之中。薛定谔发现他们俩相敬如宾，非常合得来，却在性生活上不协调。安妮一直没能怀孕，也让渴望有个儿子的薛定谔非常失望。他们几次临近离婚，又都理智地悬崖勒马。最后，他们采纳“开放婚姻”：两人都自由、公开地拥有情人，同时友好地维系着婚姻和家庭。

在天主教盛行的维也纳、苏黎士，离婚是比婚外情更大得多的丑闻。尤其在知识分子精英阶层，婚外情甚至是前卫、浪漫的时尚。虽然并非主流，他们的选择也不失为明智。

沿袭他从小养成的习惯，薛定谔一直写有详细的日记，包括他与每一位女性的的浪漫经历和结局。他曾自豪地宣布，他所有的女朋友都是百分之百地愿意与他共度终生的伴侣。

然而，偏偏他1925年年底的日记没能保存下来。那个圣诞节在滑雪场与他朝夕共处的女友姓名身份于是成为科学史上不解之谜。

同样也无法知道他在山上那两个星期里究竟滑了几次雪，又有多少时间在春宵良度。唯一可以确定的是当他下山时，背包里的笔记本里已经有了一个崭新的方程式：描述德布罗意波的“薛定谔方程”。

1925年12月薛定谔笔记本中第一次出现波动方程。右边有他描画的波形。

薛定谔在苏黎士最好的朋友，也是他夫人安妮情人的外尔（外尔自己的夫人那时正与他们圈子里的另一位物理学家有着浪漫关系）戏谑：薛定谔是在“人生末期的一次色情爆发”中做出了他一辈子最重要的发现。那年，薛定谔已经38岁。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十七）：海森堡的矩阵

海森堡万万没想到他会在毕业时栽一个大跟斗。

索末菲从美国讲学回来后，海森堡也从哥廷根回到慕尼黑。虽然他在哥廷根的时间并不长，也已经足以让那里的玻恩给爱因斯坦写信报告：“海森堡绝对是与泡利同等的天才。”索末菲当然深有同感。他安排只上了三年大学的海森堡直接提交博士论文——正与泡利一样。

海森堡最突出的科研成果是在反常塞曼效应的解释中引进半量子数，曾引起广泛争议。为避免不必要的麻烦，索末菲建议海森堡另起炉灶，做一项流体力学的湍流研究作为学位项目。

湍流属于已经成熟的经典物理，只是繁复的数学计算使其成为难题。这对海森堡来说自然不是问题，他很快完成了论文。那是1923年7月，他也只有21岁。

四年前，曾在柏林大学与普朗克一起研究黑体辐射的维恩来到了慕尼黑。他理所当然地是海森堡答辩委员会的成员之一。已经年届花甲的维恩对他在这里次于索末菲的地位颇为不满，也对物理学越来越倾向于索末菲式的理论研究、忽视他所钟情的实验牢骚满腹。偏偏那年海森堡还选修了维恩的实验课却屡屡旷课，丝毫没当回事。维恩一直在等待机会，给索末菲和他的得意门生一点好看。

海森堡的答辩在下午五点举行。他信心十足，有条不紊地对答如流。突然，维恩问起一个与湍流不相干的实验设计问题。海森堡没有准备，不禁张口结舌，说不出个所以然。老练的维恩随即连续发问，逐步降低问题的难度，试探学生的知识底线。海森堡疲于应付，漏洞百出。旁边的索末菲屡次插话，问一些理论问题试图缓解局面，但无法扭转维恩的一意孤行。

不久，维恩以戏剧性的口吻问道：“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗？”年轻的海森堡已经丢盔卸甲，无以为答。

在随后的评议中，维恩坚持海森堡的物理基础知识欠缺，打出罕见的零分。索末菲针锋相对地给了个满分。陷入夹缝的另外两位教授只好明哲保身，给了及格分数。平均下来，海森堡还是以勉强及格的成绩赢得博士学位。

从教室里狼狈逃出后，海森堡当晚就离开了慕尼黑，跑到哥廷根去找玻恩诉苦。厚道的玻恩安慰海森堡，并保证不会因此撤回已经给了他的助手职位。

经此突然打击，曾经在阿尔卑斯山中劳筋骨苦心志的海森堡万念俱灰。他给父亲写信，悲愤地宣告他的物理生涯已然终结。然后，他与早年的童子军伙伴们再度聚集，远赴芬兰远足，在大自然中又重新寻回勇气和信心。

1924年3月，在哥廷根给玻恩当助手的海森堡利用假期第一次来到哥本哈根。他渴望再一次当面请教玻尔，理清他越来越强烈的疑惑。时间治愈了他论文答辩的心理伤痕，却还无法消除他对量子理论的迷茫。

1924年，海森堡在哥廷根讲学。

玻尔的原子模型已经问世十年了，在氢原子、氦离子的光谱上成功之后裹足不前，似乎已经穷途末路。泡利的氢分子离子只是那些年无数失败中的一例。即使在那少有的成功背后，这个模型也只能给出光谱线的频率，无法计算谱线的强度。更糟糕地，它预测的谱线也并不完全与实验相符：在准确预测观察到的谱线同时，也经常会预测出一些不存在的“多余”谱线。

这说明玻尔的原子模型其实存在重大的缺陷。海森堡不得不怀疑那些少有的成功不过是瞎猫撞上了死老鼠，并不是真实的物理。

他在波尔研究所的客房里住了几天，一直没能见到玻尔。终于，玻尔突然出现在他的门口，二话不说告诉他收拾行李，第二天一早出远门。

接下来，这两个身体强壮、酷爱野外生活的师徒长途背包远足，在三天里徒步了大约160公里。玻尔带着海森堡领略了丹麦北部的山野风光，包括传说中哈姆雷特王子（Prince Hamlet）的宫殿。

玻尔解释道，这个才开张不久的研究所已经容纳不下越来越多的来访者。他已经买下旁边的地皮，正在筹建新楼以扩展。这些繁忙的事物占据了他太多的时间精力，只有这样逃出来才可能有时间思考。

在那几个难得的日子里，他们没有怎么谈论量子、物理，而是老朋友似地交流各自的成长经历，尤其是战争对生活所造成的影响。这对海森堡又是一次出乎意料的人生体验。他感受到玻尔与他熟悉的那些传统德国教授迥然不同，是一个真真切切的性情中人。

他决定接受邀请，半年后来哥本哈根接替泡利的职位。

回到哥廷根，海森堡终于第一次见到了他心目中的偶像爱因斯坦。

两年前，海森堡曾经在莱比锡的科学院年会上扑空，没能见到这位世界著名的物理学家。这一次，已经恢复正常活动的爱因斯坦来到哥廷根讲学。年轻的海森堡又一次得以单独与大师在街头漫步。

那正是玻尔的BKS论文问世不久的日子。刚从哥本哈根访问回来而对玻尔无限崇拜的海森堡迫切地想知道爱因斯坦的看法。虽然早已有了思想准备，他还是为爱因斯坦所表达的反对态度而震惊。他第一次切身领略，即使是最顶级的物理大师，他们之间也会有着尖锐的原则性分歧。

那年秋季，玻恩跟随着索末菲的脚步去美国讲学。落空的助手海森堡在玻尔的协助下争取到一笔资助，前往哥本哈根任职。

玻尔研究所的年轻人也正处于与海森堡相似的彷徨迷茫之中。BKS论文遭到了物理学界几乎一致的反对。德布罗意把电子看作波动的新思想同样地引起非议。虽然他的驻波模式为玻尔原子模型中的允许轨道提供了依据，玻尔等人却无法理解、接受电子的轨道运动如何能与虚无缥缈的波联系起来。

在一片思想混乱中，玻尔迫切期望能有新的突破。在他的指导下，克莱默正在尝试一个新的途径，他邀请海森堡协助。

在那篇BKS论文里，玻尔和克莱默——以及旁观的斯莱特——不仅放弃了传统的能量、动量守恒，还舍弃了玻尔模型的精髓：电子的轨道跃迁。十年前，玻尔做出他最精彩的突破：电子发出、吸收辐射的频率与其自身运动的频率无关，只取决于跃迁前后轨道的能量差。那是爱因斯坦不曾想象出的神来之笔。但也正因为这一“无关”，他的模型只能计算辐射的频率，无从推导谱线的强度。

他们于是重新想象原子内部是一系列谐振子。它们的频率与发射、吸收的辐射相同而共振，由此计算康普顿效应中辐射与电子的相互作用。这样，十年后的玻尔又回到了整整四分之一世纪以前普朗克计算黑体辐射的老路。

那BKS论文没有一个方程式，只是洋洋洒洒地论辩。为这个框架填补数学内涵便是克莱默的任务。按照玻尔的对应原理，电子如果是在非常高能量的轨道上运行，其行为会等同于经典物理。在那里，电子轨道自身的频率与其作为谐振子吸收、发射辐射的频率趋于一致。

玻尔原始模型中的电子轨道是圆形，只有单一的周期和频率。经过索末菲推广后，轨道变成椭圆，频率不再单一。这个问题在数学上很容易处理，可以应用所谓的“傅立叶变换（Fourier transform）”。克莱默和海森堡如此这般，将高能量轨道上电子的位置、动量随时间的变化处理成不同频率组成部分的叠加，试图从中找到不同频率的相对强度来对应于光谱线的强度。

他们获得了成功。不过那成功依然于事无补。这个变换只适用于能量非常高的轨道，无法相应地用于低能量的轨道。而那才是真正需要解释的量子世界。

那年年底，海森堡收到泡利来信，通告他刚刚作出的重大突破。他看到这位向来偏爱严谨数学推导、厌恶形而上学式夸夸其谈的师兄居然捡起了他丢下的第四个量子数，并无中生有地提出不相容原理不禁莞尔，立即回信调侃了一番。也许量子世界如此诡异，连泡利也无法洁身自好。

与师兄相比，海森堡对他在哥本哈根的进展很不满意。他没能找到消除量子理论疑惑的灵丹妙药，只能带着依然的满腹狐疑在1925年5月返回哥廷根。

倒是玻尔不知如何看到了一线曙光。他宣布：“现在一切都在海森堡的手里了，他得为我们找出一条摆脱困境的途径。”

回到哥廷根后，海森堡患上严重的季节性花粉过敏。他的整个脑袋红肿得不成人形，眼睛也睁不开。于是他不得不向玻恩请了两个星期假，自己带上几本书和一大叠演算纸乘火车到德国的最北端，然后搭船上了北海中的一座小岛。

那是一个面积不过2.6平方公里的荒岛，上面只有几间简陋营房供度假者使用。对海森堡来说，这个岛的优势正在于它的光秃：没有花粉。

在海风的吹拂下，他的症状逐渐消退，脑袋开始清醒。他整天在岛上徒步攀爬，阅读、背诵歌德（Johann von Goethe）的经典诗篇，间或也思考他的物理。

从牛顿开始，物理学家对物体运动的描述集中于位置和速度。只要知道物体在某一个时刻的位置和速度，牛顿定律就可以通过其受力环境准确地计算它在将来任何时刻的位置和速度。玻尔的原子模型也是一样：电子在某一时刻会出现在特定轨道上的某一位置，有着某个特定的速度。

然而，与牛顿所熟悉的物体不同，从来没有人真正看到过电子，甚至原子。泡利的教父马赫曾经因此断然否决原子的存在，因为这个存在无法实证。如果原子的存在尚且存疑，何况其内部的电子轨道？

泡利在那篇被爱因斯坦赞誉“对科学思想心领神会”的相对论综述中，曾为相对论的思想起源赋于逻辑实证的阐述。他以比爱因斯坦更为熟稔的笔触回顾了爱因斯坦如何通过一系列“假想试验”论证了牛顿绝对空间、绝对时间之不可能存在、引力与加速的无法区分，从而建立相对论的新理念。泡利在文中总结道：“在物理上，对实验中无法观测的物理量的讨论是毫无意义的……那些只会是假想概念，没有物理意义。”

从小就对哲学深感兴趣的海森堡对师兄的逻辑实证描述并不陌生。在这个小岛上，他突然领悟电子的轨道，以及它的位置和速度其实都是“实验中无法观测的物理量”。对于原子来说，实验中可以观测的物理量只有光谱：那一条条光谱线的频率和强度。除此之外，一切有关原子的描述都只是“假想概念”。

于是，他意识到必须整个地颠倒玻尔的原子模型：不能从假想的电子轨道出发计算光谱线，而应该是通过光谱的物理变量来推算电子的运动。其实，克莱默已经无意识地走上了这条路。在他们针对高能量状态的计算中，电子“轨道”经过傅立叶变换分解为不同频率的成分，那正是用光谱变量来描述电子的位置和速度。其结果是电子的位置和速度分别是两个数学多项式：各个频率成分的叠加。

在具备量子特性的低能量状态中，电子的轨道运动本身不再对应于辐射的频率。因此同样的做法无法适用。海森堡明白了那只是他们拘泥于轨道这个假想概念的结果。如果电子的轨道并不存在，电子的运动依然可以通过光谱变量推算。在低能量状态中，电子既不会像玻尔想象的在固定的轨道上运转，也不会在两个轨道之间“跃迁”。电子只是按照所有可能存在的谱线变量所决定的模式运动。

为了找出所有可能辐射频率的组合，海森堡发现他不再能用傅立叶变换后出现的简单多项式，而必须制作出一个表格。那是一种生活中很常见的表格。有些地图上会看到有大城市之间的距离表；在体育新闻中，循环赛各队之间比赛的比分也常常以这样的表格来展示。表格中的行和列分别是城市或球队，表中则列出它们之间的距离、比分等各种数值。

京沪高铁主要站点距离列表示意图。

海森堡制作的表格类似于城市的距离表。不同的是每一个“城市”代表原子的一个能级，城市之间的距离就是能级之间的能量差，也就是辐射的频率。这个列表可以非常大，因为电子的能级可以有无穷多个。他同时也可以另外做一个相同的列表，其中的数值不再是辐射的频率而是强度，也就是爱因斯坦辐射理论中的那个吸收或发射的可能性。

然后，海森堡仿造傅立叶变换的多项式以这些列表构造出电子位置、速度的表达方式，以及相应的物理规律。这时他需要用这些列表做代数运算，于是他不得不摸索出一套如何将两个表相加、相乘的法则。他费了好一番功夫才理清了这些头绪，发现这个新体系居然既有着逻辑上的自洽，也符合着物理的能量守恒。

这时已经是凌晨三点。他无法入睡，干脆跑到室外的海边，在黑暗中攀登上一块高高的、延伸到海面上的巨石，坐着等待日出。他并不明白自己刚刚发现了什么，但他知道“事情已经发生了（something has happened）”。

十来天后，海森堡终于下了岛。他在回程中特意先去了一趟汉堡，征求师兄的意见。泡利听了他一番语无伦次的描述，罕见地未能当机立断地指出其中谬误，只催促他赶紧写出论文发表。这给了海森堡莫大的信心。

又费了一番功夫，海森堡写出了论文初稿。虽然他对玻尔无比尊敬，他一时没敢向玻尔透露这一进展。在哥本哈根与克莱默合作的那几个月里，他已经领教过玻尔对论文大刀阔斧、反复无常的修改套路。为避免那样的命运，海森堡将论文就近交给了玻恩。然后，他自己启程前往英国剑桥履行早就计划好的学术访问，顺便又与童子军小伙伴们相聚，在英吉利海峡沿岸远足。

玻恩果然不假思索地就把论文转交给《物理学杂志》发表。但他放心不下海森堡的那个列表，尤其是他为列表发明的运算法则。熟谙数学的玻恩总觉得那一套似曾相识。直到他七月中去参加德国物理学会的年会时，他才想起来那是多年前还在学数学时见到过的“矩阵（matrix）”。

海森堡式的列表在古代就有过雏形。半个世纪前，剑桥的著名数学家凯利（Arthur Cayley）为其赋予严格数学定义，称之为矩阵并发展了相应的代数。海森堡自己琢磨出来的那些运算规则正是凯利矩阵代数的一部分。在那之前，矩阵代数只是数学的一个隐晦的分支，还从来没有过任何实际意义，故也不为人所知。

玻恩在会上找到泡利，提出一起将海森堡的新理论用凯利的数学规范化。不料泡利竟一口回绝。酷爱数学严谨的泡利这次居然声称他师弟的工作是一幅精彩的物理图像，容不得玻恩用某个纯数学体系糟蹋。

玻恩回家后只好向他的新助手约旦(Pascual Jordan）求教。约旦刚刚得到博士学位，却也是一位精通数学的鬼才。他们恶补了一番矩阵代数，将海森堡在小岛上的粗糙思想以完整的数学方式表达出来。海森堡度假回来后立刻也加入了这一行列。

1925年9月，海森堡自己的论文率先问世。两个月后，玻恩和约旦发表了他们充实海森堡数学基础的论文。1926年2月，玻恩、约旦和海森堡联名发表“三人论文”，一举奠定所谓的“矩阵力学”。

也在那同一时期，玻恩和海森堡相继开始使用一个新名词：“量子力学”。它标志着一个有别于牛顿力学的新力学体系的诞生。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十六）：泡利的不相容与电子自旋

 当海森堡在哥廷根玻尔节的讲座上向玻尔提问时，他的师兄泡利也有着很多问题想向大师请教。但至少在年龄上稍微成熟的泡利没有同样地唐突。

与玻尔、海森堡相似，泡利也出生于学者家庭。他父亲原来是医生，后来改行在维也纳大学担任化学教授。母亲是当地知名的记者、作家。他们都是犹太人，父亲本来有着传统的犹太姓氏：帕切尔（Pascheles）。19世纪末，奥地利、德国的许多犹太人为了争取更好的生存环境放弃传统，皈依主流的天主教。他们也顺势而变，同时把姓氏改为更入境随俗的“泡利”。

泡利从小在天主教传统中长大。他有一个教父，就是他父母的契友、大名鼎鼎的马赫。泡利很早就显示了出众的才能。当他父母意识到学校里的课程无法满足孩子胃口时，就从大学里请来各科教授开小灶。泡利中学时就在课堂上开小差，偷偷阅读爱因斯坦的论文。当然，他也饱受马赫逻辑实证主义的熏陶，尤其是教父那谆谆教诲的信念：物理学应该建立在严谨、明朗的数学基础上，不能沦为随心所欲的形而上学。

马赫在泡利中学毕业之前去世。那是第一次世界大战末期的1918年。奥匈帝国正濒临崩溃。没有了马赫、玻尔兹曼的维也纳在泡利心目中不啻于精神荒漠。他就近来到同病相怜的德国，投奔慕尼黑的索末菲。

索末菲马上发现泡利不是一般的大学新生：他随身带来了一篇已经在专业刊物上发表的论文，内容涵盖广义相对论和刚刚萌芽的规范场理论。

在一次课堂讨论中，泡利大言不惭地总结道：“你们要知道，爱因斯坦说的并不都那么愚蠢。”老派、传统的索末菲教授居然也没有出言阻止他的放肆，反而表现出对这个才高气傲小青年的溺爱。泡利习惯夜晚学习、思考，然后去酒吧放纵销魂几乎通宵达旦。他早上则只是睡懒觉，频频缺课。索末菲大度地听之任之。

索末菲当时在编撰一部数理百科全书。他在邀请爱因斯坦撰写相对论部分被拒后，干脆就把这任务交给了这位狂妄自大的学生。

泡利花了几个月功夫后交出一份237页、带有394个注释的文稿。索末菲阅后大吃一惊。他本来只是想试探一下泡利的极限，准备自己大幅修改后再与学生联名发表。这时他不敢造次，原汁原味地采用了原稿。上面也只署了泡利的大名。

爱因斯坦看到后也叹为观止，罕见地发表热情洋溢的评论：“没有一个研读了这篇成熟、大气作品的人会相信作者是一个只有21岁的青年。读者会为文中哪个方面最值得敬佩而难以定夺：是对科学思想的心领神会，数学推导上的确定无疑，是那深刻的物理直觉，井井有条的表达能力，是对历史文献的全盘掌握，对整个课题的一览无余，还是作者在批判性评介中表现的十足信心？”

百科全书面世后，泡利的综述又另外出版了单行本。它果然超越爱因斯坦自己的专著，成为其后几十年学习相对论的首选教材。

正是有着对相对论如此深刻的理解，泡利劝告初入师门的海森堡那是一门已经成熟的学问，不再有发展余地。在把师弟带进更有学术前途的量子领域时，他自己也正在全力以赴，试图在那里有所突破。

正如海森堡后来在讲座上的诘问，玻尔的原子模型只能应用于最简单的原子结构：只有一个电子的氢原子和氦离子（以及与之相似的只有一个最外层电子的碱金属原子、惰性气体离子）。即使是只有两个电子的氦原子，玻尔模型就已经束手无策。

在索末菲的指导下，泡利研究的也是只有一个电子的离子，但稍微复杂一点：氢分子离子。氢分子由两个氢原子组成，有着两个氢原子核和两个电子。在发生电离失去一个电子后，氢分子离子就只剩下一个电子，是最简单的分子离子：一个孤独的电子绕着两个原子核运转。

泡利花了极大的功夫却还是一筹莫展。与相对论的综述一样，他的理论分析全面细致，无懈可击，却只能得出一个失败的结论：此路不通。

虽然泡利在慕尼黑只上了三年大学，索末菲认为他已经具备博士学位水平。1921年7月，泡利以对氢分子离子光谱的分析通过答辩获得学位。那时，他年仅21岁。

年轻时的泡利在讲学。

泡利博士随即到哥廷根担任玻恩的助手，并应玻尔的邀请到哥本哈根任职。凭借突出的学识和才干，他又轻而易举地相继赢得玻恩、玻尔的赏识，保持夜夜笙歌、上午缺席的特权。但他的日子却过得非常地不开心。

量子世界的扑朔迷离让他无所适从。玻尔的电子轨道、索末菲的量子数以及海森堡的半量子数提议，这些在泡利的眼里都属于没有物理根据的臆测。它们为某一个具体问题量身定做，遇到下一个问题就立即失效，需要再一次寻找新的规则。这与他心目中的物理学——比如那逻辑实证、有条不紊的相对论——正相反，无异于马赫生前所警告过的形而上学。

在玻尔节上听玻尔讲解原子的壳层模型后，泡利找到玻尔的论文研读。在玻尔论述原子每层轨道上只能容纳一定数目电子的文字边上，泡利忍不住写下批注：“你怎么可能知道这个？你不过只是在拼凑你想解释的光谱！”

的确，如果他当时有机会像海森堡那样当面质问，玻尔也会一样地无言以对。后来，泡利在哥本哈根又耳闻目睹了玻尔在BKS论文上的那一幕反复，更加深了他的疑虑。

那时，泡利又一次陷入与博士论文时同样的困境。他一直在琢磨索末菲和海森堡没能完全解决的光谱难题：原子在磁场中所表现出的反常塞曼效应。也一直无法理清头绪。这让他整天郁郁寡欢，只能在当时风行的卓别林（Charlie Chaplin）电影中寻找生活乐趣，幻想自己也能摆脱令人忧伤的物理行业去当一个轻松的小丑演员。

哥本哈根的任期结束后，泡利在汉堡大学开始他的独立职业生涯。汉堡是仅次于柏林的德国第二大城市，有着五光十色的夜生活，让他如鱼得水。如果不是依然焦虑着那个反常塞曼效应，他的生活应该美满得多。

慕尼黑的索末菲一直在精心地编写光谱教科书，年年更新。1924年年底，泡利在翻阅最新版本时，注意到导师提及一篇新发表的论文，阐述了原子的电子数目与允许轨道数目之间的对应关系。这个信息触发了泡利脑海里时常回旋着的一个念头。他急忙奔进图书馆，找出那篇出自卡文迪许实验室、卢瑟福的研究生斯托纳（Edmund Stoner）的论文。斯托纳总结了惰性气体原子中电子占据的轨道数目，指出它正好是电子数目的一半。

泡利突然明白了玻尔壳层模型背后的原因。

索末菲最初推广玻尔模型时规定了三个量子数，分别对应于轨道的大小、偏心率和倾角，或者说是电子在三维空间做轨道运动的三个自由度。三个量子数的数值组合确定一个轨道，它们之中只有满足一定规则的组合才是电子所能占据的轨道。泡利认为斯托纳指出的电子与轨道数目的关系不仅仅适用于惰性气体，而是一个普适的规律：每一个特定的轨道上最多只能由两个电子占据。

泡利提出：这是因为电子不合群，互相之间完全排斥，不可能共享一个轨道。之所以那每个轨道上能有两个电子，是因为还存在索末菲提出过的第四个量子数。那个量子数非常特别，既不是寻常的整数值，也不是海森堡猜测的半整数，而是只能有两个数值。

当两个电子处在同一个轨道上时，它们的前三个量子数的数值完全相同，但第四个量子数会有不同的数值。这样，它们其实是处在由四个数值组合所定义的不同轨道上。因为那第四个量子数只能有两个不同的数值，最多只能有两个电子处于这样的状态。

从他这个新规则出发，泡利很容易地就得出玻尔两年前的壳层模型：从低到高，每层轨道上最多只能容纳2、8、18……个电子。

当然，泡利也没法解释他自己这个新规则的来源：为什么电子会如此地互相排斥以至于“不共戴天”。但显然，他的新规则比玻尔硬性规定的电子数目更为简单、基本，也更为普适。它因此被称为“泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）”。

然而，他的第四个量子数依然不存在经典的“对应”。泡利只好违背玻尔的教条，宣布这个量子数不可能从经典的视角看待。

在泡利和海森堡之前，索末菲在慕尼黑就已经有过几个颇有才气的学生，让他在哥廷根的朋友、大数学家希尔伯特很是羡慕。那时候哥廷根还没有玻恩，完全是数学家的地盘。希尔伯特每年都向索末菲“借”一个学生，帮自己理解物理问题。

朗德（Alfred Lande）在1913年被借给希尔伯特。他一边在哥廷根为希尔伯特服务，一边仍然在索末菲指导下攻读博士学位，在数学、物理两方面得天独厚。一战期间，他还曾与玻恩一起为德国军队服务。战后，他又与索末菲、德拜等人合作将量子理论推广到固体领域。

当索末菲和海森堡为反常塞曼效应绞尽脑汁时，已经在杜宾根大学任教的朗德也在那上面下了苦功，与海森堡几乎同时提出半整数量子数的猜想。朗德对反常塞曼效应的光谱更为熟悉，总结出以他命名的规律。他也与导师、师弟们保持着频繁通信，共同探讨。

泡利觉得他新发现的不相容原理和那只有两个数值的第四个量子数也可以用来解释反常塞曼效应，就专程跑到杜宾根找朗德讨论。在那里，他遇到一个刚从美国来的年轻人克勒尼希（Ralph Kronig）。

克勒尼希已经在朗德那里看到泡利新发现的来信。他自己回去琢磨了一天，为那第四个量子数找到了一个经典对应：地球绕太阳的公转是三维空间的运动。但地球同时也在自转，那就是另外的一个自由度。电子可以有类似的情形。只要假设电子的自转只能有顺时针、逆时针的两个方向，就可以完美地对应上这个新的量子数。

泡利听了克勒尼希兴致勃勃的解说，当即断然否决：“你这个主意的确很聪明，但大自然不可能会是这样。”朗德也在旁边帮腔：“既然泡利这么说了，那就肯定不会是这样的啦。”

初出茅庐的克勒尼希不敢当场与泡利顶撞。他随后又到哥本哈根访问，那里的玻尔和克莱默也都坚决地否定了这一可能性。克勒尼希只好偃旗息鼓。

在荷兰的莱顿，埃伦菲斯特的两个学生也在研究原子光谱。古德斯密特（Samuel Goudsmit）比较老成，他整个夏天都在给新来的乌伦贝克（George Uhlenbeck）讲解光谱迷津的物理背景，包括泡利的最新进展。古德斯密特发现，如果泡利那第四个量子数可以选取的两个数值分别是-1/2和1/2，那么其相应的角动量就可以用来解释光谱的精细结构和反常塞曼效应。

还是第一次听说这一切的乌伦贝克脱口而出：那不就说明电子在旋转吗？那正好就是一个新的自由度。量子数的1/2数值是这种旋转的角动量，正负则来自相反的旋转方向。

古德斯密特很为师弟的物理直觉震惊。他们俩很快做了一些计算，写就一篇不到一页纸篇幅的论文。在埃伦菲斯特的提议下，古德斯密特同意打破按姓氏字母排序的惯例，让乌伦贝克做了第一作者。埃伦菲斯特一边寄送论文，一边让他们也去请教一下德高望重的洛伦兹。

1925年的洛伦兹已经是72岁的退休耆老，但还时常来学校讲课。乌伦贝克在课间找到洛伦兹，介绍了他们的想法。洛伦兹马上就摇了头。几天后，洛伦兹再度来上课时交给乌伦贝克厚厚一叠演算纸，论证了电子旋转之不可能。乌伦贝克急急忙忙地找到埃伦菲斯特，表示他们必须撤稿。埃伦菲斯特说已经来不及了，安慰道，“你们两个都还年轻，经得起犯点愚蠢的错误。”

乌伦贝克和古德斯密特发表的电子自旋论文。

当汤姆森在近30年前确定阴极射线是电子时，他发现电子比原子至少小1000倍。电子的确切大小——甚至它是否有大小——并不为人所知，但无论怎么估计都是异乎寻常的微小粒子。如果它具备普朗克常数一半的旋转角动量，那电子必须旋转得非常快。其表面速度会是光速的10倍，违反相对论。

所以，泡利、玻尔、洛伦兹都不假思索地否决了这个提议。洛伦兹还做了繁复的演算，揭示一个带电的电荷如此快速旋转会带来的电磁场问题。

那年也是洛伦兹获得博士学位的50周年，莱顿在年底为他举行一个纪念仪式。爱因斯坦、玻尔、卢瑟福、居里夫人等都从各地赶来祝贺。这是爱因斯坦和玻尔的第三次见面，他们的话题不可避免地涉及电子自身的旋转。不过这一次，他们俩之间没有发生激烈的争论。

玻尔乘坐的列车途径汉堡时，泡利正在站台上守候着。玻尔信心十足地告诉泡利电子的旋转“很有意思”，其言下之意即不值一哂。爱因斯坦和埃伦菲斯特则在莱顿车站迎接。埃伦菲斯特很是兴奋地告诉玻尔，爱因斯坦已经用相对论解决了相应的电磁场问题。至于旋转速度会高于光速，爱因斯坦倒不那么在乎。他认为地球自转式的图像不过是经典物理的习惯。电子有一个自身的角动量可以是量子的概念，不需要直接对应于旋转速度。

几天后，玻尔在回程中绕道去柏林参加普朗克发表黑体辐射定律25周年的纪念活动。途经哥廷根时，海森堡也在站台上相会。玻尔告诉他电子的旋转其实是一个伟大的突破。泡利听到风声后急忙赶到柏林，在车站接到了玻尔。他失望地看到玻尔已经“叛变”，气急败坏地把玻尔对电子旋转的认可称之为“又一个哥本哈根邪说”。

虽然泡利还继续顽固了几个月，由他而起的电子旋转和相应的第四个量子数因为在解释反常塞曼效应的成功很快被普遍接受。在中文里，电子的旋转被翻译作“自旋”，以示与经典物理中地球“自转”的区别。电子自身的角动量只是一个量子的特性，并不是经典意义的旋转。

1927年7月7日，古德斯密特和乌伦贝克双双通过答辩获得博士学位。那年秋季，他们又搭乘同一条邮轮来到美国，在密西根大学担任教职。作为电子自旋的发现者，他们已经名声远扬。在导师埃伦菲斯特和玻尔学生克莱因的推荐下，他们得到了大洋彼岸的聘请。古德斯密特多年后表示，在欧洲当时及之后的局势下，他们获得的美国职位比诺贝尔奖还更有价值。

克勒尼希心里很不平，曾经找克莱默抱怨。玻尔得知后给他写信表示了歉意，但私下里还是觉得克勒尼希没有自行发表他的创见是他本人的愚蠢。出于对古德斯密特和乌伦贝克的尊重，克勒尼希也要求玻尔和克莱默不要公开这一历史掌故。

泡利也对他自己当时的草率心存不安，后来专门聘请克勒尼希任助手，消除了积怨。

在莱顿的那次见面中，46岁的爱因斯坦和40岁的玻尔不能不感叹他们正变成量子的“老一代”。就在他们的眼皮底下，他们一起开拓的新世界已经在泡利、海森堡等年轻人的手里发生着翻天覆地的变化。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十五）：玻色的统计与德布罗意的波

斯莱特要将波与粒子结合起来描述光子的想法是他的独创，却也不是首创。在他之前，爱因斯坦就已经为同样的念头纠结了好几年。

爱因斯坦在1917年的辐射论文中提出光子有动量，是“实实在在”的粒子。原子在辐射时只能往一个特定的方向发射一颗光子。我们没法看到这样的景象，因为日常的光源无论多小都有着太多太多的原子在同时辐射。它们随机地向四面八方发射光子，我们看到的光便是一个球形的波。

这个解释与玻尔后来在BKS论文中所用的手法一致，都是将宏观世界的现象看作大样本的微观事件的综合，并不一定是微观事件的忠实表现。玻尔试图论证微观世界不遵从能量、动量守恒律，那只是宏观中统计平均的结果；爱因斯坦说的是微观世界的粒子过程在统计平均后看起来会是宏观的波动。

自普朗克以降，物理学家在量子新世界里不再被既有的物理定律束缚，可以大胆地另辟蹊径，创造新的规则。

玻尔的假想很快被实验否定，爱因斯坦也无法自圆其说。因为他清楚，统计平均的解释可以对付点光源的发光，却无法适用光作为波动的其它表现。自从杨在1803年展示了光的干涉、衍射之后，光的波动说就已经完全确定，导致牛顿的微粒说销声匿迹。光作为粒子的运动无论有多大的样本，如何地统计平均也不可能出现干涉和衍射。

那正是从普朗克到玻尔的物理学界顽固地抗拒光子概念的最大理由。显然，即使光是由单个、实在的粒子组成，它也必须以某种形式具备波动性。这在经典物理中找不到“对应”，只能再度寻找新的途径。

与斯莱特后来的想法相似，爱因斯坦曾设想作为粒子的光伴随有一个鬼魅般的场（ghost field）。与粒子在特定时刻只处在空间一个点相反，这个鬼场同时弥漫整个空间，遵从麦克斯韦方程。原子辐射时会产生这个场，以球面波传播。而同时发射的光子则在这个鬼场的引导下运动，其在空间某个点出现的可能性由鬼场在该点的强度决定。这样，大量光子的集合会宏观地呈现出鬼场作为电磁波的形状和行为，包括干涉、衍射等波动特征。

虽然井井有条，爱因斯坦无法为这个概念赋予严格的数学表述。他没有正式发表论文，只是在与洛伦兹、索末菲、埃伦菲斯特等朋友的信件往来中私下讨论，使其在学术界小圈子里尽人皆知。

诺贝尔奖也为爱因斯坦的生活、工作环境带来正面的变化。在举国上下如他所料地因为广义相对论的成功将他认作“德国物理学家”时，萊纳德、斯塔克等人的攻击偃旗息鼓。德国境内的反犹太情绪也一时陷入低潮。他又有了可以专心学术的环境。但与十年前他在量子化麦克斯韦方程时屡战屡败一样，他在鬼场上也再度碰壁。于是，他又一次离开量子领域，转战统一场论，希望能取得比广义相对论更为辉煌的成果。

然而，在1924年的夏天，他接连收到两封不期而至的来信，执拗地将他的注意力又暂时地拉回到量子世界。

第一封信来自遥远的地球另一端：印度。

爱因斯坦从来没有去过印度，最近距离的接触是在去日本途中曾在斯里兰卡靠岸逗留。在他的旅行日记里，他对科伦坡街头的印度人和上海的中国人都怀有既可怜又鄙视的情感。

但这封来自陌生东方国度的信引起了他的兴趣，作者是那里一位名叫玻色（Satyendranath Bose）的年轻物理学家。

玻色出生于当时是印度首府的加尔各答。他因为家境尚可，从小接受了良好的教育。但在英国的控制下，印度人在自己国家的大学里很难谋得职位。玻色只能混迹于三流学校。他与相同处境的朋友们一起翻译爱因斯坦的著作，也自己发表过几篇没人注意过的论文。

玻色

这一次，玻色投稿英国刊物的论文在审稿中被拒。他异想天开，直接给爱因斯坦写信请求他将英文稿件翻译成德语，安排在德国著名的《物理学杂志》发表。他在信中写道：“我们素昧平生，但我提出这个请求时丝毫不带踌躇。因为曾经从你的著述中获益匪浅，我们都是你的学生。”

爱因斯坦每天都会收到大量这类素昧平生作者的来信。他奇迹地没有忽略这一封，用他很不娴熟的英文阅读了论文。在短短的两页纸中，玻色做到了爱因斯坦过去没能做到的事：完全从光子出发推导出黑体辐射的普朗克定律。

爱因斯坦曾在1917年的辐射论文中第一次推导出普朗克定律。但他借助了玻尔的原子模型，通过辐射体与辐射场的热平衡才获得成功。黑体空腔内部的辐射可以完全决定自己的平衡态状况，没必要依赖作为腔壁的原子。在普朗克之前，瑞利和爱因斯坦都曾只对空腔内部的电磁波进行统计分析，推导出瑞利定律，揭示了经典理论中的紫外灾难。

相应地，在量子的概念中，空腔内的辐射不再是连续分布的电磁波，而是不同频率的光子。因为光子之间没有相互作用，那是一个物理学家熟悉的理想气体系统。用统计手段推导它的状态轻而易举。爱因斯坦和其他人都尝试过，却始终没能得出普朗克定律而只能得到近似的维恩定律。

玻色声称他解决了这个问题。爱因斯坦自然不会掉以轻心。

在瑞利和爱因斯坦最早的经典推算中，他们通过数空腔内电磁波能形成的驻波数目计算各个频率的自由度，然后根据能均分定理得出能量分布。理想气体系统中相应的是要数出光子所能有的状态数目。就像一个盒子里有若干个小球，它们可以任意分布，不同的排列组合便是不同的状态，需要一一计数。

爱因斯坦很快发现玻色在计数时耍了一个似乎不起眼的花招：如果将盒子里的两个小球彼此交换位置，那会是一个与原先不同的新状态，尽管如果两个小球一模一样时会看不出区别。玻色却忽略了二者的区别。在他的计数过程中，小球——光子——互相交换时不改变状态。这似乎是一个非常低级的错误。但这样一来，空腔内光子所能有的状态数目大大减少，结果就出现了普朗克定律。

玻色在论文中对这个关键的步骤一笔带过，没有解释。他后来承认当时完全没有意识到这有什么新奇。与早先普朗克发现他那定律的过程类似，那可能只是玻色在已知结论的情况下拼凑出来的招数。因为果然得到期望的结果，他更没有再去考虑所用的计算方法有什么不可思议。

爱因斯坦看出了玻色的这个戏法，也一时无法领悟其物理含义，只觉得玻色的推导“很优雅但其实质却非常隐晦”。但毕竟玻色由此推导出了普朗克定律，其中必有合理之处。他立即依照玻色的请求将稿件翻译成德语，推荐给《物理学杂志》，并附上一段译者注：“在我看来玻色对普朗克定律的推导标志着一个重要的进展。他采用的方法还能导致理想气体的量子理论，我会另外提供具体信息。”

有着爱因斯坦的担保，玻色的论文立即被杂志接受发表。

短短几个星期之后，爱因斯坦宣读了他自己“另外提供具体信息”的论文。这时他已经完全明白了玻色算法背后的意义：在量子世界中，粒子是“不可分辨”的：两个同样频率的光子就是完全相同的光子，无法分辨彼此。所以，将这样的两个光子互相交换位置，前后没有任何区别，系统便不会改变状态。

这又是在经典物理中不存在“对应”的量子世界独有的特性。爱因斯坦指出这个不可分辨不仅适用于作为辐射的光子，而是所有微观粒子——电子、原子——的普遍性质。如此而来，麦克斯韦、玻尔兹曼的统计理论只适用于可分辨粒子的经典系统。在量子世界，必须采用新的计数方法，即“玻色-爱因斯坦统计”。

爱因斯坦之所以能如此断言，是因为他发现这个新的统计方法解决了另一个让他头疼的问题。

也还是十几年前，爱因斯坦通过对固体比热的量子计算证明当温度趋于绝对零度时，系统的自由度将一个个被“冻结”，导致整体的熵趋于零。遗憾的是，他的比热计算只适用于低温的固体、液体，气体——尤其是理想气体——却不遵从这一规律。

理想气体是物理学家的一个理想化模型，其中的粒子没有相互作用，也就不会像常规气体那样在低温时发生变成液体、固体的相变。无论温度如何降低，理想气体的自由度都没法被冻结，熵不会降为零，违反了热力学第三定律。虽然这只是现实中不存在的模型，爱因斯坦也一直放心不下。

他这时发现，如果采用新的量子统计，理想气体在温度趋于零时会发生一个奇妙的相变：大量粒子将“凝聚”在一起，不再以单个的粒子存在。在绝对零度，所有的粒子都进入这样的一个共同状态，不再有任何个体差异。这样，系统的熵便等于零，完全符合热力学第三定律的要求。

这又是一个在经典世界中不存在对应的量子奇迹，叫做“玻色-爱因斯坦凝聚”。（虽然名为“玻色-爱因斯坦统计”、“玻色-爱因斯坦凝聚”，这些其实都是爱因斯坦的独立发现。玻色在最初那粗糙、也许只是碰巧的想法之后不再有贡献。）

爱因斯坦那些对量子已经见怪不怪的同行们对这一新动态也都觉得难以想象。只是在整整70年后，玻色-爱因斯坦凝聚才在1995年被新新一代的物理学家证实，再一次凸显爱因斯坦的卓越远见。（关于玻色-爱因斯坦凝聚的实现，参阅《一个物理学家的万米长跑和玻色-爱因斯坦凝聚》）

玻色来信后不久，爱因斯坦又收到另一个小字辈的论文。相比之下，这封信来自近在咫尺的巴黎，是老朋友郎之万在请求他帮忙。郎之万的一个学生刚刚完成博士论文，让他很难定夺。他告诉爱因斯坦这篇论文很有点奇怪。但因为当初玻尔的原子模型也很有点奇怪，他不敢轻易下结论。

第一届索尔维会议在1911年举行时，与会的物理学家没有留意他们下榻的旅馆里有一位19岁的法国小青年。德布罗意（Louis de Broglie）当时只是他哥哥的小跟班。哥哥比他大17岁，刚在郎之万指导下获得博士学位，因导师的赏识得到邀请担任会议书记员。德布罗意也跟着来看热闹。他没有抛头露面，只是每天晚上在房间里听哥哥回顾当天会上的讨论，想象大师们的风采。

他们兄弟俩出生显赫，家族同时拥有法国公爵（duke）和德国王爵（prince）的世袭封号，三百多年来出现过多名部长、外交官、将军等，还有过一位总理。德布罗意14岁时父亲去世，由他这位长兄抚养长大。

贵族的传统是或从武当兵或从文辅政，为国家、国王效力。德布罗意的哥哥在海军服役九年。因为负责舰船之间的无线通讯而对科学发生了兴趣，他违背家族意愿退伍，去法兰西大学攻读博士，还在自己家里修建了一个研究X射线的实验室。

德布罗意从小倾向学问和政治，上大学时选择的是历史。毕业时他开始对历史厌倦，频繁地在哥哥的实验室里帮忙而逐渐对物理产生了兴趣。索尔维会议期间，哥哥每天晚上眉飞色舞的描述更让他心生向往。于是他回返大学，又修习了物理专业。

当他再次毕业、按规定服兵役时，第一次世界大战爆发了。他不得不搁置研究物理的念头为国效忠。他哥哥通过关系把他调到特殊的通讯部队，一起驻扎在埃菲尔铁塔下，用那上面的天线进行无线通信。在那四年的漫长时光里，德布罗意切身体验了麦克斯韦电磁波的效用。同时，他也埋头钻研从哥哥那里得到的索尔维会议纪要。

及至战争结束，他已经是27岁的成年人。他又跟随哥哥的脚步，师从郎之万攻读物理博士。

德布罗意

与居里夫人关系密切的郎之万是杰出的实验物理学家，但基本上不涉及理论研究。那时的巴黎很难找到一个像样的理论物理学家。德布罗意只能靠自己，他琢磨得最多的还是十年前在索尔维会议听到、读到的量子问题。

在1923年时，他终于有了一个新奇的想法：爱因斯坦揭示了光同时具备波和粒子的特征。那大概不会只是光的特别，应该可以扩展到其它所有的物质。如果光波可以表现得如同粒子组成，那为什么由粒子组成的电子束就不会表现得犹如波动？

这是一个相当朴素、简单的想法。但德布罗意在数学上把它搞得相当复杂，动用了相对论等一连串“重武器”。与玻色类似，他在法国期刊上发表了几篇论文，丝毫没有引起注意。随后，他一起汇总，写成博士论文。郎之万对这充满数学公式的东西一头雾水，只好让德布罗意再打印一份，由他去找爱因斯坦求救。

爱因斯坦记得索尔维会议上的那个德布罗意，对来自他“小弟弟”的论文颇为好奇。他又一次表现出非凡耐心，花时间梳理名不见经传的新手乱麻似的逻辑迷宫，发现了深藏在内的精华。

频率是波动的特征。普朗克提出的能量子概念首次将频率与能量联系起来。在爱因斯坦的推广下，光子有能量和动量，都与其频率成正比。这是光从波“变成”粒子的途径。作为粒子的电子没有频率，它的能量和动量由其质量和速度决定。德布罗意在这里把普朗克关系倒过来用，通过电子的能量、动量计算出它在某个速度时所对应的“频率”。这样，电子也从粒子“变成”了波。

接着，德布罗意把这个关系套用到玻尔的原子模型上，立即看到一个奇妙的图像。

当一根琴弦被两头固定时，它只能演奏出几个鲜明的曲调。那来自琴弦上所能形成的驻波。电子绕原子核运转的轨道是一个圆周，其周长相当于琴弦的固定长度。在那个长度上能形成的驻波数目同样固定、有限：轨道的周长必须是驻波波长的整数倍。

德布罗意把电子在轨道上运转的速度换算成频率和波长，赫然发现玻尔规定的那些允许轨道正好满足这个条件。在那些轨道上，电子所相应的波首尾相连，像两端固定的琴弦一样形成稳定的驻波。而轨道周长对波长的倍数正是玻尔引进的第一个量子数。

电子在轨道上形成驻波的示意图（中间是原子核，r是轨道半径，λ是波长）。

在那些以外的其它轨道上，电子所相应的波长与轨道周长不“匹配”，无法形成稳定的驻波。电子也就不可能在那里栖身。

玻尔当初只是跟随之前尼科尔森的建议采取了角动量为普朗克常数整数倍的那些轨道为允许的轨道，并没有什么说得过去的理由。德布罗意把电子的运动看作波动，电子绕原子核的“公转”就成了不随时间变化的驻波。这是那些轨道稳定性的第一个像样的根据，一个源自几何的论证。

爱因斯坦激动莫名，立即给郎之万回信，“德布罗意的论文令我非常佩服。他终于揭开了一个巨大面纱的一角。”

当德布罗意在那年11月举行答辩时，由法国最著名的物理学家、数学家构成的专家组里没有一个人能读懂他的论文。但他们都得知了爱因斯坦的热情首肯，便轻而易举地让他通过，获得博士学位。

与玻色一样，德布罗意的论文给爱因斯坦极大启发，引导他揭示量子世界更为意想不到的奇妙。年底，爱因斯坦给洛伦兹写信报告，“我们认识的那个德布罗意的小弟弟在毕业论文里针对玻尔-索末菲量子定则做了一个非常有意思的解释。我相信这是解决我们这个最糟糕的物理谜团中第一束微薄的曙光。我自己也发现了能支持他这个设想的证据。”

（待续）

量子纠缠背后的故事（十四）：康普顿的光子实验

 与玻尔一席长谈几个月后，海森堡兴冲冲地来到莱比锡参加德国科学家年会。索末菲早就说过，那年代物理学界最值得见的只有两个人：爱因斯坦和玻尔。这次会议安排有爱因斯坦的主题讲座，海森堡翘首以盼。

在会场门口，他手里突然被塞了几份传单。那是萊纳德的几个学生在派发攻击以爱因斯坦为代表的犹太物理学的宣传品。他才知道爱因斯坦正在隐藏，没有来开会。学术报告由劳厄代劳。

海森堡深感失望。那天晚上，他发现自己的行李被偷窃一空，只好放弃会议回家。索末菲已经为他的下一步做了安排，去哥廷根的玻恩那里“留学”一年。

索末菲自己请了一年的假，远赴美国的威斯康辛大学讲学。虽然已经有了国际知名的迈克尔逊和密立根，美国在物理——尤其是理论物理——领域还颇为荒凉。但那里的美元正在显示其全球硬通货的地位，对进入恶性通货膨胀的德国人有很强的吸引力，去美国讲学渐成时尚。（爱因斯坦随魏茨曼赴美筹款之前也曾联系在美国（包括威斯康辛大学）讲学。但他要价太高，没有被接受。）

泡利已经毕业，离开慕尼黑到哥廷根担任玻恩的助手。他也是在那里的玻尔节上第一次见到玻尔。他的研究所正需要人手协助以德语写作论文。泡利二话不说就接受了邀请，很快又离开哥廷根前往哥本哈根。

他那时不知道他正成为量子物理的先行者，依次游历慕尼黑、哥廷根、哥本哈根三大重镇。海森堡很快也走上同样的征途。他的后面更会是成群结队的青年物理学家。

普朗克在战争结束后就进入了准退休状态。他和能斯特招聘来的爱因斯坦因为广义相对论的成功为柏林大学争得世界性的荣誉，但他们计划设立的理论物理研究所依然还只是爱因斯坦自己家里的那个阁楼书房——唯一的正式雇员是担任秘书的艾尔莎大女儿。与卢瑟福、索末菲、玻恩、玻尔等人身边聚集着年轻人而朝气蓬勃相反，爱因斯坦习惯独来独往，没有兴趣提携学生。在盛名带来的社会活动和困扰之下，他的学术活动也不再那么活跃。

1918年，卢瑟福终于在曼切斯特争取到一个新席位，热情邀请玻尔去担任理论物理教授。他满心期望能与这位杰出的弟子携手大干一番，建立新的科学中心。但那时玻尔自己的研究所已经破土动工，只能婉拒。

一年后，63岁的汤姆森辞去卡文迪许实验室主任职务，专心去担任剑桥历史悠久的三一学院院长。在他掌管的35年间，实验室赢得七个诺贝尔奖，拥有27名王家学会会员，一跃成为领先全球的科研重地。

剑桥毫无悬念地聘请卢瑟福接任汤姆森。卢瑟福也当仁不让。他把从麦吉尔到曼切斯特锤炼得如火纯清的风格全盘搬到卡文迪许，掀开历史新的一页。汤姆森也获得许可，时常到实验室继续从事研究工作。

但卢瑟福再也没能找到一个玻尔那样的“富有独创才能”的理论家。在他的领导下，卡文迪许以各种实验手段探测原子核的结构，成绩斐然。但他们同时也淡出了理论研究。那个自卢瑟福始的原子模型早已离开了英伦，伴随玻尔越过海峡，在索末菲和玻恩的协助下扎根于欧洲大陆。

玻尔在哥本哈根的研究所已经初具规模。他仿照卢瑟福的风格营造以年轻人为主的科研基地的梦想正在成为现实。他的威望因为诺贝尔奖也大为提高，吸引着欧洲各地的青年争取各种机会来这里镀金。

他和妻子玛格丽特在研究所中的小家庭也在急剧增长。他们一连串地生育了六个儿子（其中两个不幸夭折）。玛格丽特放弃帮助玻尔写论文，专心相夫育子。作为女主人，她也热情地帮助研究所接待、照顾络绎不绝的访客。她还尤其热衷于为当地的姑娘与这些外来的才俊牵线做媒，成就了好几对姻缘。

玻尔夫妇和他们的儿子们。

至少在学术上，玻尔也不再需要玛格丽特的协助。克莱因毕业离开后，荷兰的小伙克莱默（Hans Kramers）接替他作为玻尔长期固定的助手。在研究所里，玻尔也会随时抓住身边的小伙子，让他们在他自言自语或者与人讨论争辩时在旁边记笔记整理成文。这对于那些年轻人来说是一个既兴奋又惶恐的经历。他们可以在最近距离观察大师的思想过程，同时又必须绝望地试图捕捉玻尔那每一句口齿不清的嘟嘟囔囔。

无可争辩的是玻尔在这里享有至高无上的尊重和崇拜。泡利到来不久就发现，研究所里“玻尔是真主安拉，克莱默是他的使者”。

在身边的年轻人用他的模型积极地向光谱实验呈现的各种难题发动进攻时，玻尔的注意力越来越集中于量子理论的根本问题。索末菲在慕尼黑带着泡利和海森堡“随意”添加量子数、甚至半量子数拼凑光谱线的做法虽然是与他一脉相承，也已经让他与海森堡一样地疑惑。如何才能知道什么才是真实的物理？

玻尔为此提出一个“对应原理（correspondence principle）”：量子世界虽然独具风采，它在一定条件下必须趋近熟悉的经典世界，与经典物理的概念有着一一对应的关系。

在极限情况下回归经典是物理新理论的常规。爱因斯坦的相对论根本性地颠覆了牛顿的时空观，与日常生活的经验格格不入。但在运动速度远远小于光速时，狭义相对论的运动方程逼近牛顿动力学方程，相对论效应只是微不足道的高阶修正。广义相对论也一样：当质量非常小时，时空弯曲可以忽略而重新回到牛顿的世界。

量子是微观原子世界的新理论。玻尔相应地指出它也不能与熟悉的日常世界完全脱节，而必须存在“对应”。比如在原子模型中，如果电子的能量足够大，占据的轨道非常高，那里的量子数很大，轨道之间的间距非常小，便趋近经典的连续运动。他和索末菲最初引入的三个量子数正好对应于经典物理中三维空间的运动自由度。

所以，索末菲后来引入的那第四个量子数就无法理解，因为它在经典物理中找不到对应的自由度。

玻尔认为对应原理是鉴别量子理论的试金石，但其他物理学家研读之后都一头雾水。正如玻尔在散步时对海森堡坦白，量子世界不像相对论那样可以由速度、质量的大小平滑地过渡到经典理论。这个对应原理只是玻尔的泛泛而谈，没有数学方程可以应用。

首当其冲的索末菲摸不着头脑。他觉得那纯粹是玻尔自己手中的一根魔棒。克莱默也吹嘘道，对应原理只会在哥本哈根灵验，出了玻尔的地盘立即失效。

索末菲到美国讲学的目的是赚点坚实的美元。他没有想到会在那里得到学术上的收获。1922年11月，他在芝加哥参加学术会议时有了一个惊喜：中西部圣路易斯市华盛顿大学的康普顿（Arthur Compton）报告了一个新发现。

康普顿在一战之后到卡文迪许实验室留学一年。卢瑟福那时刚回来主事，汤姆森也经常到实验室工作。康普顿对他们印象深刻，跟着学习了光散射原理和X射线技术。回美国后，他年仅27岁就担任了华盛顿大学的物理系主任。

瑞利男爵和汤姆森不仅是卡文迪许实验室两代掌门人，也是光散射现象的鼻祖。瑞利分析光被空气中分子散射的过程，以“瑞利散射”解释了天空为什么呈现蓝色；汤姆森则研究了光与他发现的电子的散射，即“汤姆森散射”。在这两个散射中，光是麦克斯韦描述的电磁波。与通常的折射相同，不同频率的光在散射时会有不同的角度（“色散”），但其作为电磁波特征的频率不会发生变化。

康普顿在圣路易斯用X射线照射石墨中的电子，进行一个与光电效应相似的实验。不同的是他没有在意被打下的电子，而是测量被那电子散射出来的X光。他惊异地发现它们的频率与入射的X光频率不一样。散射光的频率比入射光频率稍小，两者之差由散射的角度决定。

康普顿在讲解他的散射实验。

这是一个很奇怪的现象。麦克斯韦理论中不存在电磁波在传播、反射过程中发生频率变化的机制。康普顿只能转而诉诸量子理论：如果X射线是爱因斯坦所说的那既有能量又有动量的光子，它与电子相遇时就不再是光的散射，而是如同两个粒子直接碰撞。碰撞时，粒子各自会有能量和动量的改变。这个变化对于电子是速度的改变，而在光子则正是频率会发生变化——因为爱因斯坦光子的能量、动量都与频率成正比。散射光的频率变小是因为入射的光子把一部分能量和动量传输给了电子。

这样，光子与电子的碰撞是一个简单的物理过程，只需要用能量和动量的守恒定律就可以轻易地求解。康普顿发现这样得出的结果与他的实验数据完全符合。

他在芝加哥的会议上报告了结果后，将论文投寄给美国的《物理评论》，直到半年后才得以发表。这家偏僻地方的杂志在欧洲本来不会引人注意。但远在论文问世之前，欧洲的物理学家就已经从索末菲兴奋的来信中得知这个“康普顿效应”的发现。

1923年7月，爱因斯坦在瑞典发表了他那迟到的诺贝尔获奖演讲后就近来到哥本哈根。这次轮到玻尔在火车站迎接。这是他们时隔三年后的第二次握手。

两人坐上有轨电车，立刻就展开了激烈的辩论，似乎他俩的交谈从来就没有中断过。过了一会，玻尔发现已经坐过了站。他们随即换乘反方向的车，不久又再次错过了下车。

那是爱因斯坦第一次也是最后一次访问哥本哈根。他们在电车上争辩的内容不为人所知，但可以肯定与康普顿的实验有关。半年之后，物理学家已经肯定这一效应无法用麦克斯韦的电磁波解释，只有光量子理论才能准确地给出实验结果：那是一个光子和一个电子的单独碰撞。

时隔六年后，物理学界终于完全接受了爱因斯坦的光子。

只有玻尔是个顽固的例外。

克莱默刚来到哥本哈根时，玻尔曾让他研究一下爱因斯坦的辐射论文。玻尔的原子模型可以解释光谱线的频率，却无法推导每条谱线的强度。爱因斯坦指出，自发、受激辐射是以一定的可能性发生。但在那篇论文中，这些可能性只是作为参数出现，无从计算。如果能找出推算的方法，就可以得出相应谱线的强度，填补一个巨大的缺陷。

不料，克莱默研读了论文之后对其中的光量子概念产生了浓厚的兴趣。他想象这样的一个光“粒子”如果与另一个“实在”的粒子发生碰撞会是怎样的情形，立刻就推导出康普顿后来才发现的公式。他兴冲冲地找玻尔汇报，这是他刚刚起步的科研生涯第一个有意义的突破。

性格温和的玻尔听后几乎大发雷霆。在他心目中，爱因斯坦那篇论文精彩非凡，就是那光量子不可接受。如果承认那样实在的光子存在，麦克斯韦的电磁学就会被彻底推翻。那是玻尔绝对不愿意看到的。玻尔不厌其烦，花了一整天功夫对克莱默软硬兼施，从科学、哲学高度反复论证光子不可能存在，说服他承认误入了歧途。

克莱默当晚就住进了医院。

他几天后才得以出院，随后绝口不再提光子，还烧毁了笔记，强迫自己忘却了这段痛苦的经历。在那之后，克莱默继续忠实地承担玻尔的助手。在后来的职业生涯中，他有所贡献，但再也没能表现出创新的锐气。

稍后不久，年轻的斯莱特（John Slater）在哈佛博士毕业后也来到哥本哈根镀金。他是第一个来到这里的美国人，还带来一个自己的新思想：爱因斯坦的光子是存在的，但同时也会有某一种波在引导光子的行为，使其运动符合麦克斯韦的波动理论。

这次轮到克莱默教训新手。他义正辞严地驳斥了斯莱特的想法，阐述了玻尔那光子不可能存在的信念。但玻尔和克莱默也认为斯莱特的文稿中尚有可取之处，值得花功夫修改后发表。于是，他们展开了一场典型的玻尔式协作科研的方式：日复一日，他们呆在一间办公室里。玻尔不停地来回踱步，嘴里嘟嘟囔囔。克莱默勤奋地笔记，捕捉每一丁点思想火花。斯莱特则只有在边上干瞪眼的份。

短短几个星期后，玻尔满意地划上了句号。这在玻尔的论文写作史上算是出奇的迅捷。但论文已经面目全非，不再有斯莱特最初思想的影子。相应地，作者顺序依次为玻尔、克莱默和斯莱特，按照他们姓氏缩写被称作为“BKS论文”。

当然，玻尔作为第一作者名至实归：这篇20页篇幅的论文洋洋洒洒，没有一个数学方程。

如果把光看作有能量、动量的粒子，它与电子的碰撞是一个高中学生就能够求解的两个方程，分别描述能量和动量的守恒。克莱默和康普顿都曾轻易地找出了答案。在康普顿论文问世之前，过去给索末菲担任过助手的德拜得到消息后，也很快地发表了他自己的推导。正因为其简单直接，康普顿效应极具说服力，无可争辩。

为了坚持光子的不存在，玻尔因此不得不釜底抽薪，根本性地否定动量、能量守恒定律。与爱因斯坦解释点光源发出球形的光波一样，玻尔认为这些经典的守恒定律只是在大量碰撞事件的统计平均中才成立，而单个电子受电磁波影响时动量和能量并不守恒。这样，康普顿效应那被广泛接受的解释就不成立了。

康普顿最初的实验只测量了入射和散射的X光频率，的确属于统计平均的结果。但即便如此，玻尔在论文中也需要构造出一个极其曲折复杂的新理论才能为康普顿效应提供一个另类的解析。

他的信心远不如他执拗的态度。论文完成后，玻尔不敢直接去询问爱因斯坦的反应，差使泡利去打听。泡利很快以外交辞令转告了爱因斯坦的反对态度。他无法转达爱因斯坦在给玻恩的私信中所发的牢骚：如果理论物理的未来是玻尔这样的做法，那么他宁愿改行去当街头修鞋匠或赌场发牌员。

康普顿在完成最初的实验后转到名气更大的芝加哥大学供职。他在那里招收了几个研究生继续完善这个实验，其中有从中国来留学的吴有训（Y. H. Woo）。他们以更系统、精确的实验证实了康普顿效应。欧洲的实验室也纷纷跟进。

就在BKS论文问世几个月后，新的实验证据便出现了：X光与电子的碰撞即使在单个过程中也满足动量和能量的守恒。那并不只是统计平均的效果，经典的守恒律在量子世界中经受了考验。

玻尔不得不面对现实。他承认打了一个大哑炮，唯一可做的是为BKS“举行一个体面的葬礼”。

斯莱特曾经为自己的想法得到玻尔的这番重视欢欣鼓舞，不断写信回家报告喜讯。随着他们“合作”的进展，他越来越垂头丧气，内心后悔没能自主发表最初的论文。一直到玻尔去世之后，他才公开承认在哥本哈根的那一年是他人生的最大梦魇。

即使在哥本哈根，在玻尔自己的手中，对应原理这根魔棒也不总是管用。

康普顿效应证实了光在与电子碰撞时所呈现的粒子性，奠定了它与波动性平起平坐的地位。1924年4月20日，爱因斯坦在德国一家报刊上发表文章总结：“所以目前有两个光理论。它们都不可或缺。我们不得不承认，在理论物理学家20年巨大的努力之后，还没发现两者之间任何逻辑联系。”

他和玻尔都没有料到，在惨不忍睹的BKS理论背后，一个新的机遇正在出现。

（待续）

量子纠缠背后的故事（十三）：联袂诺贝尔奖

 瑞典化学家诺贝尔（Alfred Nobel）通过遗嘱设立他那举世闻名的奖项时，为物理奖规定的标准是“在物理中最重要的发现或发明”。如何诠释这简单的一句话是被指定审核、发放奖金的瑞典科学院及其评奖委员会成员的职责。

虽然已经出现过牛顿、麦克斯韦那样几乎毕生从事理论研究的大家（牛顿唯一亲手做的是光学棱镜实验），物理学在20世纪初还是被看作纯粹的实验科学。所谓“发现或发明”被自然地理解为实验室里、工业生产中实实在在的成果。理论研究中那些看不见摸不着的数学推演不过是为实验提供解释和线索，不属于独立发现。

自1901年开始颁发起，物理奖20年来的获奖者几乎是清一色的实验物理学家。理论家屈指可数：1902年洛伦兹凭借他对塞曼效应的理论解释“沾光”，与在实验中发现该效应的塞曼同时得奖；1910年，荷兰的范德瓦尔斯（Johannes van der Waals）因为他对气体状态方程的理论研究得奖。普朗克在1908年未能获奖固然是他运气不佳，很大程度上也出于评委对其理论“发现”的疑虑。

那个时代一些杰出的理论家如玻尔兹曼、庞加莱等在世时皆与诺贝尔奖无缘。

1918年，普朗克终于修得正果，因为“能量子的发现”获奖。那是第一个授予量子概念的诺贝尔奖。

曾几何时，诺贝尔奖也是青年爱因斯坦的梦想。他奇迹年的那四篇论文——布朗运动、光电效应、狭义相对论、质能关系——可以说每一篇都够得奖资格，虽然那些理论预测需要多年以后才陆续得到实验证明。到1918年时，他对自己会很快得奖早不再有疑，自信地将预期的奖金作为筹码与前妻玛丽奇达成离婚协议。但他没料到会发生的一波三折。

早在1910年，爱因斯坦还是苏黎士大学不引人注意的新任副教授时，物理化学家奥斯特瓦尔德（Wilhelm Ostwald）第一次向瑞典科学院提了他的名。仅仅几年前，奥斯特瓦尔德还是爱因斯坦广发求职信得不到回音的众多“愚蠢”大教授之一。爱因斯坦的父亲还曾专门给他写过一封信，低声下气地为儿子求助。

奥斯特瓦尔德自己在那年获得诺贝尔化学奖。他的提名没有引起注意，那年的物理奖归了范德瓦尔斯。

自那以后，爱因斯坦几乎每年都会得到多人的提名。与奥斯特瓦尔德一样，提名人大多把他的相对论列为主要贡献。奥斯特瓦尔德还特意提醒评委会，相对论已经是物理学的基础，并非哲学思辩。年复一年，评委会成员依然觉得相对论只是纸上谈兵，没有足够的实际验证。

这个局面在1919年发生了戏剧性的改变。那年，爱丁顿的日全食结果宣布得太晚，物理奖已经授予爱因斯坦当年的盟友、后来的政敌斯塔克。

但爱丁顿的结果不仅让爱因斯坦名闻遐迩，也让原来对广义相对论有疑虑的物理学家信服。那其中有老资格的洛伦兹，他立即在下一年提名爱因斯坦。那年，爱因斯坦获得了八个提名，在洛伦兹之外还有爱丁顿、塞曼、瓦尔堡和玻尔等知名人物。普朗克也为他提了名，但因为错过截止期无效。

诺贝尔奖揭晓时，全世界物理学家的眼镜同时掉下了鼻梁。获奖者是瑞士的纪尧姆（Charles Guillaume）。他可以说是完全不为人所知，因为发明有助于长度、质量精准测量的合金得奖。

那年负责评选的还是当年曾试图让普朗克和卢瑟福同时得奖的阿伦尼乌斯。他对爱丁顿的测量结果是否可靠有所怀疑。在收到那些支持爱因斯坦的提名信同时，他们也收到来自萊纳德等人的各种反对意见。在无从定夺的状态下，他们选择了更符合“发现或发明”标准的纪尧姆。这个人选让那些拼命反对相对论的人也摸不着头脑。

再下一年，爱因斯坦的提名人增至14位，包括了普朗克、瓦尔堡、爱丁顿、奥森。爱丁顿在提名信中将爱因斯坦与牛顿相提并论，应该是作为英国人能给予德国科学家的最高评价。

这一次，负责审理的是瑞典的眼科医生、诺贝尔生理与医学奖获得者古尔斯特兰德（Allvar Gullstrand）。他对物理不甚了了，却也兢兢业业地做了一番研究，写出50页的报告，认定广义相对论的验证还存在大量漏洞，不足以得奖。

即使在瑞典科学院内，这个报告也没能让人信服。但谁也不敢公开违拗德高望重的古尔斯特兰德。他们集体把头埋进沙里，做出一个折中选择：既不把奖颁给爱因斯坦，也不再发给他人，就让那年的物理奖空缺。

因为过程保密，爱因斯坦当时不可能了解这些内幕。但连年的错失已经让他对诺贝尔奖意兴阑珊。他的国际声望早就远远超越这个奖能带来的荣誉，奖金也已名花有主。所以，当他在1922年9月接到阿伦尼乌斯带有强烈暗示的信时，丝毫不为所动。

海森堡做梦也没想到过他会在哥廷根的夏日傍晚与玻尔单独散步。他有太多的问题要问，而最想知道的是这位名人的内心深处对量子理论究竟有着怎样的想法。

与玻尔一样，海森堡出生于知识家庭，父亲是慕尼黑大学的古典哲学、文学教授。与玻尔和他弟弟相似，海森堡有一个年龄非常接近的哥哥。他祖父掌管着德国最出名、普朗克40年前曾经上过的中学，那也是他们兄弟俩的学校。两人出类拔萃，学业一帆风顺。只有第一次世界大战的到来才打搅了宁静的生活。

高中的海森堡在战时、战后的混乱政局中召集小伙伴组织起队伍，加入当地类似童子军的组织。他们在慕尼黑城内维持秩序、搜寻食物，也经常深入附近的阿尔卑斯山里长途拉练、野营，在农庄里干活，劳筋骨苦心志。

一战后在山中农庄锻炼的少年海森堡（左三）和他的同伴们。

中学毕业后，他在1920年夏天进入慕尼黑大学。受父亲影响，他的兴趣在于哲学和数学。父亲为他安排与学校最著名的数学老教授面谈。当教授听海森堡介绍已经自学了相对论，便认定他再也不可能专心数学。于是，他父亲又建议他去找索末菲。

索末菲接纳了海森堡。他在面谈后看出这个新生才高志大、好高骛远，建议他先学会踏踏实实地解决一些实际问题，并让他去与早两年入校、同样聪明绝顶的泡利（Wolfgang Pauli）作伴。与勤奋、生活规律、喜欢户外活动的海森堡相反，泡利不爱运动，夜夜声色犬马早上睡懒觉。但两个年轻人还是立刻成为好朋友。

泡利那时正被导师抓差，替索末菲为一家百科全书撰写关于相对论的综述。那正是海森堡所渴求的大课题。泡利却嗤之以鼻。他告诉海森堡相对论自诞生后就已经是一个完整的体系，既没有发挥余地也没有实用价值，在学术上是一条死路。索末菲那时刚着手的原子模型千疮百孔，才是肥沃的学术土壤。海森堡听从了师兄的忠告。

索末菲正有点焦头烂额。他已经解释的塞曼效应有了新变化：有些光谱线的分裂不尽情理，出现超越他模型的所谓“反常塞曼效应”（名为“反常”只是因为当时的理论无法解释，自然现象本身没有正常、反常之分）。他猜想已有的三个量子数可能还不足以描述电子的轨道，需要再加上一个新的量子数，却一时也找不出头绪。

初生牛犊的海森堡仔细研究了索末菲收集、整理的光谱数据，很快发现一个窍门。如果那新加的第四个量子数不是整数，而是半整数（1/2，3/2，……），他就能凑出相当一部分光谱线的分裂，解释这个反常塞曼效应。

他这个举动让泡利和索末菲都大吃一惊，深感绝对不可接受。普朗克的量子概念精髓在于能量或其它物理量可以分为一份一份的量子，也就是可以一个一个地数。如果允许以半整数计数，那么肯定还会出现以四分之一、八分之一等等计数。此风一开，量子概念也许自身难保。

但海森堡有着与几年前玻尔一样的尚方宝剑：无论模型如何没有道理，他可以解释实际的谱线分裂。索末菲只能高抬贵手，批准了海森堡发表论文。他将论文转寄给爱因斯坦、玻尔等人时专门附信道歉，表示论文存在大问题，但结果似乎太过重要，他不得不同意发表。

玻尔在去哥廷根前读到了这篇论文，因而知道海森堡这个大名。

经过这番历练，年轻的海森堡深为困惑。物理——尤其是量子——的研究方式完全不是他中学时想象的那样逻辑清晰、井井有条，既有数学的严谨又蕴含哲学的智慧。恰恰相反，玻尔和索末菲的原子模型逻辑上根本无法自圆其说，只是结果能与实验证据相符。这样通过光谱窥探原子的奥秘似乎与盲人摸象无异。如何知道自己摸对了、摸全了，如何确定此乃真实的物理？

玻尔表示深有同感。他坦白地告诉海森堡他也一样地没有把握，只是也只能依赖自己的直觉，摸石头过河。他已经认识到从熟悉的经典物理世界到量子世界本身也是一个量子式的跃迁，没法在逻辑上按部就班、顺理成章地平滑过渡。他告诉海森堡那原子的微观世界也许压根就是不可理解、没法用人类语言表达的。他们所做的模型不过是在尽可能地描述原子世界那些可以被观察、被理解的小部分。

同样对哲学情有独钟的玻尔还挺神秘地解释，物理就如同诗人的言辞。诗人并不那么关心事实本身，而会更关注于为事实勾画出美妙的图像和意境，建立内在的联系。

虽然不尽理解，玻尔这番肺腑之言扭转了青年海森堡对物理学、科学研究的原初想象和成见，开启了他的职业生涯。（玻尔和海森堡的这番——以及后来多次——的对话内容只有海森堡多年后一面之词的回忆，可能存在有意或无意的不确。）

分手时，玻尔邀请海森堡毕业后找机会到他的哥本哈根研究所深造，一起尝试破解这些疑惑。

1922年11月13日，爱因斯坦乘坐的邮轮在赴日本途中在中国的上海短暂停留。他在那里受到当地知识、新闻界人士热烈欢迎，也接到他终于获得诺贝尔奖的电报。稍早，玻尔在哥本哈根也得到了他自己的喜讯。

爱因斯坦（右四）和艾尔莎（左三）在上海逗留期间在当地画家王一亭（右二）家中留影。右一为历史名人于右任。

那年，爱因斯坦的诺贝尔奖争议已经近似丑闻。法国的布里渊（Marcel Brillouin）在提名信中诘问：你们要好好想一想，如果50年后人们发现爱因斯坦不在获奖者之列会怎么反应？与他一起，包括普朗克、劳厄、索末菲、郎之万、瓦尔堡、奥森的17人为爱因斯坦提了名。

奥森那年加入了评委会。他刚从哥廷根的玻尔节回来，挺身而出要设法解开这个死结。一年前，奥森作为同事曾经辅助古尔斯特兰德研究相对论的现状，知道他很不靠谱，却极为固执。奥森决定避开相对论这个烫手山芋，改提光电效应。虽然爱因斯坦所依据的量子理论与相对论一样也还未被瑞典科学院成员接受，奥森强调爱因斯坦“发现”了光电效应背后的定律，那已经由密立根的实验证实。因此完全符合诺贝尔奖的标准。

这样，奥森提议将搁置的1921年奖补授给爱因斯坦，表彰他这一发现以及“他对理论物理的贡献”。为了避免误解，他还特意注明：那被表彰的贡献中没有包括未来也许会被证实的相对论和引力理论。（这个画蛇添足的注释似乎也为爱因斯坦将来以相对论再度得奖预留了机会。但评委会后来再也没有重启这一争端，相对论也就一直在诺贝尔奖中缺席。）

为了加强效果，奥森建议同时将1922年的奖授予玻尔，因为玻尔的原子模型是爱因斯坦光电效应理论的延伸。他成功地赢得了古尔斯特兰德和阿伦尼乌斯的首肯，两个奖项都顺利得以通过。

虽然两年的奖同时公布，玻尔很庆幸他的奖排在爱因斯坦之后，免了在他尊敬的师长之前捷足先登的尴尬。他更兴奋地期待能与爱因斯坦同台领奖共享殊荣，却只能抱憾。当玻尔12月10日在斯德哥尔摩发表获奖演说时，爱因斯坦还在地球另一端的日本讲学。德国和瑞士为爱因斯坦的国籍发生了争执。妥协之后，德国驻瑞典大使在仪式上代爱因斯坦领了奖，再由瑞士的大使之后转交给爱因斯坦。

1923年7月，从亚洲回来的爱因斯坦借瑞典的一次会议补做了获奖演讲。他压根没有提及光电效应，而是着重地介绍了相对论，并提出他下一步的宏大构想：寻找一个能兼顾广义相对论（引力）和电磁作用的“统一场论（unified field theory）”，并希望这样一个全面的理论能够解决量子概念中那些令他寝食不安的难题。

萊纳德没想到他反对相对论、犹太物理学的不懈努力会导致爱因斯坦最终以他所发现的光电效应得奖。至少在诺贝尔奖说明中，他们俩的名字永远地联系在一起。

虽然有点阴错阳差，爱因斯坦与玻尔继普朗克之后的联袂获奖奠定了量子在诺贝尔殿堂中的位置，也开启了诺贝尔奖接纳理论家的新时代。

在这场激烈争议的背后，玻尔的得奖一帆风顺。他从1917年起就开始被提名，呼声逐年增高。获奖的1922年，他有着11人的提名。获奖可以说是众望所归，毫无异议。

只是那丰富、扩展了玻尔原子模型的索末菲私下里非常纳闷他为什么没能与玻尔分享这个奖。在玻尔得奖之后，他一直在等待，期望还能得到来自斯德哥尔摩的青睐。从1917到他去世的1951年，索末菲总共会获得84次提名，在物理奖中首屈一指。然终其一生，他未能跻身这个荣誉行列。

（待续）